Vierecke

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Allgemeines Viereck

Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Eckpunkten, vier Seiten und zwei Diagonalen. Ein konvexes Viereck erfordert 5 Bestimmungsstücke, darunter muss mindestens eine Seite sein. 5 Bestimmungsstücke führen bei konkaven Ecken zu mehrdeutigen Lösungen

Beschriftung vom allgemeinen Viereck

• Die Beschriftung der vier Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben A, B, C, D, beginnend mit der linken unteren Ecke und erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
• Die Beschriftung der vier Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben, wobei: \(a = \overline {AB} ;\,\,\,\,\,b = \overline {BC} ;\,\,\,\,\,c = \overline {CD} ;\,\,\,\,\,d = \overline {DA} ;\)
• Die Beschriftung der vier Innenwinkel erfolgt mit griechischen Kleinbuchstaben, wobei den Scheitelpunkten A, B, C, D die Winkel \(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \) sprich Alpha, Beta, Gamma, Delta zugeordnet sind
• Die Beschriftung der beiden Diagonalen erfolgt mit Kleinbuchstaben \(e = {d_1} = \overline {AC} ;\,\,\,\,\,f = {d_2} = \overline {BD} ;\)

Spezielle Vierecke

• Das Viereck heißt konvex, wenn beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen.
• Liegt eine Diagonale außerhalb des Vierecks, so hat das Viereck eine konkave Ecke.
• Spezielle Vierecke sind das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das Deltoid, das Parallelogramm und das Trapez.
• Es gibt Vierecke mit Umkreis, sogenannte Sehnenvierecke und solche ohne Umkreis.
• Es gibt Vierecke mit Inkreis, sogenannte Tangentenvierecke und solche ohne Inkreis.

Umfang vom allgemeinen Viereck

Der Umfang vom allgemeinen Viereck entspricht der Summe der vier Seiten

\(U = a + b + c + d\)

Winkelsumme im allgemeinen Viereck

Die Summe der Innenwinkel eines allgemeinen Vierecks beträgt 360°. Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen. Vier Innenwinkel zählen nur als drei Bestimmungsstücke, da sich der 4. Winkel ergibt.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)

Flächeninhalt vom allgemeinen Viereck

Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen berechnen

\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)

Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck

Die Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen

\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr} \)

Illustration eines allgemeinen Vierecks

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Beispiel: Von einem allgemeinen konvexen Viereck, wie oben dargestellt,  sind alle 4 Seiten und ein Winkel gegeben.

Berechne die beide Diagonalen und die drei fehlenden Innenwinkel!

Gegeben: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \)

Die Länge der 1. Diagonale e im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen:

\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \)

Mit Hilfe vom 1. Teil des Kosinussatzes ergibt sich die 1. Diagonale e wie folgt:

\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \)

Mit Hilfe vom 2. Teil des Kosinussatzes berechnen wir den Winkel \(\angle cd = \delta \) wie folgt:

\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {e^2} = {c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| { - {c^2} - {d^2}} \right.\\ {e^2} - {c^2} - {d^2} = - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)} \right.\\ \cos \left( \delta \right) = \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)}}\\ \delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \end{array}\)

Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \)

Entlang der Diagonale e zerfällt das allgemeine Viereck in zwei allgemeine Dreiecke, deren Flächen wir wie folgt berechnen können:
\(\begin{array}{l} {A_1} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right)\\ {A_2} = \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \end{array}\)

 Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\)

Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen wie folgt berechnen:

\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)

Die einzige Unbekannte in dieser Flächenformel ist die 2. Diagonale f, die wir wie folgt berechnen können:

\(\begin{array}{l} A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {A^{^2}} = \dfrac{1}{{16}} \cdot \left( {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \right)\,\,\,\,\,\left| { \cdot 16} \right.\\ 16 \cdot {A^2} = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\,\,\,\,\,\left| { + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,} \right.\\ 16 \cdot {A^2} + {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\, = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2}\,\,\,\,\,\left| {:4{e^2}} \right.\\ {f^2} = \dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right.\\ f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \end{array}\)

Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d₂=f

Mit Hilfe der bekannten Länge der 2. Diagonale f und zweier bekannter Seiten im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz die jeweils eingeschlossenen Winkel \(\alpha ,\,\gamma \) wie folgt berechnen:
\(\eqalign{ & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right. \cr & {f^2} = {a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\left| - \right.\left( {{a^2} + {d^2}} \right) \cr & {f^2} - {a^2} - {d^2} = - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot a \cdot d} \right)} \right. \cr & \cos \left( \alpha \right) = - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}} \cr & \alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \cr & \cr & {\text{analog anzuschreiben:}} \cr & \gamma = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2 \cdot b \cdot c}}} \right) \cr & {\text{oder}} \cr & \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \cr & \gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \cr} \)

 Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d₂=f, \(\angle da = \alpha \), \(\angle bc = \gamma \)

Anhand eines Zahlenbeispiels ergibt sich:

Die 4 Seiten und ein Winkel sind wie folgt gegeben:
\(\eqalign{ & a = 8{\text{ cm}} \cr & b = 5,1{\text{ cm}} \cr & c = 5,1{\text{ cm}} \cr & d = 4,47{\text{ cm}} \cr & \beta = 78,69^\circ \cr} \)

Wie setzen in obige Gleichungen ein, und erhalten

\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \approx \sqrt {{8^2} + {{5,1}^2} - 2 \cdot 8*5,1*\cos \left( {78,69^\circ } \right)} \approx 8,6\)

\(\delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{8,6}^2} - {{5,1}^2} - {{4,47}^2}}}{{2 \cdot 5,1 \cdot 4,47}}} \right) \approx 127,9^\circ \)

\(A = {A_1} + {A_2} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right) + \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \approx \dfrac{{8,6 \cdot 5,1}}{2}\sin \left( {78,69^\circ } \right) + \dfrac{{5,1 \cdot 4,47}}{2}\sin \left( {127,9^\circ } \right) \approx 30,5\)

\(f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \approx \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {{30,5}^2} + \left( {{{5,1}^2} + {{4,47}^2} + {8^2} - {{5,1}^2}} \right)}}{{4 \cdot {{8,6}^2}}}} \approx 7,11\)

\(\alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{7.11}^2} - {8^2} - {{4.47}^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 4.47}}} \right) \approx 62^\circ \)

\(\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \approx 360^\circ - 62^\circ - 78,69^\circ - 127,0^\circ \approx 92,31^\circ \)

→ Die Länge der 1. Diagonale e beträgt 8,6 cm, die Länge der 2. Diagonale f beträgt 7,11 cm.

→ Die fehlenden Winkel betragen \(\alpha \approx 62^\circ ,\,\,\,\gamma \approx 92,3^\circ ,\,\,\delta \approx 127,9\)

Quadrat

Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind.

• Alle 4 Seiten a sind gleich lang, das Quadrat ist daher gleichseitig
• Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel, das Quadrat ist daher ein Rechteck
• Die beiden Diagonalen sind gleich lang, rechtwinkelig zu einander und halbieren einander
• Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist sowohl Inkreis-, Umkreismittelpunkt als auch Schwerpunkt

Umfang vom Quadrat

Der Umfang vom Quadrat entspricht der vierfachen Seitenlänge

\(U = a + a + a + a = 4a\)

Winkelsumme im Quadrat

Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der vier Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)

Flächeninhalt vom Quadrat

Die Fläche vom Quadrat entspricht dem Quadrat der Seitenlänge

\(A = a \cdot a = {a^2}\)

Länge der Diagonalen im Quadrat

Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Quadrat entspricht dem Wurzel-Zweifachem einer Seitenlänge

\(d = e = f = a \cdot \sqrt 2\)

Inkreis im Quadrat

Der Radius vom Inkreis im Quadrat entspricht der halben Seitenlänge. Der Inkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen

\({r_i} = \dfrac{a}{2}\)

Umkreis vom Quadrat

Der Radius vom Umkreis vom Quadrat entspricht der halben Diagonale. Der Umkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen

\({r_u} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Illustration vom Quadrat

Rechteck

Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Es ist ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die einander halbieren

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
• Sind sogar alle vier Seiten gleich lang, dann handelt es sich um ein Quadrat
• Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel
• Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander
• Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt

Umfang vom Rechteck

Der Umfang vom Rechteck entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen

\(U = a + b + a + b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)

Winkelsumme im Rechteck

Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)

Flächeninhalt vom Rechteck

Die Fläche vom Rechteck entspricht dem Produkt der beiden Seitenlängen

\(A = a \cdot b\)

Länge der Diagonalen im Rechteck

Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Rechteck entsrpicht der Wuzel aus der Summe der beiden quadrierten Seitenlängen

\(d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Umkreis vom Rechteck

Der Radius vom Umkreis eines Rechtecks entspricht der halben Diagonale. Der Mittelpunkt vom Umkreis liegt am Schnittpunkt der beiden Diagonalen und ist gleichzeitig der Schwerpunkt des Dreiecks.

\({r_U} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Illustration vom Rechteck

Das "perfekte" Rechteck

Das perfekte Rechteck ist ein Rechteck, dessen Fläche man lückenlos und überdeckungslos mit Quadraten füllen kann. Das kleinste derartige Rechteck hat eine Seitenlänge von 32 bzw. 33 Einheiten. Die 9 eingeschriebenen Quadrate haben die Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.

