Schließende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Schließende Statistik

Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen.

Stichprobe

Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. Sie gilt als repräsentativ, wenn sie die typischen Merkmale der Grundgesamtheit repräsentiert.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Grundlage der schließenden Statistik. Sie dient dazu, die Ergebnisse von Zufallsexperimenten auszuwerten, da deren Ausgang ja nicht exakt vorhersagbar ist.

Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten

Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Dabei ist das zeitlich jeweils nächste Ergebnis unabhängig von den zeitlich vorhergehenden Ergebnissen.

Ergebnismenge \(\Omega\)

Ein Ergebnis ist der spezifische Ausgang von einem Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge, auch Ergebnisraum genannt, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse A_i eines Zufallsexperiments, die grundsätzlich auftreten können.

\(\Omega = \left\{ {{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}\)

• Ergebnis eines einmaligen Würfelwurfs: "2 Augen"
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Wurf einer Münze ist \(\Omega = \left\{ {{\rm{Kopf;Zahl}}} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln mit 2 Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);...;\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);....\left( {6;6} \right)} \right\}\)

Ereignismenge \(P\left( \Omega \right)\)

Ereignismengen, auch Ereignisräume genannt, sind Teilmengen der Ergebnismenge. 

\(P\left( \Omega \right) = \left\{ {A\left| {A \subseteq \Omega } \right.} \right\}\)

Beispiel Würfel:

• Ergebnismenge: \(\Omega = \left\{ {{1},{2},...,{6}} \right\}\)
• Ereignismenge "nur" die gerade Augenzahl: \(\Omega = \left\{ {{2},{4},{6}} \right\}\)

Elementarereignis

Das Elementarereignis A_i ist eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\) mit genau einem Element.

\({A_i} \in \Omega\)

Zur Veranschaulichung:
Wirft man einen Würfel, so umfasst die Ergebnismenge \(\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) genau 6 Elementarereignisse : 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Gegenereignis

Das Gegenereignis A‘ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Alle Elemente des Ereignisses A und seines Gegenereignisses A‘ ergeben zusammen die Ergebnismenge \(\Omega\).
\(A' + A = \Omega\)

Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \). Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang:
\(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)

​​​Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich der Eintritt eines Ereignisses ist. Bei der wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments tritt eine Abfolge von einzelnen Elementarereignissen A_i auf. Man kann zwar nicht vorhersagen genau welches Elementarereignis als nächstes auftritt, aber man kann eine Aussage darüber machen, wie häufig ein bestimmtes Elementarereignis im Vergleich zu den anderen Elementarereignissen auftritt. Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace P(A)=P(X=x) leitet sich aus der Häufigkeit eines bestimmten Elementarereignisses, im Verhältniss zur Häufigkeit aller Elementarereignisse ab.

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit vom Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt. Oft ist es einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit von einem Ereignis auszurechnen und daraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst zurückzurechnen.

\(\eqalign{ & P\left( {A'} \right) = 1 - P\left( A \right) \cr & P\left( A \right) = 1 - P\left( {A'} \right) \cr}\)

Anmerkung zur Notation:

\(P\left( {A'} \right) = P\left( {\neg A} \right)\)

Bernoulli Experiment

Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer oder eine Niete muss aber keinesfalls 50:50 sein. Die Formel für die Laplace Wahrscheinlichkeit gilt auch für Bernoulli Experimente, da diese ja nur ein Sonderfall vom Laplace Experiment sind.

Beispiel: gerade und ungerade Tage im Jänner: Jeder Tag muss entweder gerade oder ungerade sein, aber es gibt im Jänner 15 gerade aber 16 ungerade Tage.

Wahrscheinlichkeiten in einem Bernoulli Experiment

Wenn in einem Bernoulli Experiment p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist, dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit für eine Niete, man nennt dies die Gegenwahrscheinlichkeit.

Beispiel für ein Bernoulli Experiment: Münzwurf; Es gibt 2 mögliche Elementarereignisse: Kopf, Zahl

Laplace Experiment

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches n mögliche Ergebnisse hat, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes der n Ergebnisse gleich groß ist. Man spricht dann von der Laplace Wahrscheinlichkeit.

Beispiel für ein Laplace Experiment: Würfelwurf; Es gibt 6 mögliche Elementarereignisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Laplace Wahrscheinlichkeit

Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.

