Wurzelfunktionen

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Funktionsterm aus gegebenen Eigenschaften eruieren

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt. 

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Die Funktion g hat die maximale Definitionsmenge \(\left] { - \infty ;5} \right]\)

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften besitzt. 

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Die Funktion k hat in x=2 eine Nullstelle und in x=-3 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von k hat die Gerade mit der Gleichung y =1 als Asymptote.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion

\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)

mit maximalem Definitionsbereich D_f . Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen G_f von f.

Bild

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie den Graphen der in \({{\Bbb R}_0}^ + \) definierten Funktion  \(w:x \mapsto \sqrt x \) in oben stehende Abbildung ein.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Möglichkeit dafür an, wie der Graph von f schrittweise aus dem Graphen von w hervorgehen kann.

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den G_f und die y-Achse einschließen.

4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass G_f keine waagrechte Tangente besitzt.

Für jedes \(x \in {D_f}{\text{ mit }}0 < x < 8\) wird ein Dreieck OP_xQ_x mit den Eckpunkten

\(O\left( {0\left| 0 \right.} \right),\,\,\,{P_x}\left( {x\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}{Q_x}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) festgelegt.

5. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Tragen Sie für x=4 das zugehörige Dreieck OP₄Q₄ in Abbildung 1 ein.

6. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt A des Dreiecks OPxQx durch den Term 

\(A\left( x \right) = \sqrt {4 \cdot {x^2} - \dfrac{1}{2} \cdot {x^3}} \) beschrieben wird.

Es gibt ein Dreieck OPxQx mit maximalem Flächeninhalt A_max .

7. Teilaufgabe d) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40

Bestimmen Sie den prozentualen Anteil von A_max am Inhalt der Fläche, die G_f im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graphen und Funktionstypen

Im Folgenden sind sechs Funktionstypen angeführt, wobei die Parameter \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) sind

Weiters sind die Graphen von vier Funktionen dargestellt.

• Graph 1:
• Graph 2:
• Graph 3:
• Graph 4:

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen 1, 2, 3 und 4 jeweils den entsprechenden Funktionstyp (aus A bis F) zu!

AHS - 1_316 & Lehrstoff: FA 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Punkte einer Wurzelfunktion
Eine Wurzelfunktion kann durch die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\) mit \({\text{a}}{\text{,b}} \in {\Bbb R}\) festgelegt werden.

• Aussage 1: \({P_1} = \left( { - 1\left| a \right.} \right)\)
• Aussage 2: \({P_2} = \left( {0\left| b \right.} \right)\)
• Aussage 3: \({P_3} = \left( {a\left| b \right.} \right)\)
• Aussage 4: \({P_4} = \left( {b\left| {a \cdot b} \right.} \right) \)
• Aussage 5: \({P_5} = \left( {1\left| {a + b} \right.} \right)\)

Aufgabenstellung
Welche der nachstehenden Punkte liegen jedenfalls (bei jeder beliebigen Wahl von a und b) auf dem Graphen der Funktion f ? Kreuzen Sie die beiden entsprechenden Punkte an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktion

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f mit \(f(x) = {x^{\dfrac{1}{2}}} + b\) und \((a,b \in {\Bbb R},a \ne 0)\) dargestellt. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte von a und b an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionstypen

Im Folgenden sind vier Funktionsgleichungen (mit a, b ∈ ℝ⁺) angeführt und die Graphen von sechs reellen Funktionen dargestellt.

• Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
• Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
• Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\)
• Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)

• Graph A:
• Graph B:
• Graph C:
• Graph D:
• Graph E:
• Graph F:

Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils den passenden Graphen (aus A bis F) zu!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bahnsteige - Aufgabe B_446

Teil a

Auf dem Bahnhof Linz wird eine Betonkonstruktion zur Überdachung eines Bahnsteigs verwendet. Die nachfolgende Abbildung zeigt eine vereinfachte Darstellung der Betonkonstruktion.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten Fläche.

A =
[1 Punkt]

Der in der obigen Abbildung dargestellte Graph der Funktion f wird beschrieben durch:
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - a} + b{\text{ mit x}} \geqslant {\text{a}}\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Parameter a und b der Funktion f ab.

• a =
• b =

[1 Punkt]