Geometrische Grundbegriffe

Euklidische und nichteuklidische Geometrie

Ein Ziel der Geometrie ist die Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade

Euklidische ebene Geometrie

Die euklidische ebene Geometrie dient der der Abbildung vom uns wohlvertrauten dreidimensionalen Raum

• Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g durch diese Punkte. Diese Gerade g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten
• Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es genau eine Gerade h parallel zu g durch P („Parallelenaxiom“)
• Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180 Grad

Nichteuklidische Geometrie

Die nichteuklidische Geometrie basiert auf der Negation vom Parallelenaxiom: Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die g nicht schneiden. In der nichteuklidischen Geometrie der allgemeinen Relativitätstheorie krümmen Schwerefelder den Raum. Ungeklärt ist ob das Universum hyperbolisch oder elliptisch gekrümmt ist.

Nichteuklidische hyperbolische Geometrie

Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie kommt ohne dem Parallelenaxiom aus

• Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g, welche beide Punkte enthält.
• Zu jeder Gerade g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es unendlich viele Parallelen zu Geraden g durch P
• Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer kleiner als 180 Grad

Nichteuklidische sphärische Geometrie der Kugel

In der nichteuklidischen sphärischen Geometrie der Kugel gilt

• Zu je zwei Punkten gibt es einen Großkreis, welcher beide Punkte enthält und der kürzeste Abstand auf der Oberfläche zwischen den beiden Punkten ist. Ein Großkreis entsteht durch den Schnitt einer Ebene welche die beiden Punkte und den Kugelmittelpunkt enthält mit der Kugeloberfläche
• Es gibt keine parallelen Geraden
• Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer größer 180 Grad

Nichteuklidische elliptische Geometrie

Die nichteuklidische elliptische Geometrie ist eine Verallgemeinerung der sphärischen Geometrie für Räume mit konstanter positiver Krümmung.

Absolute Geometrie

Die absolute Geometrie umfasst Sätze über den n-dimensionalen Raum, die sowohl in der euklidischen wie auch in der nichteuklidischen Geometrie gelten.

Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern

Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstieg in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente, ausgehend vom einfachsten Objekt, dem "Punkt".

Punkt

Ein Punkt repräsentiert eine konkrete Position in einem Koordinatensystem. Der Punkt ist ein null-dimensionales Objekt, also ein Objekt ohne Ausdehnung (ohne Länge, Breite oder Höhe). Daher hat er auch keine physikalische Einheit. Punkte werden mit Großbuchstaben beschriftet, etwa P₁, P₂,...

Linie

Die Linie ist ein Oberbegriff für zusammenhängende eindimensionale geometrische Objekte wie Geraden oder Kurven. Als eindimensionales Objekt hat die Linie eine Länge und somit die physikalische Einheit "Meter". Linien werden mit Kleinbuchstaben beschriftet, etwa mit g, f. Gerade werden mit den Mitteln der linearen Geometrie beschrieben, Kurven mit den Mitteln der nichtlinearen Geometrie.

Gerade

Die Gerade ist eine unendlich lange Linie ohne Begrenzungspunkte. Eine Gerade wird durch 2 Punkte definiert und verbindet diese durch eine nicht gekrümmte Linie.

Strahl bzw. Halbgerade

Die Halbgerade ist eine unendlich lange Linie, die von einem Begrenzungspunkt ausgeht.

Strecke

Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten. Die beiden Punkte begrenzen die Strecke, indem sie den Anfangs und den Endpunkt der Strecke festlegen. Entlang des Weges vom Anfangs- zum Endpunkt liegen unendlich viele Punkte. Wenn die Strecke eine Länge ungleich null hat, dann stellt sie eine unendliche Punktmenge dar.

Geodäte

Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten auf gekrümmten Flächen (Kugeloberfläche) oder in der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie

Kurve

Eine Kurve ist eine gekrümmte Linie. Obwohl die Punkte der Kurve in einer Ebene oder sogar im Raum liegen, ist die Kurve eindimensional, weil man sich auf ihr nur in eine Richtung bzw. deren Gegenrichtung bewegen kann. Mandelbrot erkannte, dass es Kurven (Küstenlinien) gibt, die ein Mittelding zwischen Linie und Fläche sind, und führte neben den ganzzahligen Dimensionen die gebrochenzahlige fraktale Dimensionen ein.

Geometrische Figur

Eine geometrische Figur ist eine Teilmenge von Punkten, die entweder in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum liegen. Letztere werden auch als Körper bezeichnet. Die einfachste geometrische Figur ist die Gerade, bzw. die Strecke als deren Teilmenge.

