Taylorpolynom
Formel
Taylorpolynom
Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren. Man spricht dann von einem „Taylor-Polynom n-ten Grades an der Entwicklungsstelle x0 “.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \approx \cr & f\left( {{x_0}} \right) + \dfrac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{1!}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... + \dfrac{{{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^n} = \cr & = \sum\limits_{i = 0}^n {\dfrac{{{f^{\left( i \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{i!}}} {\left( {x - {x_0}} \right)^i} \cr}\)
Den Fehler, der bei der Näherung durch das Taylorpolynom gemacht wurde, kann man mit Hilfe der Formeln von Lagrange oder Cauchy abschätzen. Die beiden Formeln für das Restglied \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right)\) d.h. für den Fehler des n-ten Taylorpolynoms um den Entwicklungspunkt x0 an der Stelle x lauten:
nach Lagrange: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^{\left( {n + 1} \right)}}\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)
nach Cauchy: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - c} \right)^{\left( n \right)}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right)\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen
rgb(244,123,130)
Bild
Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
| Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
| Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
| Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
| Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
| Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
| Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
| Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
| Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
| Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
| Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
| Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
| Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
| Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
| Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
| Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
| Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
| Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |