Lorenzkurve
Die Lorenz Kurve ist ein grafisches Maß für die Disparität. Die Fläche zwischen der Lorenzkurve und der Diagonalen (Gerade der Gleichverteilung) wird als Lorenzfläche bezeichnet.
\(Lorenz - Fläche = \dfrac{{n - 1}}{{2n}} - \dfrac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{v_i}} \)
Die Lorenzkurve ist eine graphische Darstellung von Ungleichheiten in der Verteilung von Merkmalsträger (x-Achse, Anteil der Bevölkerung) und zugehöriger Merkmalssumme (y-Achse, Anteil am Einkommen). Die Lorenzkurve geht immer durch die Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) und \(\left( {100\left| 100 \right.} \right)\)der Gleichverteilung. Die Ungleichheit kann aus der Abweichung von der Verbindung der Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) und \(\left( {100\left| 100 \right.} \right)\) abgelesen werden. Je weiter entfernt, um so ungleicher.
Die Lorenzkurve ist der Streckenzug durch die Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\), \(\left( {{u_1}\left| {{v_1}} \right.} \right)...\left( {{u_n}\left| {{v_n}} \right.} \right)\) und \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\) mit den summierten Anteilen \({u_j} = \dfrac{j}{n}\) und \({v_j} = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^j {{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\) auf der y-Achse.
Gini-Koeffizient
Der Gini-Koeffizient ist eine Zahl, die der Fläche unter der Gleichverteilungsgeraden und der Lorenzkurve entspricht. Je weiter die Lorenzkurve unter der Gleichverteilungsgeraden liegt, umso größer ist die Fläche, umso ungerechter ist die Verteilung (Disparität) und um so größer ist der Gini-Koeffizient.
| \(G = 1 - \dfrac{2}{n} \cdot \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{L_i} - 0,5} } \right)\) |
Li ... kummulierte Anteile an der Merkmalsumme |
| \(G = 2\int\limits_0^1 {\left( {x - L\left( x \right)} \right)} \,\,dx\) |
L(x) ... Lorenzfunktion |
Mathematisch ist der Gini-Koeffizient G der dimensionslose Quotient zweier Flächen. G=(Fläche zwischen der Gleichverteilungsgeraden und der Lorenzkurve) in Relation zur darunter liegenden (Dreiecksfläche zwischen der Gleichverteilungsgeraden und der x-Achse).
- G=0 entspricht einer Gleichverteilung, also fehlender Konzentration bzw. fehlender Disparität.
- \(G \to 1\) entspricht „Einer oder Wenige besitzen fast alles, also hoher Konzentration bzw hoher Dispersität.
Ein Gini-Koeffizient alleine macht keine Aussagen, denn es gibt kein absolutes Maß dafür, ab wann eine Verteilung „unfair“ wird. Man kann aber mit dem Gini-Koeffizient unterschiedliche Verteilungen einander gegenüberstellen.