Lineare Funktion

Lineare Funktion
Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Erscheinungsbild durch die beiden Parameter k und d bestimmt ist. Dabei ist

•  y ist die von x abhängige Variable, sie wird auch als Funktionswert bezeichnet
• k der Anstieg bzw. die Steigung. Die Steigung ist bei einer Geraden natürlich unveränderlich konstant
• x ist die unabhängige Variable, sie wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet
• d der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt

\(f\left( x \right) =y= kx + d\)

Homogene lineare Funktion: 
 \(f\left( x \right) = kx\)  
Da d=0 verläuft ihr Graph f(x)=kx durch den Koordinatenursprung.

Inhomogene lineare Funktion: 
 \(f\left( x \right) = kx + d\)
Wenn d≠0 ist, verläuft der Graph nicht durch den Koordinatenursprung.

Konstante Funktion: 
 \(f\left( x \right) = d\)
D.h.: k=0. Der Graph ist eine Parallele zur x-Achse, im Abstand d oder für d=0 wäre es die Gleichung der x-Achse

1. bzw. 2. Mediane:
Die Funktion \(f\left( x \right) = \pm x\) heißt 1. bzw. 2. Mediane, wenn k=1 bzw. -1 und d=0. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung und steht im 45° Winkel zur x- und zur y-Achse.

Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft:
Es gibt auch Geraden, die nicht der Graph einer linearen Funktion sind. Man spricht nicht von einer Funktion, wenn x=c. Das wäre die Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft oder speziell für x=c=0 wäre es die Gleichung der y-Achse

Steigung k 
Die Steigung k der linearen Funktion ist unabhängig von x, was man wie folgt zeigen kann:
\(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {k \cdot {x_2} + d} \right) - \left( {k \cdot {x_1} + d} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = k\)

Andere Bezeichnungen für k sind. Steigungsverhältnis bzw. Differenzenquotient
Aus der konstanten Steigung folgert, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade sein muss.

Achsenabschnitt d
Der Achsenabschnitt d ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse, was man wie folgt zeigen kann:

\(f\left( {x = 0} \right) = k \cdot 0 + d = d\)

Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=0

Beachte:

• Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
• Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung

Beispiel:
Lineare Funktion mit k=-1 und d=0

Beachte:

• Zufolge k=-1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach unten geht.
• Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung

Beispiel:
Linearen Funktion mit k=1 und d=2;

Beachte:

• Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
• Zufolge d=2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)

Beispiel:
Linearen Funktion mit k=1 und d=-2;

Beachte:

• Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
• Zufolge d=-2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| -2 \right.} \right)\)