Aufgabe 224

1. Teilaufgabe:
Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zunächst geht man von \({D_f} = {\Bbb R}\) aus. Dann muss man sich fragen, welche Werte x nicht annehmen darf?

Folgende x-Werte müssen aus D_f ausgeschlossen werden:

• Der Nenner eines Bruches darf nicht Null werden: kommt zur Anwendung
• Der Radikand, das ist der Term unter einer Wurzel, darf nicht negativ werden: kommt hier nicht zur Anwendung
• Logarithmen sind nur für einen Numerus > Null definiert: kommt hier nicht zur Anwendung

\({x^2} - 9 = 0 \to x = \sqrt 9 = \pm 3 \Rightarrow {D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;3} \right\}\)

Für \({D_f} \subseteq {\Bbb R}\backslash \left\{ {x \ne \pm 3} \right\}\)ist f(x) stetig und differenzierbar

2. Teilaufgabe:
Polstellen

x_P ist eine Polstelle / ein Pol der Funktion f(x) mit \(x \in {D_f}\) wenn \({x_P} \notin {D_f}\) und \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_P}} f\left( x \right) = \pm \infty \)

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} \cr
& {x^2} - 9 = 0 \cr
& {x^2} = 9 \cr
& {x_P} = \sqrt 9 = \pm 3 \cr} \)

Die Funktion hat somit die beiden Polstellen:
\({x_{P1}} = 3\,\,\,\,\,{x_{P2}} = - 3\)

3. Teilaufgabe:
Lücken

Lücken sind gemeinsame Nullstellen vom Zähler- und vom Nennerpolynom

\(\eqalign{ & {x_{{\text{N1}}{\text{,}}\,\,{\text{N2}}{\text{,}}\,\,{\text{N3}}}} = 0; \cr & {x_{P1}} = 3\,\,\,\,\,{x_{P2}} = - 3; \cr}\)

Es gibt keine gemeinsame Nullstelle vom Zähler- und vom Nennerpolynom, daher hat die Funktion keine Lücken.

\({x_L} = \left\{ {} \right\}\)

4. Teilaufgabe:
Verhalten im Unendlichen

Es wird das Verhalten der Funktion f(x) untersucht, wenn x gegen plus-unendlich bzw. gegen minus-unendlich strebt.

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)

\(\eqalign{
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ + {x^3}}}{{ + {x^2}}} = + \infty &\cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - {x^3}}}{{ + {x^2}}} = - \infty &\cr} \)

Die Funktion strebt im Unendlichen gegen +/- unendlich

5. Teilaufgabe:
Gleichung der Asymptoten

• Grad des Zählers < Grad des Nenners: Die x-Achse mit y=0 ist die waagrechte Asymptote
• Grad des Zählers = Grad des Nenners: Die Asymptote verläuft parallel zur x-Achse
• Grad des Zählers > Grad des Nenners: Die Asymptote ist eine schiefe Gerade

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)

• Grad vom Zähler: 3. Grad
• Grad vom Nenner: 2. Grad

Grad des Zählers > Grad des Nenners →Die Asymptote ist eine schiefe Gerade

6. Teilaufgabe:
Symmetrien

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\,\,\, \Rightarrow {\text{Achsensymmetrie zur y - Achse}} \cr & {\text{f}}\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\,\, \Rightarrow {\text{Punktsymmetrie zum Ursprung}} \cr} \)

Punktsymmetrie ?

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}; \cr & \cr & {\text{f}}\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\,\,\,\,\,? \cr & \dfrac{{{{\left( { - x} \right)}^3}}}{{{{\left( { - x} \right)}^2} - 9}} = - \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} \cr & \dfrac{{ - {x^3}}}{{{x^2} - 9}} = - \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}{\text{ w}}{\text{.A}}{\text{.}} \cr} \)

Ja, es besteht Punktsymmetrie

Achsensymmetrie ?

