Taylorpolynom (Differenzierbarkeit)
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Formeln
Taylorpolynom
Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren. Man spricht dann von einem „Taylor-Polynom n-ten Grades an der Entwicklungsstelle x0 “.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \approx \cr & f\left( {{x_0}} \right) + \dfrac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{1!}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... + \dfrac{{{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^n} = \cr & = \sum\limits_{i = 0}^n {\dfrac{{{f^{\left( i \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{i!}}} {\left( {x - {x_0}} \right)^i} \cr}\)
Den Fehler, der bei der Näherung durch das Taylorpolynom gemacht wurde, kann man mit Hilfe der Formeln von Lagrange oder Cauchy abschätzen. Die beiden Formeln für das Restglied \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right)\) d.h. für den Fehler des n-ten Taylorpolynoms um den Entwicklungspunkt x0 an der Stelle x lauten:
nach Lagrange: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^{\left( {n + 1} \right)}}\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)
nach Cauchy: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - c} \right)^{\left( n \right)}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right)\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)
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