\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)

wobei: \(0 \leqslant P\left( E \right) \leqslant 1{\text{ und }}P\left( 0 \right) = 0{\text{ sowie P}}\left( \Omega \right) = 1\)

Mehrstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten

Führt man ein Zufallsexperiment mehrfach hintereinander aus, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Einfache Beispiele dafür sind das mehrfache Werfen einer Münze oder das mehrfache Werfen eines Würfels.

Formel von Bernoulli für Bernoulli-Ketten

Wird ein Bernoulli-Experiment n mal durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die bernoullische Formel gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments - einer sogenannten Bernoulli-Kette - an. Dabei ist für jeden einzelnen der k Treffer, p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und (1-p) die Wahrscheinlichkeit für eine Niete. Die einzelnen Teilexperimente müssen von einander unabhängig sein. Jedes Einzelexperiment darf nur zwei mögliche Ausgänge haben.

\(P\left( {X = k} \right) = \left( \begin{gathered} n \\ k \\ \end{gathered} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)

Beispiel: Würfel (→p=1/6=0,16667) wird 10 Mal geworfen (→n=10). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Mal zwei Augen zu werfen (→k=3)

\(P\left( {K = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^3} \cdot {\left( {1 - \dfrac{1}{6}} \right)^{10 - 3}} \approx 0,155 \buildrel \wedge \over = 15,5\% \)

Baumdiagramme

Baumdiagramme unterstützen visuell bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Ein Baumdiagramm besteht aus Knoten und Zweigen. Ein Pfad startet bei einem Knoten, verläuft über einen oder mehrere Zweige und endet in einem Knoten.

Zweigwahrscheinlichkeiten

• Neben jeden Zweig schreibt man die Wahrscheinlichkeit, mit der das vom Zweig repräsentierte Zufallsereignis eintritt. 
• Die Wahrscheinlichkeit aller Zweige, die von einem Konten weglaufen, summieren sich immer auf 1.

Pfadregeln bei der Lösung von Aufgaben mittels Baumdiagramm

• Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
• Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten

Illustration eines Baumdiagramms

Produktregel für die Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen ("Und" Regel)

Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad (mehrere Zweige in Serie) dargestellt wird (Pfadwahrscheinlichkeit), gleich ist dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Mit anderen Worten: Sollten A und B unabhängige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unabhängig voneinander das Ereignis A und auch das Ereignis B eintreten, ist gleich dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.

Das eine und das andere Ereignis treten ein: Schnittmenge:

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( {A \wedge B} \right) = P\left( {{\text{A und B}}} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\)

Merksatz: "Bei unabhängigen Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit von A und B ist gleich der Wahrscheinlichkeit von A mal B"

Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen

Produktregeln für die Wahrscheinlichkeit von beliebigen Ereignissen ("Und Regel")

Sollten A und B zwei nicht notwendiger Weise unabhängige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A und auch das Ereignis B eintreten, ist gleich der Eintrittswahrscheinlichkeit für A mal der Eintrittswahrscheinlichkeit für B, unter der Voraussetzung, dass bereits Ereignis A eingetreten ist.

\(P\left( {{A} \cap {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) \cdot P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right)\)

Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen

Summenregel für die Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen ("Oder" Regel)

Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere parallele Pfade dargestellt wird, gleich ist der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. Mit anderen Worten: Sollten A und B unvereinbare / disjunkte / einander gegenseitig ausschließende Ereignisse sein, dann gilt wegen \(P\left( {{A} \cap {B}} \right) = 0\) vereinfachend: Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere von 2 disjunkten Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Entweder das eine oder das andere Ereignisse tritt ein: Vereinigungsmenge

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \vee B} \right) = P\left( {{\text{A oder B}}} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang

Summenregeln für Wahrscheinlichkeiten von beliebigen Ereignissen ("Oder Regel")

Sollten A1 und A2 zwei beliebige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das beliebige Ereignis A eintritt oder das beliebiges Ereignis B eintritt, ist gleich der Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten, abzüglich der Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse.

