Analysis

Gängige Ableitungsfunktionen

Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x₀ der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x₀ an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x₀. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen gängiger Funktionen solle man auswendig können.

Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.

Konstante Funktion differenzieren (Faktorregel)

Die Ableitung f'(x) einer konstanten Funktion ist null, weil auch die Steigung der konstanten Funktion null ist . Der Graph jeder konstanten Funktion f(x) verläuft horizontal.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cr & f'\left( x \right) = 0 \cr}\)

Lineare Funktion differenzieren

Die Ableitung f'(x) einer linearen Funktion f(x) (das ist eine Gerade) entspricht deren Steigung. Die Steigung k einer Geraden ist über deren ganzen Verlauf konstant.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = kx + d \cr & f'\left( x \right) = k \cr}\)

Potenzfunktionen differenzieren

Potenzfunktionen werden differenziert, indem man den Exponenten n (mit samt seinem Vorzeichen) vor die Potenz setzt und indem man den Exponenten der Funktion f(x) um minus 1 reduziert.
Merksatz: "Exponent runter, Exponent minus 1, Innere Ableitung"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

Produkt aus einer Konstanten und einer Potenzfunktion

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot c \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Konstanten- oder Faktorregel beim Differenzieren

Potenzfunktion mit negativem Exponenten

\(\eqalign{ & f(x) = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} \cr} \)

Polynom differenzieren

Polynome werden unter Berücksichtigung der Faktor- und der Potenzregel differenziert. Bei Klammerausdrücken muss gemäß der Kettenregel auch noch die innere Ableitung als zusätzlicher Faktor angeschrieben werden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {\left( {bx + c} \right)^n} + d \cr & f'\left( x \right) = a \cdot n \cdot b \cdot {\left( {bx + c} \right)^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Kettenregel

Potenzfunktion steht im Nenner

Bei einfachen Brüchen bietet sich als Alternative zur Quotientenregel an, den Bruch in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^n}}} = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} = - n \cdot {x^{ - \left( {n + 1} \right)}} = - \dfrac{n}{{{x^{n + 1}}}} \cr} \)

Wurzelfunktionen differenzieren

Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

Quadratwurzel

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr} \)

n-te Wurzel

\(\eqalign{ & f(x) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{n \cdot \root n \of {{x^{n - 1}}} }}{\text{ }} \cr} \)

Quadratwurzel im Nenner

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} = {x^{ - \,\,\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}{x^{ - \,\,\dfrac{3}{2}}} \cr} \)

Exponentialfunktionen differenzieren

Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mit Ihrer eigenen Ableitung f'(x) identisch ist.

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f' = {e^x} \end{array}\)

Exponentialfunktion, mit einem zusätzlichen konstanten Faktor im Exponenten

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)

Exponentialfunktionen zur beliebigen positiven Basis a

Bei der Exponetialfunktion zur beliebigen Basis a, kommt bei der Ableitung zur Funktion selbst noch der Faktor ln a dazu.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)

Logarithmusfunktionen differenzieren

Natürlicher Logarithmus

Die Ableitung der Logarithmusfunktionen ist "1 geteilt durch x".

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr}\)

Logarithmus von x zur Basis a

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln a}} = \dfrac{1}{x} \cdot {}^a\log e \cr} \)

Logarithmus mit Klammer im Numerus

Besteht der Numerus aus einer Klammer, dann ist zudem die Kettenregel anzuwenden.

\(\eqalign{ & f(x) = \ln (ax + b) \cr & f'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{\left( {ax + b} \right)}} \cr} \)

Winkelfunktionen differenzieren

Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (wie Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Im Rahmen von Kurvendiskussionen benötigt man die 1., 2. und 3. Ableitung der jeweiligen Funktion.

Sinus differenzieren

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)

Kosinus differenzieren

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)

Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus:

Tangens differenzieren

Da tan x gleich ist mit (sin x dividiert durch cos x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (1 dividiert durch cos²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \cr}\)

Kotangens differenzieren

Da cot x gleich ist mit (cos x dividiert durch sin x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (-1 dividiert durch sin²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) \cr}\)

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)

Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
\({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)

Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.

