Potenzfunktionen

Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt.

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Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)

Funktionsgleichung

Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge Df auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

Daher nennt man

  • y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
  • x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

Typen wichtiger Funktionsgleichungen

Konstante Funktion \(f\left( x \right) = c\)
Direkt proportionale Funktion
sie sind für d=0 eine Untermenge der linearen Funktionen		 \(f\left( x \right) = k \cdot x\)
Lineare Funktion \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\)
Quadratische Funktion (Parabel) \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Indirekt proportionale Funktion (Hyperbel)
sie sind für negative n eine Untermenge der Potenzfunktionen		 \(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\)
Potenzfunktion \(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)
Wurzelfunktion \(f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\)
Exponentialfunktion \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\\ f\left( x \right) = c \cdot {e^x} \end{array}\)
Logarithmusfunktion \(f\left( x \right) = {}^a\log x\)
Periodische Funktion \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)
Polynomfunktion \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
uvm.

Graph einer Funktion

Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

\(y = f\left( x \right)\)

Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

Funktion f f(x) = 0.5(x - 1)³ + 0.5(x - 1)² - (x - 1) $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$”

Wertetabelle einer Funktion

Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge Df ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge Wf, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

x y=f(x)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
... ...
xi f(xi)

Mengendiagramm einer Funktion

Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

Ellipse D_f Ellipse D_f: Ellipse mit Brennpunkten A, B durch C Ellipse D_f Ellipse D_f: Ellipse mit Brennpunkten A, B durch C Ellipse W_f Ellipse W_f: Ellipse mit Brennpunkten D, E durch F Ellipse W_f Ellipse W_f: Ellipse mit Brennpunkten D, E durch F Vektor u Vektor u: Vektor[x_4, y_1] Vektor u Vektor u: Vektor[x_4, y_1] Vektor v Vektor v: Vektor[x_1, y_2] Vektor v Vektor v: Vektor[x_1, y_2] Vektor w Vektor w: Vektor[x_3, y_4] Vektor w Vektor w: Vektor[x_3, y_4] D_f Text1 = "D_f" D_f Text1 = "D_f" W_f Text2 = "W_f" W_f Text2 = "W_f" x_1 Text3 = "x_1" x_1 Text3 = "x_1" x_2 Text4 = "x_2" x_2 Text4 = "x_2" x_3 Text5 = "x_3" x_3 Text5 = "x_3" y_1 Text6 = "y_1" y_1 Text6 = "y_1" y_2 Text7 = "y_2" y_2 Text7 = "y_2" y_3 Text8 = "y_3" y_3 Text8 = "y_3"

Funktion
Definitionsbereich
Wertebereich
Funktionsgleichung
abhängige Variable
unabhängige Variable
Konstante Funktion
Lineare Funktion
Quadratische Funktion
Indirekt proportionale Funktion
Potenzfunktionen
Wurzelfunktionen
Exponentialfunktionen
Logarithmusfunktionen
Periodische Funktion
Polynomfunktion
Direkt proportionale Funktion
Funktionswerte
Argument einer Funktion
Funktionen Überblick
Reelle Funktionen
Darstellung einer Funktion
Graph einer Funktion
Wertetabelle einer Funktion

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Potenzfunktionen

Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n}{\text{ }}...{\text{Potenzfunktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n}}{\text{ }}...{\text{gerade Funktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n + 1}}{\text{ }}...{\text{ungerade Funktion}} \cr}\)

Exponent Exponent  
n ist gerade n ist positiv bzw. xn
  • gerade Funktion d.h. symmetrisch zur y-Achse
  • Graph mit nur einem Ast
  • Graph nur im Bereich der positiven y-Achse
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| 1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt nur eine NST: \(N\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
  • \({D_f} = {\Bbb R};\,\,{W_f} = {{\Bbb R}^ + }\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = + \infty \)
n ist ungerade n ist positiv bzw. xn
  • ungerade Funktion d.h. symmetrisch zum Ursprung
  • Graph mit nur einem Ast
  • Graph hat sowohl negative als auch positive Funktionswerte
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| -1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt nur eine NST: \(N\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
  • \({D_f} = {\Bbb R};\,\,{W_f} = {{\Bbb R} }\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = \pm \infty \)
n ist gerade n ist negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\)
  • gerade Funktion d.h. symmetrisch zur y-Achse
  • Graph mit 2 Ästen
  • Graph nur im Bereich der positiven y-Achse
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| 1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt keine NST
  • \({D_f} = {\Bbb R}\backslash 0;\,\,{W_f} = {{\Bbb R}^ + }\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = 0;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} c \cdot {x^n} = \infty \)
n ist ungerade negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\)
  • ungerade Funktion d.h. symmetrisch zum Ursprung
  • Graph mit 2 Ästen
  • Graph hat sowohl negative als auch positive Funktionswerte
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| -1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt keine NST
  • \({D_f} = {\Bbb R}\backslash 0;\,\,{W_f} = {\Bbb R}\backslash 0\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = 0;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} c \cdot {x^n} = - \infty ;\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} c \cdot {x^n} = \infty ;\)
n = 0 \(f\left( x \right) = c \cdot {x^0} = c\)
  • Graph liegt bei positivem c im 1. und 2. Quadranten
  • Graph liegt bei negativem c im 3. und 4. Quadranten
  • Graph ist eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und von dieser den Abstand c hat.

