Partielle Differentialgleichungen
Formel
Partielle Differentialgleichungen
Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von partiellen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von mehreren Variablen abhängt und in der Funktionsgleichung Ableitungen der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommen.
Funktionen, die von mehr als einer unabhängigen Variablen abhängen, beschreiben bei zwei unabhängigen Variablen Flächen im Raum. Derartige Funktionen kann man differenzieren, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.
Partielle Ableitungen benötigt man zur Bestimmung von Extremwerten im Raum, zur Aufstellung von Taylorreihen und wenn man mit impliziten Funktionen arbeiten muss.
\(z = f\left( {x;y} \right)\)
1. Ableitung nach x:
\({z_x} = \dfrac{\partial }{{\partial x}}f\left( {x;y} \right)\)
1. Ableitung nach y:
\({z_y} = \dfrac{\partial }{{\partial y}}f\left( {x;y} \right)\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Aktuelle Lerneinheit
Partielle Differentialgleichungen | Funktionen, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängen differenziert man, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.
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Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Gängige Ableitungsfunktionen | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Gewöhnliche Differentialgleichungen | Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen der unbekannten Funktion y=y(x) bis zur n-ten Ordnung vorkommen. |
Grafisches Differenzieren | Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt |
Lineare Optimierung (Minimum-, Maximumaufgaben) | Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. |
Ableitungsregeln | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Spezielle Ableitungsfunktionen | Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 234
Partielle Ableitungen
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer eindimensionalen Welle:
Gegeben ist die eindimensionale Wellengleichung
\(\dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} = \dfrac{\rho }{\sigma } \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {t^2}}}\)
wobei:
\(\rho \) | Dichte des Saitenmaterials |
\(\sigma\) | Saitenspannung mit \(\sigma \left( {F,q} \right)\) |
F | Kraft mit der die Saite gespannt wird |
q | Querschnitt der Saite |
Gesucht ist ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit c für folgende harmonische Erregung:
\(\psi \left( {x,t} \right) = A \cdot \sin \dfrac{{2\pi }}{\lambda }\left( {c \cdot t - x} \right)\)