Lineare Funktion
Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Erscheinungsbild durch die beiden Parameter k und d bestimmt ist. Dabei ist
- y ist die von x abhängige Variable, sie wird auch als Funktionswert bezeichnet
- k der Anstieg bzw. die Steigung. Die Steigung ist bei einer Geraden natürlich unveränderlich konstant
- x ist die unabhängige Variable, sie wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet
- d der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt
\(f\left( x \right) =y= kx + d\)
Homogene lineare Funktion
Bei der homogenen linearen Funktion ist d=0, daher verläuft ihr Graph durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx\)
Inhomogene lineare Funktion
Bei der inhomogenen linearen Funktion ist d≠0, daher verläuft der Graph nicht durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx + d\)
Konstante Funktion
Bei der konstanten Funktion ist k=0, daher verläuft der Graph parallel zur x-Achse, im Abstand d. Für k=0 und d=0 entspricht der Graph der Funktion dem Verlauf der x-Achse
\(f\left( x \right) = d\)
1. bzw. 2. Mediane
Die Funktion \(f\left( x \right) = \pm x\) heißt 1. bzw. 2. Mediane, wenn k=1 bzw. -1 und d=0. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung und steht im 45° Winkel zur x- und zur y-Achse.
Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft
Es gibt auch Geraden, die nicht der Graph einer linearen Funktion sind. Man spricht nicht von einer Funktion, wenn x=c. Das wäre die Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft oder speziell für x=c=0 wäre es die Gleichung der y-Achse
Steigung k
Die Steigung einer linearen Funktion ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte y=f(x) ändern, wenn sich die Argumente x ändern. Bei positivem k steigt der Graph der Funkion an, bei negativem k fällt er im Koordinatensystem von links oben nach rechts unten. Andere Bezeichnungen für k sind. Steigungsverhältnis bzw. Differenzenquotient.
Die Steigung k der linearen Funktion ist unabhängig von x, was man wie folgt zeigen kann:
\(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {k \cdot {x_2} + d} \right) - \left( {k \cdot {x_1} + d} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = k\)
Aus der konstanten Steigung folgert, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade sein muss.
Achsenabschnitt d
Der Achsenabschnitt d ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse, was man wie folgt zeigen kann:
\(f\left( {x = 0} \right) = k \cdot 0 + d = d\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=-1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=-1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach unten geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Linearen Funktion mit k=1 und d=2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
Beispiel:
Linearen Funktion mit k=1 und d=-2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=-2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| -2 \right.} \right)\)