 

 

Verschiebungen vom Graph zufolge von Parametern

  • (x+n): Der Graph ist um n nach links, also entlang der negativen x-Achse, verschoben
  • (x-n): Der Graph ist um n nach rechts, also entlang der positiven x-Achse, verschoben
  • \(c \cdot {x^z} + b\): Der Graph wird nach oben, also entlang der positiven y-Achse, verschoben
  • b=0: Der Graph verläuft durch den Ursprung
  • \(c \cdot {x^z} - b\): Der Graph wird nach unten, also entlang der negativen y-Achse, verschoben

Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion

​Potenzfunktion

Bei der Potenzfunktion fungiert die Variable x als Basis, während der Exponent n eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Potenzfunktion"

\(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)​

Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion fungiert die Variable x als Exponent, während die Basis a eine Konstante ist →​ weitere Details siehe unter "Exponentialfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)

Potenzfunktionen
Gerade Funktion
Ungerade Funktion
Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion
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Wurzelfunktionen

Die Wurzelfunktion ist ein Spezialfall der Potenzfunktion und kann einfach in eine entsprechende Schreibweise umgeformt werden. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x. Der Graph aller Wurzelfunktionen startet im Ursprung \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) vom Koordinatensystem und verläuft durch den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\). Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & {D_f} = {W_f} = {\Bbb R}_0^ + \cr & x \in {\Bbb R}_0^ + \cr & n \in {\Bbb N} \cr} \)

Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, sqrt(x)) Funktion g g(x) = Wenn(x > 0, cbrt(x)) Funktion h h(x) = Wenn(x > 0, x^(1 / 10)) Funktion h h(x) = Wenn(x > 0, x^(1 / 10)) Funktion i i(x) = Wenn(x > 0, x^(1 / 7)) Funktion i i(x) = Wenn(x > 0, x^(1 / 7)) \sqrt[2]{x} Text1 = “\sqrt[2]{x}” \sqrt[2]{x} Text1 = “\sqrt[2]{x}” \sqrt[2]{x} Text1 = “\sqrt[2]{x}” \sqrt[2]{x} Text1 = “\sqrt[2]{x}” \sqrt[3]{x} Text2 = “\sqrt[3]{x}” \sqrt[3]{x} Text2 = “\sqrt[3]{x}” \sqrt[3]{x} Text2 = “\sqrt[3]{x}” \sqrt[3]{x} Text2 = “\sqrt[3]{x}” \sqrt[10]{x} Text3 = “\sqrt[10]{x}” \sqrt[10]{x} Text3 = “\sqrt[10]{x}” \sqrt[10]{x} Text3 = “\sqrt[10]{x}” \sqrt[10]{x} Text3 = “\sqrt[10]{x}” \sqrt[10]{x} Text3 = “\sqrt[10]{x}” \sqrt[7]{x} Text4 = “\sqrt[7]{x}” \sqrt[7]{x} Text4 = “\sqrt[7]{x}” \sqrt[7]{x} Text4 = “\sqrt[7]{x}” \sqrt[7]{x} Text4 = “\sqrt[7]{x}”

Wurzelfunktionen
Potenzfunktionen
Aufgaben
Lösungsweg

Aufgabe 1484

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Potenzfunktionen

Gegeben sind die Graphen von vier verschiedenen Potenzfunktionen f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) sowie sechs Bedingungen für den Parameter a und den Exponenten z. Dabei ist a eine reelle, z eine natürliche Zahl.

Aussage A \(a > 0,\,\,z = 1\)
Aussage B \(a > 0,\,\,z = 2\)
Aussage C \(a > 0,\,\,z = 3\)
Aussage D \(a < 0,\,\,z = 1\)
Aussage E \(a < 0,\,\,z = 2\)
Aussage F \(a < 0,\,\,z = 3\)

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen 1..4 jeweils die entsprechende Aussage (aus A bis F) für den Parameter a und den Exponenten z der Funktionsgleichung zu!

  • Graph 1: Funktion f f(x) = -1 / 10 x² f_1 Text1 = "f_1" f_1 Text1 = "f_1"
  • Graph 2: Funktion f f(x) = -0.02x³ f_2 Text1 = "f_2" f_2 Text1 = "f_2"
  • Graph 3: Funktion f f(x) = 1 / 10 x² f_3 Text1 = "f_3" f_3 Text1 = "f_3"
  • Graph 4: Funktion f f(x) = 0.02x³ f_4 Text1 = "f_4" f_4 Text1 = "f_4"
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Potenzfunktionen
Potenzfunktionen - 1484. Aufgabe 1_484

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Aufgabe 1122

AHS - 1_122 & Lehrstoff: FA 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Potenzfunktion
Von einer Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) ist der Graph gegeben:

Funktion f f(x) = -0.2 (x + 5) (x - 5) f Text1 = "f" f(x) Text2 = "f(x)" x Text3 = "x"

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b!