Das "goldene" Rechteck

Das goldene Rechteck ist ein Rechteck mit den beiden Seitenlängen a und a+b, die zueinander im Verhältnis vom goldenen Schnitt \(1:\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1:1,6180\) stehen. Gemäß dieser Bedingung ergibt sich wie folgt, wenn man a=1 setzt.

\(\eqalign{ & \Phi = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{a + b}}{a} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}{1} \approx \frac{{1,6180}}{1} \approx 1,6180 \cr & a = 1 \cr & a + b = 1,6180 \cr & b = 0,618 \cr} \)

Der goldene Schnitt entspricht einem Aufteilungsverhältnis einer Strecke von 61,8 zu 38,2 also von ca. 2/3 zu 1/3. Dieses Aufteilungsverhältnis kommt oft in der Natur vor und gilt in der Kunst als besonders harmonisch. Bildwichtige Elemente werden also nicht in der geometrischen Mitte eines Gemäldes, Gebäudes oder Fotos sondern entlang der Linie des goldenen Schnitts plaziert.

Das so entstandene kleinere Rechteck ist ein zweites goldenes Rechteck mit den beiden Seitenlängen b und a, da diese Seiten zueinander ebenfalls im im Verhältnis vom goldenen Schnitt stehen. Man kann dieses kleinere Rechteck b, a erneut in ein Quadrat und ein noch kleineres Rechteck teilen, und das immer fort.

Die Fibonacci Folge

Die Zahl Phi \(\Phi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1,618\) vom goldenen Schnitt kann durch die Fibonacci Folge beliebig genau angenähert werden. Die Fibonacci Folge beginnt mit 0 und 1. Die folgenden Glieder ergeben sich immer als die Summe der beiden vorangehenden Glieder. So entsteht die unendliche Folge. Der Quotient zweier auf einander folgenden Zahlen nähert sich beliebig genau der Zahl Phi vom goldenen Schnitt an.

Raute bzw. Rhombus

Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Das Quadrat ist daher ein Sonderfall einer Raute. Jede Raute ist zugleich ein spezielles Trapez, Parallelogramm bzw. Deltoid.

• Alle 4 Seiten sind gleich lang
• Die einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel, die einander gegenüber liegenden Winkel sind gleich groß
• Zwei auf der selben Seite liegende Winkel addieren sich auf 180°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Ist einer der Winkel 90°, so sind alle Winkel 90° und man spricht von einem Quadrat
• Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt. Die beiden Diagonalen stehen im rechten Winkel auf einander, halbieren einander und sind Winkelsymmetralen
• Alle Höhen in einer Raute sind gleich lang. Ihre Länge entspricht dem Abstand der jeweiligen parallelen Seiten

Umfang der Raute

Der Umfang der Raute entspricht der vierfachen Seitenlänge

\(U = 4 \cdot a = 2 \cdot \sqrt {{e^2} + {f^2}} \)

Höhe der Raute

Die Höhe einer Raute eintspricht dem Abstand von je zwei parallelen Seiten. Alle Höhen der Raute sind gleich lang.

\({h_a} = a \cdot \sin \alpha \)

Winkelsumme in der Raute

Die Summe der Innenwinkel einer Raute beträgt 360°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Benachbarte Winkel ergänzen einander auf 180°, sind also Supplementärwinkel.

\(\alpha = \gamma ,\,\,\,\beta = \delta \)

Flächeninhalt der Raute

Die Fläche einer Raute errechnet sich aus Seite mal zugehöriger Höhe.

\(A = a \cdot {h_a} = \dfrac{{e \cdot f}}{2} = {a^2} \cdot \sin \alpha \)

Länge der Diagonalen in der Raute

Die Länge der Diagonalen errechnet sich aus dem Zweifachen vom Produkt aus Seitenlänge und dem Kosinus bzw. dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Jede der beiden Diagonalen teilt die Raute in zwei kongruente gleichschenkelige Dreiecke.

\(\eqalign{ & e = 2 \cdot a \cdot \cos \frac{\alpha }{2} \cr & f = 2 \cdot a \cdot \sin \frac{\alpha }{2} \cr & {e^2} + {f^2} = 4 \cdot {a^2} \cr} \)

Inkreis einer Raute

Der Radius vom Inkreis einer Raute errechnet sich aus dem halben Produkt aus Seitenlänge und dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Der Inkreisradius ist zugleich der Normalabstand vom Schnittpunkt der Diagonalen zu den vier Seiten der Raute.

\({r_i} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sin \alpha = \dfrac{{{h_a}}}{2}\)

Illustration einer Raute

Deltoid bzw. Drachenviereck

Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt.

Daraus ergibt sich:

• Die beiden Diagonalen e und f stehen im rechten Winkel zueinander und die Diagonale „e“ halbiert die Diagonale „f“.
• Das Deltoid ist achsensymmetrisch zur Diagonale e
• Zwei der 4 einander gegenüber liegendem Winkel sind gleich groß, die Winkelsumme beträgt 360°
• Es muss keinen Umkreis aber einen Inkreis haben
• Der Name "Drachenviereck" leitet sich vom "Drachen" ab, den man im Wind steigen lässt
• Ein Deltoid mit vier gleich langen Seiten nennt man Raute, hier sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel.