Beispiel:
Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:

\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)

Arithmetische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe s_n entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)

Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)

\(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)

• d < 0: fallende Folge
• d = 0: konstante Folge
• d > 0: steigende Folge

Rekursive Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds a_n+1 das n-te Vorgängerglied a_n kennen muss. 
\({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)

Explizite Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)

Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder

\({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:

Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet: 

\(\eqalign{ & {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr & \cr & {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr & {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr & {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr & \cr & \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)

Geometrische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)

Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)

\(​q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)

• q<0 : alternierende Folge
• 0<q<1 : fallende Folge
• q=1 : konstante Folge
• q>1 : steigende Folge

Rekursive Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds a_n+1 das n-te Vorgängerglied a_n kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)

Explizite Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.

\({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)

Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)

Beispiel:

Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge

Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden

\(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)

Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)

Funktionsgleichung

Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge D_f auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

Daher nennt man

• y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
• x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

Typen wichtiger Funktionsgleichungen

Graph einer Funktion

Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

\(y = f\left( x \right)\)

Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

Wertetabelle einer Funktion

Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge D_f ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge W_f, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

Mengendiagramm einer Funktion

Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden

Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x), wenn für alle \(x \in {D_f}\) wie folgt gilt: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Umgekehrt formuliert: Eine Funktion f(x) ist integrierbar, falls es eine „Stammfunktion“ gibt, sodass die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. Eine integrierbare Funktion hat unendlich viele (entlang der y-Achse parallel verschobene) Stammfunktionen, die sich nur durch die „Integrationskonstante c“ unterscheiden.

Unbestimmtes Integral F(x)

Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral F(x), C heißt Integrationskonstante. Sprich: „Integral f von x dx“. dx ist ein Operator, der anzeigt, nach welcher Variablen zu integrieren ist.

\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c{\text{ mit }}F' = f\)

Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Die Graphen aller Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung längs der y-Achse ineinander über.

Bei der Integralrechnung sind die Begriffe Stammfunktion, Integrand, Integrationskonstante und Differential gebräuchlich.

\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\)

Zusammenhang Stammfunktion F(x), Funktion f(x) und Ableitungsfunktion f'(x)

Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung

Integriert man die Funktion y=f(x) nach x, so erhält man deren Stammfunktion F(x). Differenziert man die Stammfunktion F(x) so erhält man wieder die Funktion y=f(x).

\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,F'(x) = f(x)\)

Differenziert man die Funktion y=f(x) so erhält man deren 1. Ableitung y‘(x). Integriert man die 1. Ableitung y‘(x) so erhält man wieder y=f(x).

\(\int {y'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + c\)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch der Fundamentalsatz der Analysis liefert

1. den Zusammenhang zwischen der Differential- und der Integralrechnung
2. besagt mit der Formel von Newton und Leibnitz wie das bestimmte Integral aus dem unbestimmten Integral hervorgeht.

1. Wenn man die Funktion f(x) integriert, erhält man die Stammfunktion F(x) und wenn man die Stammfunktion F(x) differenziert, erhält man die Funktion f(x). Wenn die Funktion f(x) im Intervall [a,b] stetig ist, so ist ihre Stammfunktionfunktion F(x) an jeder Stelle x∈[a,b] differenzierbar und es gilt: F‘(x)=f(x).
   \(F\left( x \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx}\)
    
2.  Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) kann berechnet werden, indem man die Differenz der oberen - und der unteren Grenze der Stammfunktion F(x) bildet. Man nennt diesen Zusammenhang die Formel von Newton und Leibnitz.
    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = \left. {\left[ {F\left( x \right)} \right]} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)​

Geometrische Interpretation vom Integral

• Beim unbestimmten Integral erfolgt das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x). Die Stammfunktion F(x) gibt ganz allgemein die Gleichung für die Fläche zwischen der zugehörigen Funktion f(x) und der x-Achse an.
• Beim bestimmten Integral wird nicht nur die Gleichung der Fläche, sondern tatsächlich der Zahlenwert der Fläche bestimmt und zwar zwischen einer konkreten unteren und einer konkreten oberen Grenze. 

