Punktsymmetrisch zum Ursprung
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Grafisches Differenzieren
Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt
| f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
| f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
| f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
| f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0 | |
| f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0 | |
| f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex | f' ist steigend | f'' > 0 |
| f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav | f' ist fallend | f'' < 0 |
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
| F(x) | f(x) | N | E | W | ||
| f(x) | f'(x) | N | E | W | ||
| f'(x) | f''(x) | N | E | W |
Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren
| Funktion f(x) | Ableitung f‘(x) | Ableitung f"(x) |
|
f hat eineExtremstelle |
f‘ hat eine Nullstelle | keine Aussage möglich |
|
f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt | f" hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt | f" hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist | f‘‘ hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist |
f‘‘ hat eine Nullstelle |
| f steigt streng monoton an d.h. k>0 | f‘ liegt oberhalb der x-Achse | |
| f sinkt streng monoton d.h. k<0 | f‘ liegt unterhalb der x-Achse | |
|
f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion |
f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion | f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion |
| f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion | f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion | f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion |
| Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung | |
| Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung |
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
| \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Graph mit Hochpunkt
Graph mit Tiefpunkt
Graph mit Wendepunkt
Graph mit Sattelpunkt
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Aufgaben
Aufgabe 6031
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion
\(f:x \mapsto 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ mit }}{D_f} = \left] {0;1} \right[\).
Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Bestimmen Sie die Nullstelle von f.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von Df
3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von Gf an.
4. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Begründen Sie, dass f in Df umkehrbar ist.
5. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von Gf .
6. Teilaufgabe b.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente w an Gf im Wendepunkt W von Gf .
(zur Kontrolle: x-Koordinate von W: 1/2)
Verschiebt man Gf so, dass der Wendepunkt W im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion g.
7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie den Funktionsterm von g an.
8. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Welche Folgerung für Gf ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist?
9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeichnen Sie Gf und die Tangente w unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.
Gf schließt mit den Koordinatenachsen und der Tangente w ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein.
10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie A.
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Aufgabe 1487
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften erkennen
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades.
- Aussage 1: Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) monoton steigend.
- Aussage 2: Die Funktion f hat im Intervall (1; 2) eine lokale Maximumstelle.
- Aussage 3: Die Funktion f ändert im Intervall (–1; 1) das Krümmungsverhalten.
- Aussage 4: Der Funktionsgraph von f ist symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse.
- Aussage 5: Die Funktion f ändert im Intervall (–3; 0) das Monotonieverhalten.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für den dargestellten Funktionsgraphen von f zutreffende(n) Aussage(n) an!