Zielfunktion
Die Zielfunktion fasst die zu maximierende bzw. zu minimierende Größe als Funktion der für die Optimierung maßgeblichen Variablen zusammen.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Lineare Optimierung
Einfache Minimum-, Maximumaufgaben
Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. Muss man lediglich 2 Variablen, die noch dazu „nur“ linear (also zur 1. Potenz) vorliegen, mit in die Suche einbeziehen, dann bestimmt man zunächst die Durchschnittsmenge und sucht anschließen daraus die optimale Lösung.
Zielfunktion: Die Zielfunktion fasst die zu maximierende bzw. zu minimierende Größe als Funktion der für die Optimierung maßgeblichen Variablen zusammen.
Nebenbedingung: Nebenbedingungen sind Bedingung für die Variablen, welche die allgemeine Lösungen der Optimierungsaufgabe auf einen kleineren Lösungsbereich einschränken.
Extremwertaufgaben bzw. Optimierung mittels Differentialrechnung
Bei Extremwertaufgaben geht es um die Beantwortung einer Aufgabenstellung vom Typ "finde Minimum" oder "finde Maximum", wobei die Aufgabenstellung als Zielfunktion formuliert wird, unter der Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Für die Lösung solcher Aufgaben bewährt sich folgendes Vorgehen:
- Skizze mit allen Variablen und Beschriftungen
- Zielfunktion aufstellen, indem der Zusammenhang zwischen der Variable die „minimiert oder maximiert“ werden soll und den restlichen Variablen angeschrieben wird.
- Nebenbedingungen aufstellen, indem alle Zusammenhänge der Variablen angeschrieben werden
- In den Nebenbedingungen die Variable(n) „explizit“ machen, damit man sie in die Zielfunktion einsetzen kann und diese nur mehr von einer einzigen Variablen abhängig ist
- Durch differenzieren den Extremwert der Zielfunktion bestimmen
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Aufgaben
Aufgabe 205
Extremwertaufgabe
Ein Bauer hat 700m Gartenzaun. Er will ein Gemüsebeet mit der größtmöglichen rechteckigen Fläche einzäunen. Welche Länge l bzw. welche Breite b muss er wählen?
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Aufgabe 206
Extremwertaufgabe
Eine Brauerei will 330ml Bier in eine Dose abfüllen. Welche Abmessungen muss die zylinderförmige Dose haben, damit möglichst wenig Aluminium verbraucht wird?
Aufgabe 4358
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Alkoholfreie Cocktails - Aufgabe B_454
Es gibt viele beliebte Cocktails ohne Alkohol.
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist der Lösungsbereich für die Herstellung der Cocktails Augustsüße und Goldener Oktober dargestellt.
Bild
Die Produktionskosten für einen Cocktail Goldener Oktober sind um 50 % hoher als die Produktionskosten für einen Cocktail Augustsüße. Die gesamten Produktionskosten sollen minimiert werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie eine mögliche Zielfunktion Z an, die die gesamten Produktionskosten beschreibt.
Z(x, y) =
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Gerade ein, für die im Lösungsbereich der minimale Wert der Zielfunktion angenommen wird.
[1 Punkt]
Aufgabe 4507
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Waldführungen - Aufgabe B_526
Ein Naturschutzzentrum bietet verschiedene Waldführungen an.
Teil b
Für eine Familientour werden die möglichen Verkaufszahlen von Erwachsenenkarten und Kinderkarten untersucht. In der nachstehenden Abbildung ist der Lösungsbereich für die Anzahl der verkauften Kinderkarten und Erwachsenenkarten dargestellt.
Bild
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
[0 / 1 P.]
Der Lösungsbereich liegt ____1_____ , da ____2____ für die Familientour verkauft werden können.
- Lücke 1_1: unterhalb der Geraden a
- Lücke 1_2: unterhalb der Geraden b
- Lücke 1_3: links von der Geraden c
- Lücke 2_1: höchstens 30 Kinderkarten
- Lücke 2_2: höchstens 20 Kinderkarten
- Lücke 2_3: mindestens 40 Karten
Die Zielfunktion Z beschreibt den Erlös in Euro bei einer Familientour:
\(Z\left( {x,y} \right) = 4 \cdot x + 6 \cdot y\)
| x |
Anzahl der verkauften Kinderkarten |
| y | Anzahl der verkauften Erwachsenenkarten |
Dieser Erlös soll maximiert werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Gerade ein, auf der der optimale Wert der Zielfunktion im Lösungsbereich angenommen wird.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung die optimalen Verkaufszahlen ab.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den maximalen Erlös.
[0 / 1 P.