Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln

Gängige Ableitungsfunktionen

Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x₀ der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x₀ an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x₀. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen gängiger Funktionen solle man auswendig können.

Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.

Konstante Funktion differenzieren (Faktorregel)

Die Ableitung f'(x) einer konstanten Funktion ist null, weil auch die Steigung der konstanten Funktion null ist . Der Graph jeder konstanten Funktion f(x) verläuft horizontal.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cr & f'\left( x \right) = 0 \cr}\)

Lineare Funktion differenzieren

Die Ableitung f'(x) einer linearen Funktion f(x) (das ist eine Gerade) entspricht deren Steigung. Die Steigung k einer Geraden ist über deren ganzen Verlauf konstant.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = kx + d \cr & f'\left( x \right) = k \cr}\)

Potenzfunktionen differenzieren

Potenzfunktionen werden differenziert, indem man den Exponenten n (mit samt seinem Vorzeichen) vor die Potenz setzt und indem man den Exponenten der Funktion f(x) um minus 1 reduziert.
Merksatz: "Exponent runter, Exponent minus 1, Innere Ableitung"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

Produkt aus einer Konstanten und einer Potenzfunktion

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot c \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Konstanten- oder Faktorregel beim Differenzieren

Potenzfunktion mit negativem Exponenten

\(\eqalign{ & f(x) = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} \cr} \)

Polynom differenzieren

Polynome werden unter Berücksichtigung der Faktor- und der Potenzregel differenziert. Bei Klammerausdrücken muss gemäß der Kettenregel auch noch die innere Ableitung als zusätzlicher Faktor angeschrieben werden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {\left( {bx + c} \right)^n} + d \cr & f'\left( x \right) = a \cdot n \cdot b \cdot {\left( {bx + c} \right)^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Kettenregel

Potenzfunktion steht im Nenner

Bei einfachen Brüchen bietet sich als Alternative zur Quotientenregel an, den Bruch in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^n}}} = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} = - n \cdot {x^{ - \left( {n + 1} \right)}} = - \dfrac{n}{{{x^{n + 1}}}} \cr} \)

Wurzelfunktionen differenzieren

Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

Quadratwurzel

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr} \)

n-te Wurzel

\(\eqalign{ & f(x) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{n \cdot \root n \of {{x^{n - 1}}} }}{\text{ }} \cr} \)

Quadratwurzel im Nenner

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} = {x^{ - \,\,\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}{x^{ - \,\,\dfrac{3}{2}}} \cr} \)

Exponentialfunktionen differenzieren

Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mit Ihrer eigenen Ableitung f'(x) identisch ist.

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f' = {e^x} \end{array}\)

Exponentialfunktion, mit einem zusätzlichen konstanten Faktor im Exponenten

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)

Exponentialfunktionen zur beliebigen positiven Basis a

Bei der Exponetialfunktion zur beliebigen Basis a, kommt bei der Ableitung zur Funktion selbst noch der Faktor ln a dazu.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)

Logarithmusfunktionen differenzieren

Natürlicher Logarithmus

Die Ableitung der Logarithmusfunktionen ist "1 geteilt durch x".

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr}\)

Logarithmus von x zur Basis a

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln a}} = \dfrac{1}{x} \cdot {}^a\log e \cr} \)

Logarithmus mit Klammer im Numerus

Besteht der Numerus aus einer Klammer, dann ist zudem die Kettenregel anzuwenden.

\(\eqalign{ & f(x) = \ln (ax + b) \cr & f'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{\left( {ax + b} \right)}} \cr} \)

Winkelfunktionen differenzieren

Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (wie Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Im Rahmen von Kurvendiskussionen benötigt man die 1., 2. und 3. Ableitung der jeweiligen Funktion.

Sinus differenzieren

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)

Kosinus differenzieren

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)

Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus:

Tangens differenzieren

Da tan x gleich ist mit (sin x dividiert durch cos x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (1 dividiert durch cos²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \cr}\)

Kotangens differenzieren

Da cot x gleich ist mit (cos x dividiert durch sin x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (-1 dividiert durch sin²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) \cr}\)

Ableitungsregeln

Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Ableitungsregeln. Die gängigsten Ableitungsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.

