Indirekt proportionale Funktion

Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)

Funktionsgleichung

Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge D_f auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

Daher nennt man

• y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
• x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

Typen wichtiger Funktionsgleichungen

Graph einer Funktion

Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

\(y = f\left( x \right)\)

Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

Wertetabelle einer Funktion

Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge D_f ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge W_f, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

Mengendiagramm einer Funktion

Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

Gebrochenrationale Funktion

Gebrochenrationale Funktionen haben sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Polynom.

\(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\)

• Echt gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist kleiner als der Grad vom Nennerpolynom. Ein Beispiel hierfür sind die Hyperbeln.
• Unecht gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist größer oder gleich als der Grad vom Nennerpolynom.

Hyperbel n-ten Grades

Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) zu den Potenzen der Argumente x indirekt proportional. Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel. Man bezeichnet die Funktion auch als Reziprokfunktion. Achtung: unter "hyperbolischen" Funktionen versteht man spezielle Exponentialfunktionen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}} \cr & n \in {{\Bbb N}_g} \cr}\)

Hyperbeln vom Grad n, wenn n gerade ist

Graph liegt symmetrisch zur y-Achse

Hyperbeln vom Grad n, wenn n ungerade ist

Graph liegt symmetrisch zur x-Achse