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\,\,\,? \cr & \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{{{\left( { - x} \right)}^3}}}{{{{\left( { - x} \right)}^2} - 9}} \cr & \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} \ne \dfrac{{ - {x^3}}}{{{x^2} - 9}};{\text{ f}}{\text{.A}}{\text{.}} \cr} \)

Nein, es besteht keine Achsensymmetrie

7. Teilaufgabe:
Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen

• Den Schnittpunkt mit der x-Achse erhalten wir, indem wir f(x)=0 setzen..
• Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhalten wir, indem wir f(0) berechnen.

Schnittpunkt mit der x-Achse?

\(f\left( x \right) = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow {x^3} = 0;\,\,\,\,\, \Rightarrow x = 0;\)

Der Schnittpunkt mit der x-Achse liegt an der Stelle: \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)

Schnittpunkt mit der y-Achse?

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}; \cr & f\left( 0 \right) = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow y = 0; \cr} \)

Der Schnittpunkt mit der xy-Achse liegt an der Stelle: \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)

8. Teilaufgabe:
Berechne die 1. Ableitung

Wir wenden die Regeln der Differenzialrechnung an

Die Differenzenregel lautet:
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} \cdot \left( {{x^2} - 9} \right) - {x^3} \cdot \left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{x^4} - 27{x^2} - 2{x^4}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^4} - 27{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} \cr} \)

9. Teilaufgabe:
Berechne die 2. Ableitung

Wir wenden die Regeln der Differenzialrechnung an

Die Differenzenregel lautet:
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)

\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} - 27{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} \cr & f''\left( x \right) = \dfrac{{\left[ {\left( {4{x^3} - 27 \cdot 2x} \right) \cdot {{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}} \right] - \left[ {\left( {{x^4} - 27{x^2}} \right) \cdot \left( {2 \cdot \left( {{x^2} - 9} \right) \cdot \left( {2x} \right)} \right)} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^4}}} = \cr & = \dfrac{{\left( {{x^2} - 9} \right) \cdot \left[ {\left( {4{x^3} - 54x} \right) \cdot \left( {{x^2} - 9} \right)} \right] - \left[ {\left( {{x^4} - 27{x^2}} \right) \cdot \left( {4x} \right)} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^4}}} = \cr & = \dfrac{{4{x^5} - 54{x^3} - 36{x^3} + 486x - 4{x^5} + 108{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^3}}} = \dfrac{{18{x^3} + 486x}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^3}}} = \cr & = \dfrac{{18({x^3} + 27x)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^3}}} \cr} \)

10. Teilaufgabe:
Berechne die 3. Ableitung

Wir wenden die Regeln der Differenzialrechnung an

Die Differenzenregel lautet:
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)

\(\eqalign{ & f''\left( x \right) = \dfrac{{18({x^3} + 27x)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^3}}} \cr & f'''\left( x \right) = \dfrac{{\left[ {18\left( {3{x^2} + 27} \right) \cdot {{\left( {{x^2} - 9} \right)}^3}} \right] - \left[ {\left( {18\left( {{x^3} + 27x} \right)} \right) \cdot \left( {3{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}\left( {2x} \right)} \right)} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^6}}} = \cr & = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2} \cdot \left[ {\left( {54{x^2} + 486} \right) \cdot \left( {{x^2} - 9} \right)} \right] - \left[ {\left( {18{x^3} + 486x} \right) \cdot 6x} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^6}}} = \cr & = \dfrac{{\left[ {54{x^4} - 486{x^2} + 486{x^2} - 4374} \right] - \left[ {108{x^4} + 2916{x^2}} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^4}}} = \cr & = \dfrac{{54{x^4} - 486{x^2} + 486{x^2} - 4374 - 108{x^4} - 2916{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^4}}} = \cr & = \dfrac{{ - 54{x^4} - 2916{x^2} - 4374}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^4}}} = \cr & - \dfrac{{54\left( {{x^4} + 54{x^2} + 81} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^4}}} \cr} \)

