Prozent- und Promillerechnung

Verhältnisgrößen

Bei manchen Fragestellungen ist ein Vergleich aussagekräftiger, wenn man die zu vergleichenden Größen zu deren „Anteil am Ganzen“ in Relation setzt. Der Vergleich von Anteilen erfolgt über den Umweg von Verhältnisgrößen wie Prozent, Promille oder Steigung

• Prozent
  Der Prozentwert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert in Hundertstel an. 1% ist ein Hundertstel des Grundwerts.
• Promille
  Der Promillewert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert, in Tausendstel an. 1‰ ist ein Tausendstel des Grundwerts.
• Steigung
  Die Steigung s (einer Straße) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds v, zur horizontal zugrunde liegenden Strecke h an.

Beispiel:
z.B.: Ein Schulausflug kostet 50€ je Schüler. Eine Mutter verdient 1.000 € / Monat, eine andere Mutter verdient 2.000 € / Monat.

• Absolut kostet der Ausflug zwar jeder Mutter gleich viel (immer 50 €)
• In Anteilen am Einkommen gibt es aber einen wesentlichen Unterschied
  • für die Mutter mit 1.000 € / Monat bedeuten 50 € eine Ausgabe von 5% ihres Monatseinkommens,
  • für die andere Mutter bedeuten 50 € nur 2,5% ihres Monatseinkommen, d.h. ihre finanzielle Belastung ist nur halb so groß, wie die der 1. Mutter

Prozentrechnung

Bei der Prozentrechnung legt man fest, dass dem Grundwert hundert Prozent entspricht. So kann man verschiedene Prozentwerte mit einander vergleichen. Das Prozent-Symbol % ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Prozentwert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 100% so erhält man den Prozentsatz.

\({\text{Prozentsatz = }}\dfrac{{{\text{Prozentwert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 100\% \)

Dass der Zahlenwert vom Prozentsatz ungleich dem Zahlenwert vom Prozentwert sein kann, veranschaulicht das folgende Beispiel:

Beispiel
In einer 1. Lieferung von 72 Bauteilen sind 28 Bauteile defekt. In einer 2. Lieferung von 70 Bauteilen sind 27 Bauteile defekt. Welche Lieferung hat eine geringere Fehlerrate?

1. Lieferung:
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,88\% \)
28 Teile von einem Ganzen, welches 72 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,88%
Prozentsatz=38,8%; Prozentwert=28 Bauteile; Grundwert=72 Bauteile

2. Lieferung:
\(\dfrac{{27}}{{70}} \cdot 100\% = 38,57\% \)
27 Teile von einem Ganzen, welches 70 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,57%
Prozentsatz=38,57%; Prozentwert=27 Bauteile; Grundwert=70 Bauteile

→ Die 2. Lieferung hat eine geringere Fehlerrate

Promillerechnung

Bei der Promillerechnung legt man fest, dass dem Grundwert tausend Promille entspricht. So kann man verschiedene Promillewerte mit einander vergleichen. Das Promille-Symbol ‰ ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Promillewert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 1000‰ so erhält man den Promillesatz.

\({\text{Promillesatz = }}\dfrac{{{\text{Promillewert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 1000 ‰\)

Umwandlung Prozent in Bruch

Um einen Prozentsatz in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz - aber ohne dem %-Symbol - in den Nenner eines Bruchs, dessen Zähler 100 ist.

Beispiel
\(7\% \buildrel \wedge \over = \dfrac{7}{{100}}\)

Umwandlung Bruch in Prozent

Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner und multipliziert anschließend mit 100%

Beispiel
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,8\% \)

Umwandlung Prozent in Dezimalzahl

Um einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz ohne dem Prozentzeichen als Hundertstel an.

Beispiel
\(17\% \buildrel \wedge \over = 0,17\)

Umwandlung Dezimalzahl in Prozent

Um eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umzuwandeln, multipliziert man die Dezimalzahl mit 100%

Beispiel
\(1,567 \buildrel \wedge \over = 1,567 \cdot 100\% = 156,7\% \)