Um Missverständnisse zu vermeiden: Beim bestimmten Integral wird "die Fläche" unter der Funktion bestimmt. Es muss sich dabei aber nicht unbedingt um eine Fläche im geometrischen Sinn von Länge mal Breite handeln. Wenn die Funktion etwa die den zeitlichen Verlauf einer Leistung P(t) entspricht, dann entspricht die "Fläche" unter der Funktion einer elektrischen Arbeit gemäß \(W = \int\limits_0^t {P\,\,dt} \) im Zeitraum 0 bis t

Rechenregeln für bestimmte Integrale

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Integral bei einer Intervalllänge gleich Null

\(\eqalign{ & \int\limits_a^a {f\left( x \right)\,\,dx = 0} \cr}\)

Vertauschen der Integrationsgrenzen

Beim Integrieren kehrt sich das Vorzeichen durch das Vertauschen der Integrationsgrenzen um

\(\int\limits_b^a {f\left( x \right)\,\,dx = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} } \,\,dx\)

Kombination benachbarter Intervalle

Beim Integrieren kann man benachbarte Intervalle zu einem Intervall zusammenfassen

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)\,\,dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)\,\,dx} } } \)

Kriterium für Integrierbarkeit

Das Kriterium für Integrierbarkeit ist, dass die Funktion im Intervallbereich [a,b] monoton oder stetig oder zumindest stückweise stetig ist (d.h. nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt).

Polynomfunktionen n-ten Grades

Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_0}} \right.} \right)\). Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen ist nicht eingeschränkt, daher gilt: \(D = {\Bbb R}\). Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen genannt.

\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

\(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} \)

\(f\left( x \right) = c \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right){\text{ wobei }}{{\text{x}}_n}{\text{ die n Nullstellen sind}}\)

wobei:

Die wichtigsten Polynomfunktionen:

n=0:
konstante Funktion
\(f\left( x \right) = {a_0}\)

• ​0 oder bei f(x)== unendlich viele Nullstellen
• 0 Extremstellen
• 0 Wendestellen
• Typischer Graph verläuft parallel zur x-Achse
   

n=1:
lineare Funktion
\(f\left( x \right) = {a_1} \cdot x + {a_0} = k \cdot x + d\)

• ​1 Nullstelle
• 0 Extremstellen
• 0 Wendestellen
• Typischer Graph ist eine Gerade, welche die x und die y-Achse schneidet
   

n=2:
quadratische Funktion bzw. Parabel
\(f\left( x \right) = {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0} = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

• ​0, 1 oder 2 Nullstellen
• 1 Extremstelle, bei: \(x = - \dfrac{{{a_1}}}{{2{a_2}}}{\text{ für }}{{\text{a}}_2} \ne 0\)
• 0 Wendestelle
• Typischer Graph ist eine Parabel
   

Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.

• a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
• a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
• Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
• b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
• b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
• Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)

n=3:
kubische Funktion
\(f(x) = {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

• 1, 2 oder 3 Nullstellen
• 0 oder 2 Extremstellen
• 1 Wendestelle
• Typischer Graph verläuft s-förmig
   

n=4:
\(f(x) = {a_4} \cdot {x^4} + {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

• 0 .. 4 Nullstellen
• 1 oder 3 Extremstellen
• 0 oder 2 Wendestellen
• Typischer Graph verläuft w-förmig
   

Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.

• Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
   

Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion n minus 1
 

Wendepunkte: Maximale Anzahl der Wendepunkte = Grad der Funktion n minus 2

• \(n \geqslant 3\) und n gerade: 0, 2, 4,.. Wendestellen
• \(n \geqslant 3\) und n ungerade: mindestens 1 Wendestelle
   

konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.

Stammfunktion einer Funktion auffinden

"Die Differentiation ist ein Handwerk, die Integration dagegen ist eine Kunst"

Differential- und Integralrechnung hängen eng zusammen: Durch Integration der Ableitungsfunktion f'(x) erhält man die Funktion f(x). Durch Integration der Funktion f(x) erhält man die Stammfunktion F(x). Durch Differenzieren der Stammfunktion F(x) erhält man die Funktion f(x) und durch Differenzieren der Funktion f(x) erhält man die Ableitungsfunktion f'(x). Bei Differenzieren berechnet man Steigung der Funktion, beim Integrieren berechnet man die Fläche unter der Funktion.

Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung

Für viele wichtige Funktionen sind die zugehörigen Stammfunktionen bekannt. Aber selbst relativ einfach erscheinende Funktionen wie \(f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\) sind nicht elementar integrierbar, d.h. ihre Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen darstellen.

\(\begin{array}{l} \int {f(x)\,\,dx = F\left( x \right) + C} \\ F'\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array}\)

Zusammenhang Stammfunktion F(x) - Funktion f(x) - Ableitungsfunktion f'(x)

Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen f(x) und Ihre Ableitungsfunktionen f'(x) sowie die zugehörigen Stammfunktionen F(x) angeführt sind. Nachfolgend die für die Sekundarstufe 2 wichtigsten Zusammenhänge:

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von gewöhnlichen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von einer Variablen abhängt, die in der Funktionsgleichung der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommt. Die Funktion y=y(x) ist dann eine Lösung der Differentialgleichung, wenn y=y(x) und ihre Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfüllen.

Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung

• Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n voneinander unabhängige Parameter, deren Ursprung Integrationskonstanten sind
• Die partikuläre oder spezielle Lösung wird aus der allgemeinen Lösung durch die Anwendung zusätzlicher Bedingungen (Anfangsbedingung, Randwertbedingung) gewonnen , wobei man den n Parametern feste Werte zuweist.

Allgemeine Differentialgleichung 1. Ordnung

In einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung kommen y und y‘ vor, sowie die beiden beliebigen Funktionen a(x) und b(x)

\(y' + a\left( x \right) \cdot y = b\left( x \right)\)

• Beispiel einer expliziten DGL 1. Ordnung
  • \(y' = \sin \left( x \right)\)
• Beispiel einer impliziten DGL 1. Ordnung:
  • \(x - yy' = 0\)
  • \(\mathop { s }\limits^{ \cdot \cdot } =-g\)

Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der a(x)=x, also ein konstanter Koeffizient ist.

\(\eqalign{ & y' + a \cdot y = s\left( x \right){\text{ mit }}a \in {\Bbb R},{\text{ }}y = y\left( x \right) \cr & y = {y_h} + {y_p} \cr} \)

Differentialgleichung 1. Ordnung mit trennbaren Variablen

Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der man die Variablen "y" auf der einen Seite und die Variablen „x“ auf der anderen Seite einer Differentialgleichung anschreiben kann. Man spricht auch von einer separablen Differentialgleichung.

\(\eqalign{ & y' = \dfrac{{dy}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \cr & \dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx \cr & \int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C \cr} \)

Vorgehen zur Lösung von Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ \(y' = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right)\)

• 1. Lösungsschritt: Trennen der beiden Variablen: \(\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx\)
• 2. Lösungsschritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung: \(\int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C\)
• 3. Lösungsschritt: Man versucht - was nicht immer möglich ist - die Auflösung der nunmehr vorliegenden impliziten Gleichung vom Typ \(G\left( y \right) = F\left( x \right)\) nach der Variablen „y“.

Bestimmtes Integral - Bogenlänge

Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist.

Bestimmtes Integral - Bogenlänge einer ebenen Kurve

Es sei f(x) eine im Intervall [a,b] differenzierbare, also eine stetige Funktion. Dann ist s Bogenlänge der ebenen Kurve. Eine Kurve heißt rektifizierbar, wenn sie eine endliche Bogenlänge s hat.

\(s = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx}\)

Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]

Neben der Bogenlänge der Funktion f(x) im Intervall [a; b] kann man sich auch für den mittleren Abstand des Bogens von der x-Achse innerhalb dieses Intervalls interessieren. Ein Beispiel wäre die mittlere Flughöhe eines Balls beim Schuss vom Elfmeterpunkt in Richtung vom Tor.

\(m = \dfrac{1}{{b - a}} \cdot \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)

Ableitungsregeln

Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Ableitungsregeln. Die gängigsten Ableitungsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.

