Zylinder und Zylinderstumpf

Zylinder

Ein Zylinder, auch Drehzylinder genannt, ist ein Körper dessen Grund- und Deckfläche flächengleiche Kreise sind und dessen Mantellinie h auf die Grund- und Deckfläche normal steht.

Volumen vom Zylinder

Das Volumen vom Zylinder ist das Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche mal der Höhe vom Zylinder. Falls h=2r gilt, nennt man den Zylinder gleichseitig.

Für das Volumen des Zylinders gilt
\(V = {r^2}\pi h=Gh\)

Oberfläche vom Zylinder

Die Oberfläche vom Zylinder setzt sich aus der kreisförmigen Grund- und der Deckfläche sowie dem rechteckigen Mantel zusammen

\(G = D = {r^2} \cdot \pi \)

Für die Oberfläche des Zylinders gilt
\(O = 2G + M = 2{r^2}\pi + 2r\pi h\)

Netz vom Zylinder

Das Netz vom Zylinder setzt sich aus der rechteckigen Mantelfläche und der kreisförmigen Grund- und Deckfläche zusammen. Die Länge der Mantelfläche entspricht dem Umfang vom Zylinder. Die Höhe der Mantelfläche entspricht der Höhe vom Zylinder. Eine Höhenlinie, die nicht im Inneren vom Zylinder liegt, sondern an der den Zylinder begrenzenden Mantelfläche, nennt man Mantellinie. Die Mantellinie ist somit die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt auf der Kreislinie der Grundfläche zum lotrecht darüber liegenden Punkt auf der Kreislinie der Deckfläche. Alle Zylinderhöhen und alle Mantellinien stehen normal auf der Grund- und der Deckfläche

Raumdiagonale im Zylinder

Die Raumdiagonale im Zylinder wir durch einen Durchmesser der Grund- bzw. Deckfläche und durch eine Mantellinie mit der Länge h aufgespannt. Ihre Länge errechnet sich daher mit Hilfe vom Satz von Pythagoras.

\({d_R} = \sqrt {{d^2} + {h^2}} \)

Illustration vom Zylinder

Zylinderstumpf

Ein Zylinderstumpf entsteht, wenn man einen Drehzylinder mit einer Ebene schneidet. Der Zylinderstumpf besteht dann aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer elliptischen Deckfläche und einem Mantel. Im Spezialfall, dass die Schnittebene parallel zur Grundfläche ist, entsteht ein neuer, weniger hoher Drehzylinder.

Volumen vom Zylinderstumpf

Das Volumen vom Zylinderstumpf setzt sich aus der Grundfläche mal maximaler Zylinderhöhe abzüglich der Grundfläche mal der halben Höhendifferenz zwischen der maximalen und der minimalen Zylinderhöhe zusammen.

\(V = {r^2} \cdot \pi \cdot {h_{\max }} - \dfrac{1}{2} \cdot {r^2} \cdot \pi \cdot \left( {{h_{\max }} - {h_{\min }}} \right)\)

Illustration vom Zylinderstumpf

Wenn die Schnittebene nicht parallel zur Grundebene ist, dann besteht der Zylinderstumpf aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer elliptischen Deckfläche und einem Mantel.

Netz vom Zylinderstumpf

Das Netz vom Zylinderstumpf besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer elliptischen Deckfläche und einer rechteck-ähnlichen Figur, bei der die Höhe von einem Mindestwert zu einem Maximalwert anwächst.