Geometrischer Körper

Geometrische Körper kann man anhand ihrer Kanten, Ecken und Begrenzungsflächen unterscheiden

Stereometrie

Die Stereometrie ist jenes Teilgebiet der Geometrie, welches sich mit dreidimensionalen Gebilden beschäftigt. Dazu gehören speziell die Berechnung vom Volumen und von der Oberfläche des Körpers.

Kanten eines Körpers

Kanten entstehen dort, wo sich 2 Begrenzungsflächen eines Körpers schneiden.

Ecken eines Körpers

Ecken entstehen dort, wo sich 3 Kanten eines Körpers schneiden.

Oberfläche eines Körpers

Die Oberfläche eines Körpers setzt sich zusammen aus der Mantelfläche plus den Grund- bzw. Deckflächen. Die Oberfläche ist also die Summe aller Begrenzungsflächen. Oberfläche = Mantel(fläche) + Grundfläche + Deckfläche

Netz eines Körpers

Als Netz bezeichnet man die in einer Ebene ausgebreitete Oberfläche. Breitet man alle Begrenzungsflächen in einer Ebene aus, so erhält man das Netz des Körpers

Mantelfläche eines Körpers

Die Mantelfläche eines Körpers ist dessen Oberfläche, abzüglich der Grund- und der Deckfläche

Diagonale in geometrischen Figuren und Körpern

Als Diagonale bezeichnet man die kürzest mögliche Verbindung zweier einander gegenüber liegender Eckpunkte in Vielecken oder einander gegenüber liegender Ecken eines Körpers.

Sehwinkel

Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt in der Ferne von einem Beobachter wahrgenommen wird.

Höhenwinkel

Der Höhenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen aufwärts gemessen wahrgenommen wird

Tiefenwinkel

Der Tiefenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen abwärts gemessen wahrgenommen wird

Arten von Winkel

Ein Winkel besteht aus einem Scheitel und aus zwei Schenkel. Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. Für Berechnungen wird zumeist der kleinere Winkel gewählt. Winkel werden bevorzugt mit griechischen Buchstaben bezeichnet und in Grad gemessen. Ein Grad ist der dreihundertsechzigste Teil eines Kreises. Konstruiert werden Winkel mit dem Geodreieck, dessen Nullpunkt auf dem Scheitel des Winkels und dessen Kante auf einem der beiden Schenkel des Winkels angelegt wird. Danach kann man den Winkel einzeichnen und den zweiten Schenkel zeichnen, oder wenn bereits beide Schenkel gegeben sind, die Weite des Winkels bestimmen.

• \(\alpha \) Alpha
• \(\beta \) Beta
• \(\gamma \) Gamma
• \(\delta \) Delta

Scheitel eines Winkels

Der Scheitel eines Winkels ist der Schnittpunkt zweier einander schneidender Geraden.

Schenkel eines Winkels

Die Schenkel eines Winkels sind zwei in einer Ebene liegende und einander schneidende Strahlen.

Drehsinn eines Winkels

Man unterscheidet Winkel nach dem Drehsinn

• Gegen den Uhrzeigersinn = mathematisch positiver Drehsinn
• Im Uhrzeigersinn = mathematisch negativer Drehsinn

Weite des Winkels

Man unterscheidet die Winkel nach dem Ausmaß ihrer Öffnung, also dem Öffnungswinkel bzw. der Winkelweite

• Nullwinkel: \(\alpha = 0^\circ\)
• Spitzer Winkel: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \)
• Rechter Winkel: \(\alpha = 90^\circ\): → nur für diesen Winkel gilt der Satz des Pythagoras
• Stumpfer Winkel: \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)
• Gestreckter Winkel: \(\alpha = 180^\circ\)
• Überstumpfer / Erhabener Winkel: \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\)
• Voller Winkel: \(\alpha = 360^\circ\)

Nullwinkel

Der Öffnungswinkel eines Nullwinkels beträgt 0°.

Spitzer Winkel

Der Öffnungswinkel eines spitzen Winkels liegt zwischen 0° und 90°.

Rechter Winkel

Der Öffnungswinkel eines rechten Winkels beträgt 90°.

Stumpfer Winkel

Der Öffnungswinkel eines stumpfen Winkels liegt zwischen 90° und 180°.

Gestreckter Winkel

Der Öffnungswinkel eines gestreckten Winkels beträgt 180°.

Überstumpfer / Erhabener Winkel

Der Öffnungswinkel eines erhabenen Winkels liegt zwischen 180° und 360°.

Voller Winkel

Der Öffnungswinkel eines vollen Winkels beträgt 360° 

Winkelmaße

Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossenen Winkels, kann auf unterschiedliche Arten gemessen werden.

