Aufgabe 82
Steigung der Tangente in einem Punkt
Gegeben sei die Funktion:
\(f\left( x \right) = {x^2}\)
1. Teilaufgabe: Bestimme unter Anwendung der Definition des Differentialquotienten zunächst den Anstieg k der Tangente ganz allgemein.
2. Teilaufgabe: Berechne anschließend die Steigung k der Tangente durch Einsetzen für die Stelle x=3.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir bestimmen den Anstieg k der Tangente
\(f\left( x \right) = {x^2}\)
Für die Definition des Differentialquotienten gilt:
\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\)
\(f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = k =\)
Wir setzen für die Funktion f(x) deren Funktionswert x2 ein
\(\eqalign{ & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - {x^2}}}{{\Delta x}} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 2.x.\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} - {x^2}}}{{\Delta x}} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x\left( {2x + \Delta x} \right)}}{{\Delta x}} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x} \right) = \cr & = 2x \cr}\)
2. Teilaufgabe:
Wir berechnen k an der Stelle x=3
\(f\left( x \right) = {x^2}\)
\(\eqalign{ & P(3\left| y \right.):\,\,y = f(x) = {x^2}:\,\,\,\,y = f(3) = {3^2} = 9 \cr & k = 2x = 2 \cdot 3 = 6 \cr}\)
Die Steigung im Punkt \(P\left( {3\left| 9 \right.} \right)\)beträgt k=6.
Das entspricht zeichnerisch einer Einheit in Richtung der positiven x-Achse und sechs Einheiten in Richtung der positiven y-Achse.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: \(f'\left( x \right) = k = 2x;\)
- Für die 2. Teilaufgabe: \(f'(3) = k = 6;\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 2 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt