Lineare Ungleichung mit einer Variablen

Ungleichung

Verbindet man 2 Terme mit einem der nachfolgend angeführten Ungleichheitszeichen, so erhält man eine Ungleichung, verbindet man sie hingegen mit „=“, so erhält man eine Gleichung. Beim Lösen von Ungleichungen sucht man also nach jenen Werten für die Variable mit denen die Ungleichung eine wahre Aussage wird.

Ungleichheitszeichen

Das Ungleichheitszeichen ist ein Vergleichszeichen, welche die Ungleichheit der Terme auf den beiden Seiten einer Ungleichung anzeigt.

Lineare Ungleichung mit einer Variablen

Bei einer linearen Ungleichung mit einer Variablen enthält die Ungleichung eine einzige Variable und diese wiederum lediglich zur 1. Potenz. ​Die Lösungsmenge, also all jene x, die die Ungleichung erfüllen, kann man am Zahlenstrahl durch Intervalle visualisieren.

\(ax + b < cx + d\)

Normalform einer linearen Ungleichung mit einer Variablen

Bei der Normalform einer linearen Ungleichung kommt die Variable x nur zur 1. Potenz vor und rechts vom Ungleichheitszeichen steht eine Null. Dazu ist es eventuell erforderlich die Ungleichung durch Äquivalenzumformungen entsprechend umzuformen

Beispiel
\(\eqalign{ & ax + b < cx + d \cr & \left( {a - c} \right) \cdot x + \left( {b - d} \right) < 0 \cr} \)

Zum Lösen der Ungleichung macht man die Variable explizit, indem man allfällige Klammern auflöst, die Therme zusammenfasst und Äquivalenzumformungen so durchführt, dass die Variable und allfällige Konstanten alleine auf einer Seite der Ungleichung stehen. Nicht vergessen: Bei Division oder Multiplikation mit einer negativen Zahl, muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen!

\(\eqalign{ & ax + b < 0{\text{ }}...{\text{ mit a}}{\text{,b }} \in {\text{ }}{\Bbb R}{\text{ und a}} \ne {\text{0}} \cr & ax + b > 0{\text{ }}...{\text{ mit a}}{\text{,b }} \in {\text{ }}{\Bbb R}{\text{ und a}} \ne {\text{0}} \cr}\)

Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen

Ebenso wie Gleichungen löst man auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen. Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. Bei Ungleichungen unterscheidet man zwischen Äquivalenzumformung mit bzw. ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens. 

Ungleichungen kann man von links nach rechts und von rechts nach links lesen:
\({T_1} > {T_2} \Leftrightarrow {T_2} < {T_1}\)
"Wenn Term 1 größer als Term 2 ist, dann ist Term 2 kleiner als Term 1".

Zwei Ungleichungen mit gleichem Ungleichheitszeichen darf man zusammenfassen
\({T_1} \geqslant {T_2}\,\,\,\,\,{T_3} \geqslant {T_4} \Rightarrow {T_1} + {T_3} \geqslant {T_2} + {T_4}\)

"Wenn T₁ größer gleich T₂ und wenn T₃ größer gleich T₄ ist, dann ist auch die Summe aus T₁ und T₃ größer oder gleich T₂ und T₄".

Äquivalenzumformung ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens

Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Ungleichung nicht.

Addition oder Subtraktion von einer Konstanten oder einem Term auf beiden Seiten der Ungleichung:

\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm c < {T_2} \pm c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm {T_3} < {T_2} \pm {T_3} \cr} \)

Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl oder einem positiven Term erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens:

\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c < {T_2} \cdot c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot {T_3} < {T_2} \cdot {T_3} \cr} \)

bzw.

\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c < {T_2}:c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:{T_3} < {T_2}:{T_3} \cr} \)

Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens

Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.

\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_2} > {T_1} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c > {T_2} \cdot c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c > {T_2}:c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr}\)

Beispiel:

Gegeben sei folgende Ungleichung

\(- 4 \cdot x + 6 < 14\)

Wir subtrahieren 6 von beiden Seiten der Ungleichung → keine Umkehrung vom Ungleichheitszeichen

\(\eqalign{ & - 4 \cdot x + 6 - 6 < 14 - 6 \cr & - 4 \cdot x < 8 \cr} \)

Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch -4 → Umkehrung vom Ungleichheitszeichen erforderlich!

\(\eqalign{ & - 4 \cdot x < 8\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 4} \right)} \right. \cr & x > \frac{8}{{ - 4}} \cr & x > - 2 \cr} \)

Intervalle

Intervalle dienen dazu Zahlenbereiche noch oben und nach unten abzugrenzen. Eine Menge reeller Zahlen heißt Intervall, wenn diese Zahlen durch eine Strecke auf der Zahlengerade darstellbar sind.

Offenes Intervall

Bei einem offenen Intervall, bzw. einem Intervall mit offenen Grenzen, sind beide Grenzen selbst nicht mit eingeschlossen.. Das offene Intervall umfasst alle Zahlen, die zwischen dem unteren „u“ und dem oberen „o“ Grenzwert liegen, jedoch sind die beiden Grenzwerte „u“ bzw. „o“ selbst nicht Teil vom offenen Intervall.

\(\eqalign{ & u < x < o \cr & \left] {u;o} \right[ = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u < x < o} \right.} \right\} \cr}\)

Abgeschlossenes Intervall

Bei einem abgeschlossenen Intervall,bzw. einem Intervall mit geschlossenen Grenzen, sind beide Grenzen mit eingeschlossen. Das abgeschlossene Intervall umfasst alle Zahlen, die zwischen dem unteren „u“ und dem oberen „o“ Grenzwert liegen, inklusive der beiden Grenzwerte „u“ bzw. „o“.

\(\eqalign{ & u \leqslant x \leqslant o \cr & \left[ {u;o} \right] = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u \leqslant x \leqslant o} \right.} \right\} \cr}\)

Halboffenes Intervall

Das halboffene Intervall hat eine offene und eine geschlossene Grenze. Das halboffene Intervall umfasst alle Zahlen, die zwischen dem unteren „u“ und dem oberen „o“ Grenzwert liegen, jedoch ist eine der beiden Grenzen „u“ bzw. „o“ selbst mit eingeschlossen, während die jeweils andere Grenze nicht eingeschlossen ist.

\(\eqalign{ & u \leqslant x < o\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {u;o} \right[ = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u \leqslant x < o} \right.} \right\} \cr & u < x \leqslant o\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left] {u;o} \right] = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u < x \leqslant o} \right.} \right\} \cr} \)

Unendliches Intervall

Das unendliche Intervall hat nur eine untere oder eine obere Grenze, die entweder zum Intervall gehört oder nicht. Aus der Zahlengerade wird so ein Zahlenstrahl.

\(\eqalign{ & u \leqslant x \cr & \left[ {u;\infty } \right] = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u \leqslant x} \right.} \right\} \cr} \)