Gradmaß

Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile, das sogenannten Grad, unterteilt

\(\alpha\) … Winkel in Grad, als 360-ster Teil des Vollwinkels
1‘ … 1 Winkel-Minute als 60-stel Teil von 1 Grad
1‘‘ … 1 Winkel-Sekunde als 60-stel Teil von 1 Winkel-Minute

Bogenmaß

Im Bogenmaß wird dem Vollwinkel (360°) die Maßzahl 2π zugewiesen. Ein Radiant ist der \(\dfrac{1}{{2\pi }}\) -te Teil des Vollwinkels

• 1 Radiant ist jener Winkel, bei dem der Bogen des vom Winkel aufgespannten Kreissektors mit dem Radius vom Kreissektor ident ist. \(1rad = \dfrac{{180^\circ }}{\pi } \approx 57,2958^\circ \)
• Unter dem Bogenmaß (ausgedrückt in Vielfachen oder Teilen von \(\pi\)) versteht man das Verhältnis von Bogenlänge b zum Radius r eines Kreissektors.
• arc α ist eine dimensionslose Zahl des Winkels α, die das Verhältnis von der Länge des Kreisbogens b zum Radius r des Kreises angibt. Um die dimensionslose Zahl arc α von Grad unterscheiden zu können, schreibt man als Einheit „rad“ für Radiant dazu. Wählt man den Einheitskreis (r=1) so ist das Bogenmaß gleich der Länge des Kreisbogens

Bild

Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß

Merke: 2π im Bogenmaß entsprechen 360° im Gradmaß

\(\alpha = 180^\circ \cdot \dfrac{{arc\alpha }}{\pi } \Leftrightarrow {\rm{Gradmaß = 180^\circ }} \cdot \dfrac{{{\rm{Bogenmaß}}}}{\pi }\)

\(\dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ ;\,\,\,\,\,\pi \buildrel \wedge \over = 180^\circ ;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} \buildrel \wedge \over = 270^\circ ;\,\,\,\,\,2\pi \buildrel \wedge \over = 360^\circ \)

Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß

Merke: 360° im Gradmaß entsprechen 2π im Bogenmaß

\({\rm{arc}}\alpha {\rm{ = }}\dfrac{\alpha }{{180}} \cdot \pi \Leftrightarrow {\rm{Bogenmaß}} = \dfrac{{{\rm{Gradmaß}}}}{{180^\circ }} \cdot \pi \)

\(90^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{\pi }{2};\,\,\,\,\,180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi ;\,\,\,\,\,270^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,360^\circ \buildrel \wedge \over = 2\pi \)

Ergänzungswinkel

Unter Ergänzungswinkel versteht man Winkel die sich zu einem rechten oder einen gestreckten Winkel ergänzen

Komplementärwinkel

Komplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 90° ergänzen.

\(\alpha + \beta = 90^\circ\)

Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Komplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \end{array}\)

Supplementärwinkel

Supplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 180° ergänzen.

\(\alpha + \beta = 180^\circ\)

Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Supplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \end{array}\)

Winkelpaare

Bei einander schneidenden Geraden unterscheidet man zwischen Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel liegen sich an zwei einander schneidenden Geraden gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)

Stufenwinkel

Stufenwinkel liegen sich an zwei parallelen Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden, gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)

Wechselwinkel

Wechselwinkel setzen sich aus einem Scheitel- und einem Stufenwinkel zusammen und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)

Symmetralen

Als Symmetralen bezeichnet man die Menge aller Punkte, die von zwei geometrischen Objekten gleich weit entfernt ist.

Streckensymmetrale

Die Streckensymmetrale halbiert die Strecke und steht normal auf diese Strecke

• Vom Punkt P1 und P2 aus wird jeweils ein hinreichend großer Kreisbogen gezeichnet. Die beiden Kreisbögen schneiden einander in den Punkten S₁ und S₂
• Die Streckensymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S₁ und S₂. An Ihrem Schnittpunkt mit der Geraden teilt die Strecke von P₁ nach P₂ in zwei gleiche lange Hälften.

Winkelsymmetrale

Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel, sodass Punkte die auf ihr liegen den selben Normalabstand von den beiden Schenkeln dieses Winkels haben

• Vom Schenkel S des Winkels aus wird ein Kreisbogen gezeichnet, welcher die Schenkel in den Punkten S₁ und S₂ schneidet
• Von jedem der beiden so konstruierten Punkte S₁ und S₂ aus wird erneut jeweils ein Kreisbogen gezeichnet. Diese beiden Kreisbögen schneiden einander im Punkt S₃
• Die Winkelsymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S und S₃