Exponentialfunktionen

Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)

Funktionsgleichung

Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge D_f auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

Daher nennt man

• y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
• x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

Typen wichtiger Funktionsgleichungen

Graph einer Funktion

Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

\(y = f\left( x \right)\)

Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

Wertetabelle einer Funktion

Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge D_f ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge W_f, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

Mengendiagramm einer Funktion

Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. 

Allgemeine Form einer Exponentialfunktion

\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)

Einfachste Form einer Exponentialfunktion

\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)

\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)

wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)

• a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
• alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
• Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
• Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
• Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
• für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
  • 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
    • z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
    • z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
  • a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
  • 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
  • a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
  • a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
  • a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
  • sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
• \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
• Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
• Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
• Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
• Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)

Exponentialfunktion mit Anfangswert c

\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)

\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)

• c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
• der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
  • 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
  • c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
  • c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
  • sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
• für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
  • 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
    • z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
    • z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
      • \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
      • \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
      • \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
      • \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
• für dem Exponenten x gilt
  • sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
  • \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
• c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
• Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N₀
a→e

Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:

\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)

• Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
  \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)

• Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
  \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)

Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1

Exponentialfunktion - Interaktive Illustration

Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:

Illustration auf GeoGebra.org anzeigen

• Regler a: Verändere die Basis
• Regler c: Verändere den Faktor

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Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert

Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)

Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)

Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)