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Quadratische Funktion
Potenzfunktionen
Potenzfunktion - 1122. Aufgabe 1_122
Lösungsweg

Aufgabe 1064

AHS - 1_064 & Lehrstoff: FA 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionsgraphen zuordnen

Den vier Gleichungen von Potenzfunktionen stehen nachfolgende sechs Graphen gegenüber.

  Deine Antwort
\(y = - {x^2} + 2\)  
\(y = {\left( {x - 2} \right)^2}\)  
\(y = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\)  
\(y = 2 \cdot {x^{ - 2}}\)  

 

Zum Weiterlesen bitte ausklappen:

  • Graph A: Funktion f f(x) = 2 / x
  • Graph B: Funktion f f(x) = 2 / x²
  • Graph C: Funktion f f(x) = 1 / (x + 2)
  • Graph D: Funktion f f(x) = 2 - x²
  • Graph E: Funktion f f(x) = (x - 2)²
  • Graph F: Funktion f f(x) = 2x³ + 2

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den jeweiligen Funktionsgleichungen die zugehörigen Funktionsgraphen (aus A bis F) zu!

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Graph einer Funktion
Potenzfunktionen
Funktionsgraphen zuordnen - 1064. Aufgabe 1_064
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Aufgabe 1437

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Potenzfunktion

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Potenzfunktion f vom Typ \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) mit \(a \in {\Bbb R};\,\,\,a \ne 0;\,\,\,z \in {\Bbb Z}\) dargestellt.

Funktion f f(x) = -x⁻²

  • Aussage 1: \(f\left( x \right) = 2 \cdot {x^{ - 4}}\)
  • Aussage 2: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 2}}\)
  • Aussage 3: \(f\left( x \right) = - {x^2}\)
  • Aussage 4: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 1}}\)
  • Aussage 5: \( f\left( x \right) = {x^{ - 2}}\)
  • Aussage 6: \(f\left( x \right) = {x^{ - 1}}\)

Aufgabenstellung:
Eine der obenstehenden Gleichungen ist eine Gleichung dieser Funktion f. Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!

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Potenzfunktionen
Potenzfunktion - 1437. Aufgabe 1_437
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Aufgabe 1532

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktion

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f mit \(f(x) = {x^{\dfrac{1}{2}}} + b\) und \((a,b \in {\Bbb R},a \ne 0)\) dargestellt. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.

Punkt C C = (4, 4) Punkt C C = (4, 4) Punkt B B = (1, 3) Punkt B B = (1, 3) Punkt A A = (0, 2) Punkt A A = (0, 2) Funktion f f(x) = x^(1 / 2) + 2 f Text1 = "f"

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte von a und b an!

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Potenzfunktionen
Wurzelfunktionen
Funktion - 1532. Aufgabe 1_532

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Aufgabe 1265

AHS - 1_265 & Lehrstoff: FA 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionsgleichungen zuordnen
Gegeben sind sechs Funktionsgleichungen und vier Graphen von Potenzfunktionen.

A \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\)
B \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\)
C \(f\left( x \right) = - {x^2} + 1\)
D \(f\left( x \right) = {x^{ - 2}} + 1\)
E \(f\left( x \right) = {x^{ - 2}} - 1\)
F \(f\left( x \right) = - {x^{ - 2}}\)
  • Graph 1: Funktion f f(x) = x² - 1
  • Graph 2: Funktion f f(x) = 1 / x² + 1
  • Graph 3: Funktion f f(x) = 1 - x²
  • Graph 4: Funktion f f(x) = -1 / x²

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die entsprechende Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!

Deine Antwort
Graph 1
Graph 2
Graph 3
Graph 4
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Graph einer Funktion
Funktionsgleichungen zuordnen - 1265. Aufgabe 1_265
Potenzfunktionen
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Aufgabe 1622

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
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Graphen quadratischer Funktionen

Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen quadratischer Funktionen f1, f2 und f3 mit den Gleichungen \({f_i}\left( x \right) = {a_i} \cdot {x^2} + {b_i}\) wobei gilt: \({a_i},{b_i} \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,i \in \left\{ {1,2,3} \right\}\)

Funktion f_2 f_2(x) = 4x² + 2 Funktion f_1 f_1(x) = 0.4x² + 8 Funktion f_3 f_3(x) = -x² - 8 f_1 Text1 = “f_1” f_1 Text1 = “f_1” f_2 Text2 = “f_2” f_2 Text2 = “f_2” f_3 Text3 = “f_3” f_3 Text3 = “f_3”

Aufgabenstellung
Ordnen Sie die Parameterwerte ai und bi jeweils der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten!

  • Parameterwerte ai: _______ < _______ < _______
  • Parameterwerte bi: _______ < _______ < _______
Graphen quadratischer Funktionen - 1622. Aufgabe 1_622
Potenzfunktionen
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Aufgabe 1264

AHS - 1_264 & Lehrstoff: FA 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Funktionsgraph
Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung \(g\left( x \right) = 2 - \dfrac{{{x^2}}}{8}\)

Aufgabenstellung
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g!

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Funktionsgraph - 1264. Aufgabe 1_264
Potenzfunktionen