\(P\left( {{A} \cup {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) + P\left( {{B}} \right) - P\left( {{A} \cap {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) + P\left( {{B}} \right) - P\left( {{A}} \right) \cdot P\left( {{B}} \right)\)

Für drei beliebige - also nicht notwendigerweise disjunkte - Ereignisse gilt:
\(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) - P\left( {A \cap B} \right) - P\left( {A \cap C} \right) - P\left( {B \cap C} \right) + P\left( {A \cap B \cap C} \right)\)

Nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang

Satz von Bayes - Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, unter der Voraussetzung (Bedingung), dass bereits das Ereignis A eingetreten ist, also bei von einander stochastisch abhängigen Ereignissen

\(P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {{A} \cap {B}} \right)}}{{P\left( {{A}} \right)}}\)

Der Satz von Bayes ermöglicht es die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)\) auszurechnen, wenn nur die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit \({P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right)}\) und die beiden A-Priori-Wahrscheinlichkeiten \({P\left( {{A}} \right)}\) bzw. \({P\left( {{B}} \right)}\) bekannt sind und umgekehrt.

\(\eqalign{ & P\left( {A\left| B \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \cr & = \dfrac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \dfrac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}} \cr} \)

• Die Wahrscheinlichkeiten in der 4. Zeile errechnet sich aus der Summe der beiden darüber stehenden Wahrscheinlichkeiten
• Die Wahrscheinlichkeiten in der 4. Spalte errechnet sich aus der Summe der beiden links stehenden Wahrscheinlichkeiten

Anstelle von Wahrscheinlichkeiten können in den Felder der Vierfeldtafel auch absoluten Häufigkeiten oder Prozentwerte stehen.

Abhängige bzw. unabhängige Ereignisse:

Zwei Ereignisse A bzw. B sind von einander abhängig, wenn das Eintreten vom Ereignis A das Eintreten vom Ereignis B beeinflusst. Unabhängige Ereignisse kann man einfacher berechnen als von einander abhängige Ereignisse.

Die Ereignisse A und B sind voneinander

• abhängig, wenn gilt: \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \ne P\left( {A \cap B} \right)\)
• unabhängig, wenn gilt: \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = P\left( {A \cap B} \right)\)

In obiger Vierfeldtafel können wir die 3 Werte wie folgt ablesen:

• P(A) lesen wir in der 1. Zeile in der letzten Zeile ab
• P(B) lesen wir in der 1. Spalte in der letzten Zeile ab
• P(A ∩ B) lesen wir in der 1. Zeile in der 1. Spalte ab

Visualisierung im Baumdiagramm

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht es die Einzelwahrscheinlichkeiten aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

\(\eqalign{ & P\left( A \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{B_i}} \right) \cdot P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)} \cr & {\text{mit }}{{\text{B}}_1} \cup {B_2} \cup ... \cup {B_n} = \Omega \cr} \)

Beispiel:
n=2:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( {A\left| {\overline B } \right.} \right)\)

Histogramm der Häufigkeitsverteilung

Ein Histogramm ist eine graphische Darstellung der Häufigkeitsverteilung von in Klassen eingeteilten Daten. Die Klassen können, müssen aber nicht gleich breit sein. Über jeder Klasse wird ein Rechteck errichtet, dessen Fläche (!) proportional zur Häufigkeit dieser Klasse ist.  Man benötigt zur Darstellung von Histogrammen also die jeweilige Balkenbreite (Klassenbreite) und die Balkenhöhe (=relativer / prozentueller Anteil der Messwerte). Bei den ähnlich aussehenen Säulen- bzw. Balkendiagramme kommt es nur auf die Höhe vom Balken an, beim Histogramm jedoch auf die Fläche.

• Ehe man ein Histogramm erstellen kann, muss man die N Messwerte der Größe nach ordnen.
• Dann definiert man eine übersichtliche Anzahl von Klassen (diese haben jeweils eine Unter- und eine Obergrenze). Die Klassenbreite b_i ist frei wählbar
• Man ordnet alle Messwerte jeweils einer Klasse zu.
• Im letzten Schritt errichtet man über jeder Klasse ein Rechteck, dessen Höhe \({h_i} = \dfrac{{{n_i}}}{N}\) dem relativen (=prozentuellen) Anteil der Messwerte je Klasse entspricht.

Achtung: Verwechsle das Histogramm nicht mit einem Säulendiagramm, das sehr ähnlich aussieht, aber ganz etwas anderes darstellt.

