Quotientenregel beim Differenzieren
Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Ableitungsregeln
Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Ableitungsregeln. Die gängigsten Ableitungsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.
Konstanten- oder Faktorregel
Die Faktorregel kommt dann zur Anwendung, wenn vor der abzuleitenden Funktion f(x) ein konstanter Faktor c steht. Mit andern Worten, wenn ein Proukt aus einer Konstanten c und einer Funktion f(x) abzuleiten sind. Die Regel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)
Summen- bzw. Differenzenregel
Die Summen- bzw. Differenzenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Summe bzw. Differenz vorliegen. Die Regel besagt, dass die beiden Teilfunktionen individuell abzuleiten sind und erneut eine Summe oder Differenz bilden.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)
Produktregel beim Differenzieren
Die Produktregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Produkt vorliegen. Die Regel besagt, dass die Ableitung der 1. Funktion f'(x) mal der 2. Funktion g(x) plus die 1. Funktion f(x) mal der Ableitung der 2. Funktion g'(x) zu summieren sind
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Quotientenregel beim Differenzieren
Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn im Zähler die Funktion f(x) und im Nenner die Funktion g(x) stehen. Die Regel besagt, dass vom Produkt aus der Ableitung des Zählers f'(x) mit der Nennerfunktion g(x) das Produkt aus der Zählerfunktion mal der abgeleiteten Nennerfunktion zu bilden ist und diese Differenz ist dann durch das Quadrat der Nennerfunktion zu dividieren.
Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Reziprokenregel
Die Reziprokenregel ist eine Abkürzung der Quotientenregel, die dann zur Anwendung kommt, wenn die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion f(x) ist. Die Regel besagt, dass der negative Quotient aus der abgeleiteten Funktion f'(x) mit dem Quadrat der Funktion f2(x) zu bilden ist.
\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\\ - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \end{array}\)
Steht im Zähler nicht "1" sondern eine Konstante c, dann verhält sich diese gemäß der Faktorregel, d.h. sie bleibt beim Differenzieren unverändert.
\(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Kettenregel beim Differenzieren
Die Kettenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen v(x) und u(x) mit einander verkettet sind. "Verkettet" bedeutet, dass sich die Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion v(x) und einer inneren Funktion u(x) zusammensetzt. Die Regel besagt, dass man zuerst die äußere Funktion selbst ableitet v'(x) und dann mit deren "innerer Ableitung" u'(x) multipliziert.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)
Allgemeine Kettenregel
Die allgemeine Kettenregel gibt an, wie eine Verkettung von mehr als 2 Funkktionen differenzierbar ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)
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Aufgaben
Aufgabe 6019
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion
\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)
Abbildung 1 zeigt den Graphen Gh von h.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 0\) gilt.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie rechnerisch für \(x \in {D_h}\) dass für die Ableitung h‘ von h gilt: \(h'\left( x \right) < 0\)
Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion
\({H_0} = x \mapsto \int\limits_0^x {h\left( t \right)} \,\,dt\).
3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H0 ist streng monoton steigend.
4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H0 ist rechts gekrümmt
5. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Nullstelle von H0 an.
6. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe der Abbildung die Funktionswerte H0 (-0,5) sowie H0 (3) .
7. Teilaufgabe c.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von H0 im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 3\)
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Aufgabe 139
Differenzieren von Polynomen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{1}{{{x^2} + 6x + 7}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 141
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{2{x^3} - 4x + 6}}{5}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
1. Teilaufgabe: Indem du zunächst den Bruch in Partialbrüche zerlegst und diese dann differenzierst
2. Teilaufgabe: Indem du den Bruch direkt differenzierst
Aufgabe 142
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} + 1}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 143
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
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Aufgabe 149
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \sqrt {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 151
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = {x^{ - 4}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 153
Quotientenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {6 - {x^2}} }}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 157
Differenzieren von Polynomen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{3{x^3} + 9{x^2}}}{{3x}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
- 1. Teilaufgabe: Wende die Quotientenregel an
- 2. Teilaufgabe: Wende die Produktregel an
- 3. Teilaufgabe: Bilde zunächst das Polynom und differenziere dieses anschließend gemäß der Summenregel
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Aufgabe 175
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{4{x^3}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 183
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{{x^4}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 189
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{{e^{cx}}}}{{{x^2} - 1}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.