Lineare Gleichungssyteme mit zwei Variablen

Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen

Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen sind zwei Gleichungen erforderlich.

\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1}.y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2}.y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)

wobei:

Grafische Lösung linearer Gleichungssysteme

Jeder der beiden linearen Gleichungen entspricht eine Gerade. Bei 2 Gleichungen liegen also 2 Geraden vor. Da jede der beiden Geraden durch 2 Variable beschrieben wird, liegen entsprechend auch nur 2 Dimensionen x, y vor, also liegen die beiden Geraden in einer xy-Ebene, und nicht etwa im dreidimensionalen Raum.

• 2 Gerade in einer Ebene können einander in einem Schnittpunkt schneiden → Es gibt eine Lösung für das lineare Gleichungssystem
• 2 Gerade in einer Ebene können einander nicht schneiden, dann liegen sie parallel zu einander → Es gibt keine Lösung für das lineare Gleichungssystem
• 2 Gerade in einer Ebene können unendlich viele gemeinsame Punkte haben, dann sind sie identisch, bzw. "übereinander" → Es gibt unendlich viele Lösung für das lineare Gleichungssystem

Lineare Gleichungen, also Gleichungen 1. Grades, lassen sich als Gerade vom Typ \(y = k \cdot x + d\) interpretieren. Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten entsprechen grafisch zwei Geraden in einer Ebene. Wir müssen daher 3 Fälle unterscheiden:
 

• Fall 1: Zwei deckungsgleiche Gerade: Sind die Geraden ident, so gibt es unendlich viele Lösungen für das lineare Gleichungssystem.
  
   
• Fall 2: Zwei parallele Gerade: Es gibt es keinen Schnittpunkt, und somit auch keine Lösung des linearen Gleichungssystems.
  
   
• Fall 3: Zwei schneidende Gerade: Es gibt einen Schnittpunkt S, dessen Koordinaten x_S, y_S stellen die einzige Lösung für x, y des linearen Gleichungssystems dar.
  

Eliminationsverfahren

Beim Eliminationsverfahren bzw. Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der selben Variablen (x) aufgelöst. Danach werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt, wodurch die Variable (x) nach der explizit gemacht wurde, verschwindet und nur mehr eine Gleichung in der verbleibenden Variablen (y) überbleibt..

\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)

\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1:}}{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} \cr & {\text{Gl}}{\text{.2:}}{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_2} - {b_2} \cdot y}}{{{a_2}}}\cr}\)

Gleichsetzen: Gl. 1 = Gl. 2
\(\dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} = \dfrac{{{c_2} - {b_2} \cdot y}}{{{a_2}}}\)

Substitutionsverfahren

Beim Substitutionsverfahren bzw. Einsetzverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.

\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)

\({\text{Gl}}{\text{. 1: }}{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}}\)

x aus Gl. 1 in Gl. 2 einsetzen:
\({\text{Gl}}{\text{. 2: }}{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \Rightarrow {a_2} \cdot \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} + {b_2} \cdot y = {c_2}\)

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren bzw. beim Verfahren gleicher Koeffizienten werden durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat. Was bleibt ist eine Gleichung in einer Variablen, die man dadurch löst, dass man die verbliebene Variable explizit macht.

\(\eqalign{ & Gl.1:{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1}\,\,\left| {{\lambda _1}} \right. \cr & Gl.2:{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2}\,\,\left| {{\lambda _2}} \right. \cr}\)

\({\lambda _1},{\lambda _2}{\text{ so wählen}}{\text{, dass }}{\lambda _1} \cdot {b_1} = \pm {\lambda _2} \cdot {b_2}\)

\(\matrix{ {Gl.1} & {{\lambda _1} \cdot {a_1}.x} & { + {\lambda _1} \cdot {b_1} \cdot y} & { = {\lambda _1} \cdot {c_1}} \cr {Gl.2} & {{\lambda _2} \cdot {a_2} \cdot x} & { + {\lambda _2} \cdot {b_2} \cdot y} & { = {\lambda _2} \cdot {c_2}} \cr {Gl.1\,\, \mp Gl.2.} & {{\lambda _1} \cdot {a_1} \cdot x} & { \mp {\lambda _2} \cdot {a_2} \cdot x} & { = {\lambda _1} \cdot {c_1} \mp {\lambda _2} \cdot {c_2}} \cr }\)

Cramersche Regel

Die cramersche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren, um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen bzw. um herauszufinden, dass es nicht eindeutig lösbar ist.

Rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme für n=2 Variable gemäß cramerscher Regel

\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)

\(\eqalign{ & x = \dfrac{{{c_1}{b_2} - {c_2}{b_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}; \cr & y = \dfrac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}; \cr} \)

wobei:

\(\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right) \ne 0;\)

Rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme für n=3 Variable gemäß cramerscher Regel bzw. Determinantenmethode

Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, bei dem man das gegebene Gleichungssystem in Form einer Koeffizienten Matrix anschreibt und anschließend je Variable zwei Determinanten löst.

\(\eqalign{ & {a_1}.x + {b_1}.y + {c_1}.z = {d_1} \cr & {a_2}.x + {b_2}.y + {c_2}.z = {d_2} \cr & {a_3}.x + {b_3}.y + {c_3}.z = {d_3} \cr}\)

\(x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{d_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{d_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{d_2}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|}}{D};\)

\(y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{d_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{d_2}}&{{c_2}}\\ {{a_2}}&{{d_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|}}{D}\)

\(z = \dfrac{{{D_z}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{d_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{d_2}}\\ {{a_2}}&{{b_3}}&{{d_3}} \end{array}} \right|}}{D};\)

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|;\)