Aufgabe 124
Summenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion:
\(f\left( x \right) = {f_1} \pm {f_2};\)
Leite unter Anwendung der Definition des Differentialquotienten f‘(x) her.
Lösungsweg
Differentialquotient bzw. Steigung der Tangente in einem Punkt: Für die Summe bzw Differenz zweier Funktion ist der Differentialquotient zu ermitteln. Wir setzen den Funktionswert daher in die Definitionsgleichung des Differentialquotienten ein und werden so die Summenregel herleiten.
\(f(x) = {f_1} \pm {f_2};\)
Gemäß der Definition für den Differentialquotienten gilt:
\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\left[ {{f_1} \pm {f_2}} \right] \cdot \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \left[ {{f_1} \pm {f_2}} \right] \cdot {x_0}}}{{\Delta x}} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\left[ {{f_1} \cdot \left( {{x_0} + \Delta x} \right) \pm {f_2} \cdot \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - {f_1} \cdot {x_0} \pm {f_2} \cdot {x_0}} \right]}}{{\Delta x}} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{{f_1} \cdot \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - {f_1} \cdot {x_0} \pm {f_2} \cdot \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - {f_2} \cdot {x_0}}}{{\Delta x}} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{{f_1} \cdot \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - {f_1} \cdot {x_0}}}{{\Delta x}} \pm \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{{f_2} \cdot \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - {f_2} \cdot {x_0}}}{{\Delta x}} = \cr & = {f_1}^\prime \pm {f_2}^\prime ; \cr}\)
Wir haben damit die Summenregel hergeleitet:
\(f'\left( x \right) = {\left( {{f_1} \pm {f_2}} \right)^\prime } = {f_1}^\prime \pm {f_2}^\prime ;\)
Die Summenregel besagt, dass Summen und Differenzen gliedweise differenziert werden.
Oder mit anderen Worten: Die Ableitung einer Summe / Differenz ist die Summe / Differenz der Ableitungen der einzelnen Summanden.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \pm v\left( x \right); \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \pm v'\left( x \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = {f_1}^\prime \pm {f_2}^\prime\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.