Konstanten- oder Faktorregel

Die Faktorregel kommt dann zur Anwendung, wenn vor der abzuleitenden Funktion f(x) ein konstanter Faktor c steht. Mit andern Worten, wenn ein Proukt aus einer Konstanten c und einer Funktion f(x) abzuleiten sind. Die Regel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)

Summen- bzw. Differenzenregel

Die Summen- bzw. Differenzenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Summe bzw. Differenz vorliegen. Die Regel besagt, dass die beiden Teilfunktionen individuell abzuleiten sind und erneut eine Summe oder Differenz bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)

Produktregel beim Differenzieren

Die Produktregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Produkt vorliegen. Die Regel besagt, dass die Ableitung der 1. Funktion f'(x) mal der 2. Funktion g(x) plus die 1. Funktion f(x) mal der Ableitung der 2. Funktion g'(x) zu summieren sind

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)

Quotientenregel beim Differenzieren

Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn im Zähler die Funktion f(x) und im Nenner die Funktion g(x) stehen. Die Regel besagt, dass vom Produkt aus der Ableitung des Zählers f'(x) mit der Nennerfunktion g(x) das Produkt aus der Zählerfunktion mal der abgeleiteten Nennerfunktion zu bilden ist und diese Differenz ist dann durch das Quadrat der Nennerfunktion zu dividieren.

Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"

\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Reziprokenregel

Die Reziprokenregel ist eine Abkürzung der Quotientenregel, die dann zur Anwendung kommt, wenn die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion f(x) ist. Die Regel besagt, dass der negative Quotient aus der abgeleiteten Funktion f'(x) mit dem Quadrat der Funktion f²(x) zu bilden ist.

\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\\ - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \end{array}\)

Steht im Zähler nicht "1" sondern eine Konstante c, dann verhält sich diese gemäß der Faktorregel, d.h. sie bleibt beim Differenzieren unverändert.

\(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Kettenregel beim Differenzieren

Die Kettenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen v(x) und u(x) mit einander verkettet sind. "Verkettet" bedeutet, dass sich die Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion v(x) und einer inneren Funktion u(x) zusammensetzt. Die Regel besagt, dass man zuerst die äußere Funktion selbst ableitet v'(x) und dann mit deren "innerer Ableitung" u'(x) multipliziert.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)

Allgemeine Kettenregel

Die allgemeine Kettenregel gibt an, wie eine Verkettung von mehr als 2 Funkktionen differenzierbar ist.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)

Taylorpolynom

Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x₀ durch eine Polynomfunktion zu approximieren. Man spricht dann von einem „Taylor-Polynom n-ten Grades an der Entwicklungsstelle x₀ “_.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \approx \cr & f\left( {{x_0}} \right) + \dfrac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{1!}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... + \dfrac{{{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^n} = \cr & = \sum\limits_{i = 0}^n {\dfrac{{{f^{\left( i \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{i!}}} {\left( {x - {x_0}} \right)^i} \cr}\)

Den Fehler, der bei der Näherung durch das Taylorpolynom gemacht wurde, kann man mit Hilfe der Formeln von Lagrange oder Cauchy abschätzen. Die beiden Formeln für das Restglied \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right)\) d.h. für den Fehler des n-ten Taylorpolynoms um den Entwicklungspunkt x₀ an der Stelle x lauten:

nach Lagrange: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^{\left( {n + 1} \right)}}\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)

nach Cauchy: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - c} \right)^{\left( n \right)}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right)\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)

Partielle Differentialgleichungen

Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von partiellen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von mehreren Variablen abhängt und in der Funktionsgleichung Ableitungen der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommen.

Funktionen, die von mehr als einer unabhängigen Variablen abhängen, beschreiben bei zwei unabhängigen Variablen Flächen im Raum. Derartige Funktionen kann man differenzieren, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.

Partielle Ableitungen benötigt man zur Bestimmung von Extremwerten im Raum, zur Aufstellung von Taylorreihen und wenn man mit impliziten Funktionen arbeiten muss.

\(z = f\left( {x;y} \right)\)

1. Ableitung nach x:
\({z_x} = \dfrac{\partial }{{\partial x}}f\left( {x;y} \right)\)

1. Ableitung nach y:
\({z_y} = \dfrac{\partial }{{\partial y}}f\left( {x;y} \right)\)