Numerische Integration

Die numerische Integration kommt dann zum Einsatz,

wenn der Integrand nicht als Funktion gegeben ist, sondern aus einer Messreihe nur punktweise vorliegt
wenn die Funktion zwar gegeben aber nicht analytisch integrierbar ist

Bei der numerischen Integration kommen etwa Quadraturformeln zum Einsatz, die auf einer gewichteten Summe von Funktionswerten basieren

Rechtecksregel
Trapezregel
Simpsonsche Regel
Keplersche Fassregel

Heute setzt man bevorzugt Computeralgebrasysteme wie Maple® oder Mathematica® ein.

Numerische Integration - Rechteck

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse wird durch Rechtecke - sehr grob – angenähert.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{n} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] = \cr & = \Delta x \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right)} ; \cr}\)

Numerische Integration - Trapez

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Trapeze angenähert, indem man den Kurvenbogen abschnittsweise durch Sehnen ersetzt.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{2n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)

Numerische Integration - Keplersche Fassregel

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch eine Parabel angenähert, die durch den Funktionswert am Anfang und am Ende verläuft.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} \approx \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{6} \cdot \left[ {f\left( a \right) + 4f\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right) + f\left( b \right)} \right] \cr}\)

Numerische Integration - Simpsonsche Regel

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Teilflächen unter Parabelbögen angenähert, wobei jeder Parabelbogen durch drei aufeinanderfolgende Intervallpunkte verläuft.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{3n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 4f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)} \right] + \cr & + \left[ {f\left( {{x_2}} \right) + 4f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_4}} \right)} \right] + ... \cr & + \left[ {f\left( {{x_{n - 2}}} \right) + 4f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)

Numerische Integration