Konstanten- oder Faktorregel

Die Faktorregel kommt dann zur Anwendung, wenn vor der abzuleitenden Funktion f(x) ein konstanter Faktor c steht. Mit andern Worten, wenn ein Proukt aus einer Konstanten c und einer Funktion f(x) abzuleiten sind. Die Regel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)

Summen- bzw. Differenzenregel

Die Summen- bzw. Differenzenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Summe bzw. Differenz vorliegen. Die Regel besagt, dass die beiden Teilfunktionen individuell abzuleiten sind und erneut eine Summe oder Differenz bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)

Produktregel beim Differenzieren

Die Produktregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Produkt vorliegen. Die Regel besagt, dass die Ableitung der 1. Funktion f'(x) mal der 2. Funktion g(x) plus die 1. Funktion f(x) mal der Ableitung der 2. Funktion g'(x) zu summieren sind

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)

Quotientenregel beim Differenzieren

Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn im Zähler die Funktion f(x) und im Nenner die Funktion g(x) stehen. Die Regel besagt, dass vom Produkt aus der Ableitung des Zählers f'(x) mit der Nennerfunktion g(x) das Produkt aus der Zählerfunktion mal der abgeleiteten Nennerfunktion zu bilden ist und diese Differenz ist dann durch das Quadrat der Nennerfunktion zu dividieren.

Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"

\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Reziprokenregel

Die Reziprokenregel ist eine Abkürzung der Quotientenregel, die dann zur Anwendung kommt, wenn die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion f(x) ist. Die Regel besagt, dass der negative Quotient aus der abgeleiteten Funktion f'(x) mit dem Quadrat der Funktion f²(x) zu bilden ist.

\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\\ - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \end{array}\)

Steht im Zähler nicht "1" sondern eine Konstante c, dann verhält sich diese gemäß der Faktorregel, d.h. sie bleibt beim Differenzieren unverändert.

\(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Kettenregel beim Differenzieren

Die Kettenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen v(x) und u(x) mit einander verkettet sind. "Verkettet" bedeutet, dass sich die Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion v(x) und einer inneren Funktion u(x) zusammensetzt. Die Regel besagt, dass man zuerst die äußere Funktion selbst ableitet v'(x) und dann mit deren "innerer Ableitung" u'(x) multipliziert.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)

Allgemeine Kettenregel

Die allgemeine Kettenregel gibt an, wie eine Verkettung von mehr als 2 Funkktionen differenzierbar ist.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)

Spezielle Ableitungsfunktionen

Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x₀ der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x₀ an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x₀. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.

Trigonometrische Winkelfunktionen differenzieren

Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen bei den "Grundlegenden Ableitungsfunktionen" angeführt.

Arkusfunktionen differenzieren

Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.

arcsin differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Sinus arcsin ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin \,\,x \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)

arccos differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kosinus arccos ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)

arctan differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Tangens arctan ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan \,\,x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)

arccot differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kotangens arccot ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)

Hyperbolische Funktionen differenzieren

Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen e^x und e^-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.

sinh differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Sinus Hyperbolicus sinh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \cosh x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)

cosh differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kosinus Hyperbolicus cosh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)

tanh differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Tangens Hyperbolicus tanh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cosh }^2}x}} = 1 - {\tanh ^2}x \cr} \)

coth differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kotangens Hyperbolicus coth ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 - {\coth ^2}x \cr} \)

Areafunktionen differenzieren

Area-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolsichen Funktionen.

arsinh differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areasinus Hyperbolicus arsinh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} \left( x \right) = {\sinh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) \cr & \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\text{ mit - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)

arcosh differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areakosinus Hyperbolicus arcosh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} \left( x \right) = {\cosh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{\text{ mit x > 1}} \cr} \)

artanh differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areatangens Hyperbolicus artanh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} \left( x \right) = {\tanh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{1 + x}}{{1 - x}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| < 1 \cr} \)

acoth differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areakotangens Hyperbolicus acoth ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} \left( x \right) = {\coth ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| > 1 \cr} \)

Anmerkung: Hier liegt keinTippfehler vor, die abgeleitete Funktionsvorschrift vom acoth ist mit jener vom artanh gleich, aber es gilt ein anderer Definitionsbereich.