Quadratische Funktion

Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)

Funktionsgleichung

Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge D_f auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

Daher nennt man

• y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
• x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

Typen wichtiger Funktionsgleichungen

Graph einer Funktion

Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

\(y = f\left( x \right)\)

Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

Wertetabelle einer Funktion

Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge D_f ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge W_f, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

Mengendiagramm einer Funktion

Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

Polynomfunktionen n-ten Grades

Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_0}} \right.} \right)\). Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen ist nicht eingeschränkt, daher gilt: \(D = {\Bbb R}\). Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen genannt.

\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

\(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} \)

\(f\left( x \right) = c \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right){\text{ wobei }}{{\text{x}}_n}{\text{ die n Nullstellen sind}}\)

wobei:

Die wichtigsten Polynomfunktionen:

n=0:
konstante Funktion
\(f\left( x \right) = {a_0}\)

• ​0 oder bei f(x)== unendlich viele Nullstellen
• 0 Extremstellen
• 0 Wendestellen
• Typischer Graph verläuft parallel zur x-Achse
   

n=1:
lineare Funktion
\(f\left( x \right) = {a_1} \cdot x + {a_0} = k \cdot x + d\)

• ​1 Nullstelle
• 0 Extremstellen
• 0 Wendestellen
• Typischer Graph ist eine Gerade, welche die x und die y-Achse schneidet
   

n=2:
quadratische Funktion bzw. Parabel
\(f\left( x \right) = {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0} = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

• ​0, 1 oder 2 Nullstellen
• 1 Extremstelle, bei: \(x = - \dfrac{{{a_1}}}{{2{a_2}}}{\text{ für }}{{\text{a}}_2} \ne 0\)
• 0 Wendestelle
• Typischer Graph ist eine Parabel
   

Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.

• a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
• a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
• Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
• b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
• b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
• Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)

n=3:
kubische Funktion
\(f(x) = {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

• 1, 2 oder 3 Nullstellen
• 0 oder 2 Extremstellen
• 1 Wendestelle
• Typischer Graph verläuft s-förmig
   

n=4:
\(f(x) = {a_4} \cdot {x^4} + {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

• 0 .. 4 Nullstellen
• 1 oder 3 Extremstellen
• 0 oder 2 Wendestellen
• Typischer Graph verläuft w-förmig
   

Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.

• Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
   

Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion n minus 1
 

Wendepunkte: Maximale Anzahl der Wendepunkte = Grad der Funktion n minus 2

• \(n \geqslant 3\) und n gerade: 0, 2, 4,.. Wendestellen
• \(n \geqslant 3\) und n ungerade: mindestens 1 Wendestelle
   

konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.

Quadratische Funktionen (Parabeln)

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Parabel ist nach oben oder nach unten offen und nach links und rechts unbegrenzt. Der Punkt an dem die Parabel ihr Minimum annimmt heißt Scheitelpunkt. Die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(x)=f(-x).

\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\)

Allgemeine Form der quadratischen Funktion

Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen. 

• quadratisches Glied: Ist a positiv, so ist die Parabel noch oben offen, ist a negativ, so ist die Parabel nach unten offen. Die rein quadratische Parabel hat ihren Scheitel im Ursprung.
• lineares Glied: Verschiebt den Scheitel der Parabel in Richtung der x- und y-Achse. Die Parabel verläuft aber weiterhin durch den Ursprung
• konstantes Glied: Verschiebt die Parabel in Richtung der y-Achse. Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)

\(f(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

Normalform der quadratischen Funktion

Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der quadratischen Funktion.

\(f(x) = {x^2} + p \cdot x + q\)

Nullstellenform der quadratischen Funktion

Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der quadratischen Funktion genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel , also der Graph der quadratischen Funktion, überhaupt die x-Achse schneidet. Die quadratische Funktion in faktorisierter Form weist direkt die Nullstellen x₁ bzw. x₂ aus. Die Nullstellen der quadratischen Funktion findet man mit der abc Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird (siehe dort).

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr}\)