Numerische Integration

Numerische Integration

Die numerische Integration kommt dann zum Einsatz,

• wenn der Integrand nicht als Funktion gegeben ist, sondern aus einer Messreihe nur punktweise vorliegt
• wenn die Funktion zwar gegeben aber nicht analytisch integrierbar ist

Bei der numerischen Integration kommen etwa Quadraturformeln zum Einsatz, die auf einer gewichteten Summe von Funktionswerten basieren

• Rechtecksregel
• Trapezregel
• Simpsonsche Regel
• Keplersche Fassregel

Heute setzt man bevorzugt Computeralgebrasysteme wie Maple® oder Mathematica® ein.

Numerische Integration - Rechteck

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse wird durch Rechtecke - sehr grob – angenähert.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{n} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] = \cr & = \Delta x \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right)} ; \cr}\)

Numerische Integration - Trapez

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Trapeze angenähert, indem man den Kurvenbogen abschnittsweise durch Sehnen ersetzt.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{2n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)

Numerische Integration - Keplersche Fassregel

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch eine Parabel angenähert, die durch den Funktionswert am Anfang und am Ende verläuft.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} \approx \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{6} \cdot \left[ {f\left( a \right) + 4f\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right) + f\left( b \right)} \right] \cr}\)

Numerische Integration - Simpsonsche Regel

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Teilflächen unter Parabelbögen angenähert, wobei jeder Parabelbogen durch drei aufeinanderfolgende Intervallpunkte verläuft.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{3n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 4f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)} \right] + \cr & + \left[ {f\left( {{x_2}} \right) + 4f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_4}} \right)} \right] + ... \cr & + \left[ {f\left( {{x_{n - 2}}} \right) + 4f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)