11. Teilaufgabe:
Berechne die Nullstellen

x_n ist eine Nullstelle der Funktion f(x) mit \(x \in {D_f}\) wenn \(f\left( {{x_N}} \right) = 0\)

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} = 0\)

Ein Bruch ist dann Null, wenn sein Zähler Null ist:

\(\eqalign{ & {x^3} = 0 \cr & {x_{N1,\,N2,\,N3}} = 0 \cr} \)

12. Teilaufgabe:
Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte

Man ermittelt die lokalen Extremstellen von f(x), indem man die erste Ableitung f‘(x) gleich Null setzt und aus der zweite Ableitung auswertet ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.

\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} - 27{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{x^4} - 27{x^2} = 0 \cr & {x^2}.\left( {{x^2} - 27} \right) = 0 \cr} \)

Für das Polynom 4-ten Grades erhalten wir jeweils die x-Koordinate von 4 Extremstellen:

\(\eqalign{ & {x_{1,2}}:{x^2} = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,x = \pm 0 \cr & {x_{3,4}}:\left( {{x^2} - 27} \right) = 0\,\,\,\,\,{x^2} = 27\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,x = \pm \sqrt {27} \cr} \)

x_1,2: Kandidat für Wendepunkt bzw sogar Sattelpunkt → wird in der 13. Teilaufgabe untersucht!

x_3,4: Kandidat für Hochpunkt bzw. Tiefpunkt

• Tiefpunkte T bzw. Stelle des lokalen Minimums: Vor dieser lokalen Extremstelle fällt f(x) streng monoton, nach dieser lokalen Extremstelle wächst f(x) streng monoton.
  \(\eqalign{ & f\left( x \right) > f\left( {{x_{Min}}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,T({x_{Min}}\left| {f\left( {{x_{Min}}} \right)} \right.; \cr & f'\left( {{x_{Min}}} \right) = 0;{\text{ und }}f''\left( {{x_{Min}}} \right) > 0; \cr} \)
• Hochpunkt H bzw. Stelle des lokalen Maximums: Vor dieser lokalen Extremstelle wächst f(x) streng monoton, nach dieser lokalen Extremstelle fällt f(x) streng monoton.
  \(\eqalign{ & f\left( x \right) < f\left( {{x_{Max}}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,H({x_{Max}}\left| {f\left( {{x_{Max}}} \right)} \right.; \cr & f'\left( {{x_{Max}}} \right) = 0;{\text{ und }}f''\left( {{x_{Max}}} \right) < 0; \cr} \)

Nun untersuchen wir, um welche Art von Extremstelle es sich jeweils handelt, indem wir die „Kandidaten“ in die 2-te Ableitung f‘‘(x) einsetzen

\(f''\left( x \right) = \dfrac{{18({x^3} + 27x)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^3}}}\)

"Kandidat für H bzw. T: \({x_{3,4}} = \pm \sqrt {27}\)

\(\eqalign{ & f''\left( {{x_3}} \right) = f''\left( { + \sqrt {27} } \right) = \frac{{18\left( {{{\sqrt {27} }^3} + 27\sqrt {27} } \right)}}{{{{\left( {27 - 9} \right)}^3}}} > 0\,\,\,\,\, \Rightarrow {\text{T}} \cr & \cr & f''\left( {{x_4}} \right) = f''\left( { - \sqrt {27} } \right) = \frac{{18\left( { - {{\sqrt {27} }^3} - 27\sqrt {27} } \right)}}{{{{\left( { - {{\sqrt {27} }^2} - 9} \right)}^3}}} < 0\,\,\,\,\, \Rightarrow {\text{H}} \cr} \)

Die Koordinaten der 2 Extremstellen und des WP erhalten wir, indem wir die x-Werte der 3 Extremwerte in f(x) einsetzen

\(\eqalign{ & {\text{T}}:f\left( {{x_3}} \right) = f\left( {\sqrt {27} } \right) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{{{\sqrt {27} }^3}}}{{27 - 9}} = \dfrac{{27 \cdot \sqrt {27} }}{{18}} = \dfrac{{3 \cdot 9 \cdot \sqrt {3.9} }}{{2 \cdot 9}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2} \approx 7,79; \cr & {\text{T}}\left( {\sqrt {27} \left| {\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right.} \right) \cr & \cr & {\text{H}}:f\left( {{x_4}} \right) = f\left( { - \sqrt {27} } \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{{{\left( { - \sqrt {27} } \right)}^3}}}{{27 - 9}} = \dfrac{{ - 27 \cdot \sqrt {27} }}{{18}} = - \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2} \approx - 7,79; \cr & {\text{H}}\left( { - \sqrt {27} \left| { - \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right.} \right) \cr} \)

13. Teilaufgabe:
Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte

Man ermittelt die lokalen Extremstellen von f(x), indem man die erste Ableitung f‘(x) gleich Null setzt und aus der zweiten und dritten Ableitung auswertet ob es sich um einen Wendepunkt oder um einen Sattelpunkt handelt.

\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} - 27{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{x^4} - 27{x^2} = 0 \cr & {x^2}.\left( {{x^2} - 27} \right) = 0 \cr} \)

Für das Polynom 4-ten Grades erhalten wir jeweils die x-Koordinate von 4 Extremstellen:

\(\eqalign{ & {x_{1,2}}:{x^2} = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,x = \pm 0 \cr & {x_{3,4}}:\left( {{x^2} - 27} \right) = 0\,\,\,\,\,{x^2} = 27\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,x = \pm \sqrt {27} \cr} \)

x_1,2: Kandidat für Wendepunkt bzw sogar Sattelpunkt

x_3,4: Kandidat für Hochpunkt bzw. Tiefpunkt

• Wendepunkt: Graph ändert sein Krümmungsverhalten: Ein Wendepunkt liegt vor wenn: \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)
• Sattelpunkt: Wendepunkt mit waagrechter Tangente: Ein Sattelpunkt liegt vor wenn: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)

Nun untersuchen wir, ob ein Wende- oder ein Sattelpunkt an der Stelle x1,2=0 vorliegt.

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} - 27{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) ⇒ \(f'\left( 0 \right) = 0\)

\(f''\left( x \right) = \dfrac{{18({x^3} + 27x)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^3}}}\) ⇒ \(f''\left( 0 \right) = 0\)

\(f'''\left( x \right) = - \dfrac{{54\left( {{x^4} + 54{x^2} + 81} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^4}}}\) ⇒ \(f'''\left( 0 \right) = \dfrac{{54 \cdot \left( {0 + 0 + 81} \right)}}{{{{\left( {0 - 9} \right)}^4}}} \ne 0\)

→ An der Stelle x1,2=0 liegt ein Sattelpunkt vor: \(S\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)

14. Teilaufgabe:
Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform

Wir wissen bereits:
\(\eqalign{ & WP\, = \,SP\left( {0\left| 0 \right.} \right)\,\,\, \Rightarrow d = 0; \cr & f'\left( {{x_{1,2}}} \right) = f'\left( 0 \right) = 0\,\,\, \Rightarrow k = 0; \cr} \)

Wendetangente in der Hauptform der Geradengleichung:

\({y_{WT}} = kx + d\)

\(\eqalign{ & {g_{WT}} = 0x + 0 \cr & {g_{WT}} = 0; \cr}\)

Wendetangente in der Punkt-Richtungsform der Geraden:

\(g:X = A + t \cdot \overrightarrow a \)

\({g_{WT}}:X = \left( \begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array} \right) + t\left( \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right)\)

15. Teilaufgabe:
Erstelle eine Wertetabelle der Funktion

16. Teilaufgabe:
Skizziere die Funktion