Tangente im Wendepunkt einer Funktion

Kurvendiskussion

Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)

• 1. Teilaufgabe: Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• 2. Teilaufgabe: Polstellen
• 3. Teilaufgabe: Lücken
• 4. Teilaufgabe: Verhalten im Unendlichen
• 5. Teilaufgabe: Gleichung der Asymptoten
• 6. Teilaufgabe: Symmetrien
• 7. Teilaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
• 8. Teilaufgabe: Berechne die 1. Ableitung
• 9. Teilaufgabe: Berechne die 2. Ableitung
• 10. Teilaufgabe: Berechne die 3. Ableitung
• 11. Teilaufgabe: Berechne die Nullstellen
• 12. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte
• 13. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte
• 14. Teilaufgabe: Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform
• 15. Teilaufgabe: Erstelle eine Wertetabelle
• 16. Teilaufgabe: Skizziere die Funktion

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion

\(f:x \mapsto 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ mit }}{D_f} = \left] {0;1} \right[\).

Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie die Nullstelle von f.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von D_f 

3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G_f an.

4. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Begründen Sie, dass f in D_f umkehrbar ist.

5. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G_f .

6. Teilaufgabe b.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente w an G_f im Wendepunkt W von G_f .

(zur Kontrolle: x-Koordinate von W: 1/2)

Verschiebt man G_f so, dass der Wendepunkt W im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion g.

7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie den Funktionsterm von g an.

8. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Welche Folgerung für G_f ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist?

9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeichnen Sie G_f und die Tangente w unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.

G_f schließt mit den Koordinatenachsen und der Tangente w ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein.

10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie A.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ableitungen

Gegeben ist der Graph der Polynomfunktion 3. Grades f. Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte (Tiefpunkt T, Wendepunkt W und Hochpunkt H) sind ganzzahlig.

Bild

Unten stehend sind verschiedene Aussagen zur 1. bzw. 2. Ableitung von f gegeben.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]

• Aussage 1: f‘(0) > 0
• Aussage 2: f‘‘(0) > 0
• Aussage 3: f‘(1) > 0
• Aussage 4: f‘(2) > 0
• Aussage 5: f‘‘(2) > 0