Logarithmusfunktionen
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Formeln
Darstellung von Funktionen
Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.
\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)
Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)
Funktionsgleichung
Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge Df auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)
Daher nennt man
- y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
- x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument
Typen wichtiger Funktionsgleichungen
Konstante Funktion | \(f\left( x \right) = c\) |
Direkt proportionale Funktion sie sind für d=0 eine Untermenge der linearen Funktionen |
\(f\left( x \right) = k \cdot x\) |
Lineare Funktion | \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) |
Quadratische Funktion (Parabel) | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) |
Indirekt proportionale Funktion (Hyperbel) sie sind für negative n eine Untermenge der Potenzfunktionen |
\(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\) |
Potenzfunktion | \(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\) |
Wurzelfunktion | \(f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\) |
Exponentialfunktion | \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\\ f\left( x \right) = c \cdot {e^x} \end{array}\) |
Logarithmusfunktion | \(f\left( x \right) = {}^a\log x\) |
Periodische Funktion | \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) |
Polynomfunktion | \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\) |
uvm. |
Graph einer Funktion
Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.
\(y = f\left( x \right)\)
Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.
Wertetabelle einer Funktion
Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge Df ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge Wf, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.
x | y=f(x) |
x1 | f(x1) |
x2 | f(x2) |
... | ... |
xi | f(xi) |
Mengendiagramm einer Funktion
Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden
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Logarithmusfunktionen
Die Logarithmusfunktion \({}^a\operatorname{logx} \) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=ax . Alle Logarithmusfunktionen verlaufen rechts von der y-Achse und durch den gemeinsamen Punkt (1|0). Logarithmusfunktionen sind nur für den Bereich x>0 definiert. Der Definitionsbereich aller Logarithmusfunktionen ist \(\mathbb{R}^+\), der Wertebereich ist \(\mathbb{R}\) und sie haben alle x0=1 als Nullstelle.
Die y-Achse bildet eine Asymptote und die Nullstelle liegt an der Stelle x=1. Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist die Exponentialfunktion. Die häufigste Logarithmusfunktion ist jene mit der Basis e (Euler'sche Zahl e=2,7182), die natürliche Logarithmusfunktion ln.
\(f\left( x \right) = {}^a\log x = {\log _a}x \)
\(\eqalign{ & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\} \cr & x \in {{\Bbb R}^ + } \cr}\)
speziell:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^2\log x = \operatorname{lb} x \cr & f\left( x \right) = {}^e\log x = \ln x \cr & f\left( x \right) = {}^{10}\log x = \lg x \cr} \)
- \(a < 0\): Der Logarithmus ist für einen negativen Numerus nicht definiert
- \(0 < a < 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton fallend
- \(a = 1\): Der Logarithmus ist für die Basis = 1 nicht definiert
- \(a > 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton steigend
Aufgaben
Aufgabe 6005
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Tangente an eine Logarithmusfunktion
Gegeben ist die Funktion
\(g:x \mapsto \ln \left( {2x + 3} \right)\)
mit maximaler Definitionsmenge D und Wertemenge W. Der Graph von g wird mit Gg bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie D und W an.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an Gg im Schnittpunkt von Gg mit der x-Achse.
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