Achtung: Verwechsle die Häufigkeitsverteilung nicht mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung

• Häufigkeitsverteilung: Ein Merkmal einer Untersuchungsgesamtheit wird nach bestimmten Kriterien / Ausprägungen ( sogenannten Klassen) geordnet und gezählt. Zur grafischen Veranschaulichung dient das Histogramm.
• Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Zahl zwischen null (0%) und eins (100%) gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse verteilen.

Gleichverteilung - Disparität - Konzentration

Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint.

Disparität und Konzentration sind Maße für die Ungleichheit bei der Verteilung der Merkmalsumme auf einzelne Merkmalsträger.

• Eine hohe Disparität liegt dann vor, wen ein kleiner %-Anteil der Merkmalsträger einen hohen Anteil an der Merkmalssumme hat. Z.B. welchen Anteil am Gesamteinkommen der Bevölkerung eines Landes die 10% der Reichsten auf sich vereinen.
• Eine hohe Konzentration liegt vor, wenn eine kleine Anzahl an Merkmalsträgern einen hohen Anteil der Merkmalssumme hat. Z.B. welchen Anteil am Gesamteinkommen der Bevölkerung eines Landes die 10.000 der Reichsten auf sich vereinen.

Lorenzkurve

Die Lorenz Kurve ist ein grafisches Maß für die Disparität. Die Fläche zwischen der Lorenzkurve und der Diagonalen (Gerade der Gleichverteilung) wird als Lorenzfläche bezeichnet.

\(Lorenz-Fläche = \dfrac{{n - 1}}{{2n}} - \dfrac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{v_i}} \)

Die Lorenzkurve ist eine graphische Darstellung von Ungleichheiten in der Verteilung von Merkmalsträger (x-Achse, Anteil der Bevölkerung) und zugehöriger Merkmalssumme (y-Achse, Anteil am Einkommen). Die Lorenzkurve geht immer durch die Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) und \(\left( {100\left| 100 \right.} \right)\)der Gleichverteilung. Die Ungleichheit kann aus der Abweichung von der Verbindung der Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) und \(\left( {100\left| 100 \right.} \right)\) abgelesen werden. Je weiter entfernt, um so ungleicher.

Die Lorenzkurve ist der Streckenzug durch die Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\), \(\left( {{u_1}\left| {{v_1}} \right.} \right)...\left( {{u_n}\left| {{v_n}} \right.} \right)\) und \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\) mit den summierten Anteilen \({u_j} = \dfrac{j}{n}\) und \({v_j} = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^j {{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\) auf der y-Achse.

Gini-Koeffizient

Der Gini-Koeffizient ist eine Zahl, die der Fläche unter der Gleichverteilungsgeraden und der Lorenzkurve entspricht. Je weiter die Lorenzkurve unter der Gleichverteilungsgeraden liegt, umso größer ist die Fläche, umso ungerechter ist die Verteilung (Disparität) und um so größer ist der Gini-Koeffizient.

Mathematisch ist der Gini-Koeffizient G der dimensionslose Quotient zweier Flächen. G=(Fläche zwischen der Gleichverteilungsgeraden und der Lorenzkurve) in Relation zur darunter liegenden (Dreiecksfläche zwischen der Gleichverteilungsgeraden und der x-Achse).

• G=0 entspricht einer Gleichverteilung, also fehlender Konzentration bzw. fehlender Disparität.
• \(G \to 1\) entspricht „Einer oder Wenige besitzen fast alles, also hoher Konzentration bzw. hoher Dispersität.

Ein Gini-Koeffizient alleine macht keine Aussagen, denn es gibt kein absolutes Maß dafür, ab wann eine Verteilung „unfair“ wird. Man kann aber mit dem Gini-Koeffizient unterschiedliche Verteilungen einander gegenüberstellen.

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zuordnet.

\(X:\Omega \to R;\,\,\,X:\omega \to X\left( \omega \right) = x\)

Das Ergebnis einfacher Zufallsexperimente ist etwa eine Augenzahl beim Würfeln oder "Kopf" oder "Zahl" beim Werfen einer Münze. Bei komplexeren Zufallsexperimenten ist das Ergebnis vom Experiment meist praktischer Weise eine Zahl. Der Großbuchstabe X steht dabei für die Zufallsvariable und der Kleinbuchstabe x steht für den einen, ganz konkreten Wert, den X annimmt. Man sagt auch, dass x die Zufallsvariable X "realisiert" und dass diese konkrete Realisation mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt.

