Asymptote

Wichtige Funktionswerte im Zuge einer Kurvendiskussion

Im Rahmen von Kurvendiskussionen untersucht man verschiedene Eigenschaften von Funktionen

• Definitionsmenge, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• Polstellen und Lücken
• Verhalten im Unendlichen sowie Asymptotengleichungen
• Symmetrie sowie Periodizität
• Ableitungen f‘(x), f‘‘(x), f‘‘‘(x)
• Nullstellen f(x)=0 sowie Schnittpunkt mit der y-Achse f(0)
• Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
• Wendepunkte und Sattelpunkte
• Wendetangente
• Krümmungsverhalten und Monotonie
• Charakteristische Wertetabelle
• Graph der Funktion mit Wendetangente(n)

Extremstellen einer Funktion

Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat sie darin auch ein Minimum und ein Maximum.

• notwendiges Kriterium: \(f'\left( x \right) = 0\)
• hinreichendes Kriterium: \(f'' \ne 0\)
• Minimum, wenn \(f'' > 0\)
• Maximum, wenn \(f'' < 0\)

Lokaler Extremwert

Ein lokaler Extremwert liegt vor, wenn es keinen kleineren / größeren Funktionswert in der unmittelbaren Nähe am Funktionsgraph gibt.

Absoluter bzw. globaler Extremwert

Ein absoluter Extremwert ist der kleinste / größte von allen lokalen Extremwerten.

Wendestelle einer Funktion

Im Wendepunkt bzw. an der Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten vom Graphen der Funktion. Eine Linkskrümmung geht in eine Rechtskrümmung bzw. umgekehrt über. Nur im Wendepunkt schneidet eine Tangente an den Graph der Funktion diesen Graph. Ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente heißt Sattelpunkt

An einer Wendestelle / im Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0{\text{ sowie }}f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0\)

• Ein Polynom vom \({\text{Grad }} \geqslant 3\) muss mindestens eine Wendestelle haben.
• Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2 Wendestellen haben.

Monotonie von Funktionen

Steigt/fällt der Graph einer Funktion an jeder Stelle, so heißt die Funktion streng monoton steigend / fallend. Gibt es auch Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt, also konstant bleibt und daher parallel zur x-Achse verläuft, so fällt das Word „streng“ weg und die Funktion ist „nur“ monoton steigend / fallend. Aussagen betreffend Monotonie in bestimmten Intervalle der Funktion leitet man daraus ab, ob dort die ersten Ableitung \(f'\left( x \right)\) größer oder kleiner Null ist.

\(\eqalign{ & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton fallend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton fallend}} \cr}\)

Definitionslücke

Unter einer Definitionslücke versteht man einzelne Punkte einer Funktion, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. (Nullstellen des Nenners)

Dort ist die Funktion also nicht definiert. Entweder nähert sich der Graph dort einer senkrechten Asymptote an, dann liegt eine Polstelle vor, oder es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Eine hebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zähler größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner sind. Dann lässt sich die Nullstelle durch Kürzen entfernen.

Obige Illustration zeigt eine Funktion die an der Stelle x=1 nicht definiert ist und in deren Definitionsbereich somit an dieser Stelle eine Lücke vorliegt. Durch Kürzen kann man an der Stelle x=1 dem Definitionsbereich den Wert "2" zuordnen. Der Definitionsbereich ist somit \({D_f} = {\Bbb R}\), die Lücke ist geschlossen, man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke"

Polstelle

Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Die gebrochenrationale Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) besitzt an der Stelle x₀ eine Polstelle, wenn gilt: \(p\left( {x = {x_0}} \right) \ne 0{\text{ und }}q\left( {x = {x_0}} \right) = 0\). Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms in Nenner bestimmt.

• Bei Polstellen mit Vorzeichenwechsel strebt die Funktion auf einer Seite nach + Unendlich während sie auf der anderen Seite nach - Unendlich strebt.
• Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten entweder nach + oder nach - Unendlich

Obige Illustration zeigt den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)

• mit der x-Achse und der y-Achse als Asymptote
• der an der Stelle x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist

Links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert

An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verhält sich der Graph der Funktion von links bzw. von rechts betrachtet unterschiedlich.

• Der linksseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x₀, entlang vom Funktionsgraphen von links kommend annähert. 
• Der rechtsseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x₀, entlang vom Funktionsgraphen von rechts kommend annähert. 
• Ist die Funktion an der Stelle x₀ stetig, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein. 

• Aus dem Inneren des Definitionsbereichs betrachtet kann man daher einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert ermitteln.
  In GeoGebra gibt es dafür die Befehle
  • LinksseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
  • RechtsseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)

Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie aber nie erreicht.

Dabei unterscheidet man zwischen senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten. Kurven, die sich dem Graph einer anderen Funktion zunehmend annähern, bezeichnet man als asymptotische Kurven.

• Zählergrad = Höchste Potenz im Zähler einer Funktion
• Nennergrad = Höchste Potenz im Nenner einer Funktion
   
• Zählergrad < Nennergrad: die Funktion hat die x-Achse als Asymptote
• Zählergrad = Nennergrad: die Asymptote verläuft horizontal
• Zählergrad = Nennergrad + 1: die Asymptote verläuft schief
• Zählergrad > Nennergrad+1: zu der Funktion gibt es eine asymptotische Kurve
   
• Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.

Bei obenstehender Funktion gilt: Zählergrad = 2 = Nennergrad und daher hat die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) die horizontal verlaufende Asymptote y=1; An den Stellen x=-1 bzw. x=1 hat die Funktion zudem Polstellen mit Vorzeichenwechsel