Umfang vom Deltoid

Der Umfang vom Deltoid entspricht der doppelten Summe jener zwei Seiten, die auf der selben Seite der Symmetrieachse liegen

\(\eqalign{ & U = 2(a + b) \cr & a = d;\,\,\,\,\,b = c; \cr} \)

Winkelsumme im Deltoid

Die Summe der Innenwinkel eines Deltoids beträgt 360°.

\(\eqalign{ & \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \cr & \beta = \delta \cr} \)

Flächeninhalt vom Deltoid

Die Fläche eines Deltoids errechnet sich aus dem halben Produkt der beiden Diagonalen

\(A = \dfrac{{e \cdot f}}{2} = a \cdot b \cdot \sin \beta \)

Länge der Diagonalen im Deltoid

Die Länge der Diagonalen im Deltoid errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz. Die Diagonale f teilt das Deltoid in zwei kongruente gleichschenkelige Dreiecke

\(\eqalign{ & e = \frac{{2 \cdot A}}{f} = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \beta } \cr & f = \frac{{2 \cdot A}}{e} = 2 \cdot a \cdot \sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = 2 \cdot b \cdot \sin \left( {\frac{\gamma }{2}} \right) \cr} \)

Inkreisradius vom Deltoid

Der Inkreisradius vom Deltoid errechnet sich aus dem doppelten vom Quotienten aus der Fläche und dem Umfang. Der Inkreismittelpunkt liegt am Schnittpunkt der beiden Winkelsymmetralen.

\({r_i} = \dfrac{{2 \cdot A}}{U} = \dfrac{{e \cdot f}}{{2 \cdot \left( {a + b} \right)}}\)

Illustration vom Deltoid

Bild

Parallelogramm bzw. Rhomboid

Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, je 2 benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
• Die beiden Diagonalen halbieren einander im Schnittpunkt M.
• Es gibt keinen Umkreis, Wenn \(a \ne b\) gibt es auch keinen Inkreis

Umfang vom Parallelogramm

Der Umfang vom Parallelogramm entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen

\(U = 2(a + b)\)

Winkelsumme im Parallelogramm

Die Summe der Innenwinkel eines Parallelogramm beträgt 360°.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)

\(\alpha = \gamma ;\,\,\,\,\,\beta = \delta ;\,\,\,\,\,\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180^\circ \)

Flächeninhalt vom Parallelogramm

Die Fläche vom Parallelogramm errechnet sich aus dem Produkt von Seite und zugehöriger Höhe

\(A = a \cdot {h_a} = b \cdot {h_b} = a \cdot b \cdot \sin \alpha \)

\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \left( \alpha \right) \cr & {h_b} = a \cdot \sin \left( \beta \right) \cr} \)

Länge der Diagonalen im Parallelogramm

Die Länge der Diagonalen im Parallelogramm errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.

\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \cr} \)

Parallelogrammsidentität

Die Summe der Flächen der Quadrate über jeder der vier Seiten ist gleich groß der Summe der Flächen über den beiden Diagonalen

\(2 \cdot \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {e^2} + {f^2}\)

Illustration vom Parallelogramm

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind

• 2 Seiten (die Grundseiten) sind zueinander parallel \(a\parallel c\), die längere Seite (a) bezeichnet man als Basis, die beiden nicht parallelen Seiten (b, d) nennt man Schenkel.
• Parallel zu den beiden Grundseiten verläuft durch die Mittelpunkte der beiden Schenkel die Mittelparallele m
• Die (einzige) Höhe h ist der Abstand der beiden parallelen Seiten.
• Die beiden Diagonalen (e, f) schneiden einander im gleichen Verhältnis.

Umfang vom Trapez

Der Umfang vom Trapez entspricht der Summe der vier Seitenlängen

\(U = a + b + c + d\)

\(a\parallel c;\,\,\,\,\,a > c;\,\,\,\,\,b\nparallel d\)

Mittenparallele

\(m = \dfrac{{a + c}}{2}\)

Winkelsumme im Trapez

Die Summe der Innenwinkel im Trapez beträgt 360°.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)

\(\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ\)

Flächeninhalt vom Trapez

Die Fläche vom Trapez berechnet sich aus der halben Summe der Längen beiden Grundseiten mal deren Parallelabstand (also der Höhe)

\(A = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot h = m \cdot h\)

Länge der Diagonalen im Trapez

Die Länge der Diagonalen im Trapez errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.

\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \\ = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \\ f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \\ = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \end{array}\)

Illustration vom Trapez