Man unterscheidet zwischen

• diskreten Zufallsvariablen, die durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben werden
• stetigen Zufallsvariablen, die durch eine Dichtefunktion beschrieben werden

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Ergebnisse eines Zufallsexperiments auftreten. Sie lässt sich auf 2 Arten, bei gleichem Informationsgehalt aber unterschiedlicher Darstellung, beschreiben:

Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Zufallsvariablen

Für diskrete Zufallsvariablen (Bernoulli Verteilung, Binomialverteilung, Poissonverteilung, hypergeometrische Verteilung) liegt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von jedem einzelnen Wert zwischen 0 und 1. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten beträgt 1 (entsprechend 100%). Die Beschreibung erfolgt durch die

• Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x): \(f\left( x \right) = P\left( {X = x} \right)\)
   
• Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \sum\limits_{{x_i} \leqslant x} {f\left( {{x_i}} \right)} \)

Wahrscheinlichkeitsverteilung für stetige Zufallsvariablen

Für stetige Zufallsvariablen (Normalverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung) beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jedes einzelnen Werts der Zufallsvariablen exakt Null. Die Beschreibung erfolgt durch die

• Dichtefunktion f(x): \(P\left( {a < X \le b} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) wobei \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = 1\)
  • Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt immer Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)
     
• Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {f\left( t \right)\,\,dt} \)
  • Auf der y-Achse der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \le {x_1}} \right)\) ablesen, höchstens den Wert x₁ zu erreichen.

Diskrete Zufallsvariable

Die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments ist endlich / abzählbar. Eine diskrete Zufallsvariable ist durch die Angabe ihres Wertebereichs \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) und den Einzelwahrscheinlichkeiten fur das Auftreten von jedem Wert des Wertebereichs, also \(P\left( {X = {x_1}} \right) = {p_1},\,\,\,P\left( {X = {x_2}} \right) = {p_2},...P\left( {X = {x_n}} \right) = {p_n}\) vollständig definiert. Man spricht von der Wahrscheinlichkeitsfunktion, welche es nur für diskrete Zufallsvariablen gibt. (Bei stetigen Zufallsvariablen gibt es entsprechend die Dichtefunktion.)

Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsvariabler sind

• Bernoulli-Verteilung
• Binomialverteilung (mit Zurücklegen)
• Poissonverteilung
• hypergeometrische Verteilung (ohne Zurücklegen)

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion, welche es nur für diskrete Zufallsvariablen gibt, beschreibt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, indem sie jedem \(x \in {\Bbb R}\) einer Zufallsvariablen X genau eine Wahrscheinlichkeit P aus dem Intervall \(\left[ {0;1} \right]\) zuordnet.

\(f:x \to p\)

\(f:x \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {P\left( {X = {x_i}} \right)}&{für\,\,x = {x_i}}\\ 0&{für\,\,\,x \ne {x_i}} \end{array}} \right.\)

Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Im Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsverteilung werden über jedem (diskreten) Wert x die jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) dargestellt, wobei die einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(X=x) mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet werden. Im Stabdiagramm wird über jedem (diskreten) Wert x ein Stab (dünner Balken) aufgetragen, dessen Höhe der jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) entspricht.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen, auch kumulative Verteilfunktion genannt, gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt.

\(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right)\)

Sie ist eine monoton steigende Treppenfunktion mit Sprüngen an den Stellen x_i und daher nicht stetig. Geometrisch entspricht die Wahrscheinlichkeit P(X=x) der Sprunghöhe der Verteilungsfunktion F(x) an der Stelle x.

F(x) ist für jedes x definiert und nimmt Werte von mindestens 0 bis höchstens 1 an.

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } F(x) = 0 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } F(x) = 1 \cr} \)

Darüber hinaus gilt:

\(\eqalign{ & P\left( {X \geqslant x} \right) = 1 - P\left( {X < x} \right) \cr & P\left( {X > x} \right) = 1 - P\left( {X \leqslant x} \right) \cr} \)

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X, welche die diskreten Werte x₁, x₂, ..., x_n mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x₁), P(X=x₂), ... P(X=x_n) annimmt, errechnet sich aus der Summe der Produkte vom jeweiligen Wert x_i und seiner Wahrscheinlichkeit P(X=x_i). Merkregel: "Was passiert" mal "mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert es".

