Potenzen differenzieren

Gängige Ableitungsfunktionen

Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x₀ der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x₀ an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x₀. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen gängiger Funktionen solle man auswendig können.

Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.

Konstante Funktion differenzieren (Faktorregel)

Die Ableitung f'(x) einer konstanten Funktion ist null, weil auch die Steigung der konstanten Funktion null ist . Der Graph jeder konstanten Funktion f(x) verläuft horizontal.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cr & f'\left( x \right) = 0 \cr}\)

Lineare Funktion differenzieren

Die Ableitung f'(x) einer linearen Funktion f(x) (das ist eine Gerade) entspricht deren Steigung. Die Steigung k einer Geraden ist über deren ganzen Verlauf konstant.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = kx + d \cr & f'\left( x \right) = k \cr}\)

Potenzfunktionen differenzieren

Potenzfunktionen werden differenziert, indem man den Exponenten n (mit samt seinem Vorzeichen) vor die Potenz setzt und indem man den Exponenten der Funktion f(x) um minus 1 reduziert.
Merksatz: "Exponent runter, Exponent minus 1, Innere Ableitung"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

Produkt aus einer Konstanten und einer Potenzfunktion

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot c \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Konstanten- oder Faktorregel beim Differenzieren

Potenzfunktion mit negativem Exponenten

\(\eqalign{ & f(x) = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} \cr} \)

Polynom differenzieren

Polynome werden unter Berücksichtigung der Faktor- und der Potenzregel differenziert. Bei Klammerausdrücken muss gemäß der Kettenregel auch noch die innere Ableitung als zusätzlicher Faktor angeschrieben werden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {\left( {bx + c} \right)^n} + d \cr & f'\left( x \right) = a \cdot n \cdot b \cdot {\left( {bx + c} \right)^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Kettenregel

Potenzfunktion steht im Nenner

Bei einfachen Brüchen bietet sich als Alternative zur Quotientenregel an, den Bruch in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^n}}} = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} = - n \cdot {x^{ - \left( {n + 1} \right)}} = - \dfrac{n}{{{x^{n + 1}}}} \cr} \)

Wurzelfunktionen differenzieren

Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

Quadratwurzel

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr} \)

n-te Wurzel

\(\eqalign{ & f(x) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{n \cdot \root n \of {{x^{n - 1}}} }}{\text{ }} \cr} \)

Quadratwurzel im Nenner

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} = {x^{ - \,\,\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}{x^{ - \,\,\dfrac{3}{2}}} \cr} \)

Exponentialfunktionen differenzieren

Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mit Ihrer eigenen Ableitung f'(x) identisch ist.

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f' = {e^x} \end{array}\)

Exponentialfunktion, mit einem zusätzlichen konstanten Faktor im Exponenten

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)

Exponentialfunktionen zur beliebigen positiven Basis a

Bei der Exponetialfunktion zur beliebigen Basis a, kommt bei der Ableitung zur Funktion selbst noch der Faktor ln a dazu.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)

Logarithmusfunktionen differenzieren

Natürlicher Logarithmus

Die Ableitung der Logarithmusfunktionen ist "1 geteilt durch x".

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr}\)

Logarithmus von x zur Basis a

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln a}} = \dfrac{1}{x} \cdot {}^a\log e \cr} \)

Logarithmus mit Klammer im Numerus

Besteht der Numerus aus einer Klammer, dann ist zudem die Kettenregel anzuwenden.

\(\eqalign{ & f(x) = \ln (ax + b) \cr & f'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{\left( {ax + b} \right)}} \cr} \)

Winkelfunktionen differenzieren

Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (wie Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Im Rahmen von Kurvendiskussionen benötigt man die 1., 2. und 3. Ableitung der jeweiligen Funktion.

Sinus differenzieren

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)

Kosinus differenzieren

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)

Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus:

Tangens differenzieren

Da tan x gleich ist mit (sin x dividiert durch cos x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (1 dividiert durch cos²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \cr}\)

Kotangens differenzieren

Da cot x gleich ist mit (cos x dividiert durch sin x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (-1 dividiert durch sin²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) \cr}\)