\(E\left( X \right) = \mu = {x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right) + {x_2} \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) + ... + {x_n} \cdot P\left( {X = {x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} \)

Der Erwartungswert ist ein Maß für die mittlere Lage der Verteilung, und somit ein Lageparameter der beschreibenden Statistik.

• Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch die selbe (z.B. bei binomialverteilten Experimenten), dann ist der Erwartungswert gleich dem arithmetischen Mittel.
• Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch unterschiedlich , dann ist der Erwartungswert gemäß obiger Formel ein gewichtetes arithmetisches Mittel.

Physikalische Analogie

• Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Man muss sich dabei die Massen R(X=x_i) an den Positionen x_i entlang vom Zahlenstrahl x plaziert vorstellen.
• Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft.

Varianz

Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen ist die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert und somit ein Streumaß der beschreibenden Statistik.
\({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - E\left( x \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)\)

Verschiebungssatz

Der Verschiebungssatz für diskrete Zufallsvariablen kann den Rechenaufwand für die Berechnung der Varianz verringern, es kann aber zum Verlust von Rechengenauigkeit kommen.
\({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = E\left( {{X^2}} \right) - E{\left( X \right)^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1}^2 \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) - E{{\left( X \right)}^2}} \)

Standardabweichung

Die Varianz hat den Nachteil, als Einheit das Quadrat der Einheit der zugrunde liegenden Zufallsvariablen zu haben. Das ist bei der Standardabweichung (auf Grund der Quadratwurzel) und beim Erwartungswert nicht der Fall.
\({\sigma _x} = \sqrt {Var\left( X \right)} \)

Physikalische Analogie für den Erwartungswert und für die Varianz:

• Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Man muss sich dabei die Massen R(X=xi) an den Positionen xi entlang vom Zahlenstrahl x plaziert vorstellen.
• Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft

Illustration zur Veranschaulichung einer kleinen Varianz:

\(\eqalign{ & {x_1} = 3;\,\,\,\,\,{x_2} = 4;\,\,\,\,\,{x_3} = 5; \cr & P\left( {{x_1}} \right) = 0,2;\,\,\,\,\,P\left( {{x_2}} \right) = 0,6;\,\,\,\,\,P\left( {{x_3}} \right) = 0,2; \cr & E(X) = \mu = \sum\limits_{i = 1}^3 {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = 3 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,6 + 5 \cdot 0,2 = 4 \cr & Var(X) = {\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{x_i} - E\left( X \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) = {\left( {3 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 + {\left( {4 - 4} \right)^2} \cdot 0,6 + {\left( {5 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 = 0,4 \cr} \)

Alternativ errechnet sich die Varianz unter Zuhilfenahme vom Verschiebungssatz wie folgt:

\(Var(X) = \sum\limits_{i = 3}^3 {{x_i}^2 \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2} = {3^2} \cdot 0,2 + {4^2} \cdot 0,6 + {5^2} \cdot 0,2 - {4^2} = 0,4\)

Illustration zur Veranschaulichung einer großen Varianz mit dem gleichen Erwartungswert:

\(\eqalign{ & {x_1} = 2;\,\,\,\,\,{x_2} = 4;\,\,\,\,\,{x_3} = 6; \cr & P\left( {{x_1}} \right) = 0,2;\,\,\,\,\,P\left( {{x_2}} \right) = 0,6;\,\,\,\,\,P\left( {{x_3}} \right) = 0,2; \cr & E(X) = \mu = \sum\limits_{i = 1}^3 {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = 2 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,6 + 6 \cdot 0,2 = 4 \cr & Var(X) = {\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{x_i} - E\left( X \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) = {\left( {2 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 + {\left( {4 - 4} \right)^2} \cdot 0,6 + {\left( {6 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 = 1,6 \cr} \)

Alternativ errechnet sich die Varianz unter Zuhilfenahme vom Verschiebungssatz wie folgt:

\(Var(X) = \sum\limits_{i = 3}^3 {{x_i}^2 \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2} = {2^2} \cdot 0,2 + {4^2} \cdot 0,6 + {6^2} \cdot 0,2 - {4^2} = 1,6\)