Zusammenhang Funktion - Ableitungsfunktion - Stammfunktion
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Stammfunktion einer Funktion auffinden
"Die Differentiation ist ein Handwerk, die Integration dagegen ist eine Kunst"
Differential- und Integralrechnung hängen eng zusammen: Durch Integration der Ableitungsfunktion f'(x) erhält man die Funktion f(x). Durch Integration der Funktion f(x) erhält man die Stammfunktion F(x). Durch Differenzieren der Stammfunktion F(x) erhält man die Funktion f(x) und durch Differenzieren der Funktion f(x) erhält man die Ableitungsfunktion f'(x). Bei Differenzieren berechnet man Steigung der Funktion, beim Integrieren berechnet man die Fläche unter der Funktion.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Für viele wichtige Funktionen sind die zugehörigen Stammfunktionen bekannt. Aber selbst relativ einfach erscheinende Funktionen wie \(f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\) sind nicht elementar integrierbar, d.h. ihre Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen darstellen.
\(\begin{array}{l} \int {f(x)\,\,dx = F\left( x \right) + C} \\ F'\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array}\)
Zusammenhang Stammfunktion F(x) - Funktion f(x) - Ableitungsfunktion f'(x)
Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen f(x) und Ihre Ableitungsfunktionen f'(x) sowie die zugehörigen Stammfunktionen F(x) angeführt sind. Nachfolgend die für die Sekundarstufe 2 wichtigsten Zusammenhänge:
Stammfunktion F(x) | Funktion f(x) | Ableitungsfunktion f'(x) | |
gängige Funktionen | |||
Konstante Funktion | \(F\left( x \right) = k \cdot x\) | \(f\left( x \right) = k\) | \(f'\left( x \right) = 0\) |
Potenzfunktion | \(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\,\,\,\,\,für\,\,n \ne - 1\\ F\left( x \right) = \ln \left( {\left| x \right|} \right)\,\,\,\,\,fü r\,\,n = - 1 \end{array}\) | \(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f\left( x \right) = {x^{ - n}} = \dfrac{1}{x} \cr} \) |
\(f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}}\) |
Eulersche Funktion | \(F\left( x \right) = {e^x}\) | \(f\left( x \right) = {e^x}\) | \(f'\left( x \right) = {e^x}\) |
Exponetialfunktion | \(F\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln \left( a \right)}}\) | \(f\left( x \right) = {a^x}\) | \(f'\left( x \right) = \ln \left( a \right) \cdot {a^x}\) |
Logarithmusfunktion | \(F\left( x \right) = x \cdot \ln \left( x \right) - x\) | \(f\left( x \right) = \ln \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) |
Logarithmusfunktion | \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln \left( a \right)}} \cdot \left( {x \cdot \ln \left( x \right) - x} \right)\) | \(f\left( x \right) = {\log _a}\left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln \left( a \right)}}\) |
Sinusfunktion | \(F\left( x \right) = - \cos \left( x \right)\) | \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) |
Kosinusfunktion | \(F\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) | \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = - \sin \left( x \right)\) |
Tangensfuntkion | \(F\left( x \right) = - \ln \left( {\left| {\cos \left( x \right)} \right|} \right)\) | \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}}\) |
Rechenregeln: | |||
Konstanten- oder Faktorenregel | \(G\left( x \right) = k \cdot F\left( x \right)\) | \(g\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right)\) | \(g'\left( x \right) = k \cdot f'\left( x \right)\) |
Summen- bzw. Differenzenregel | \(H\left( x \right) = F\left( x \right) \pm G\left( x \right)\) | \(h\left( x \right) = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) | \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right)\) |
Partielle Integration | \(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\) | \(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\) | |
Integration durch Substitutions | \(F\left( x \right) = \int {f\left( {g\left( u \right)} \right)} \cdot g'\left( u \right)\,\,du\) | \(f\left( x \right)\) | |
Sonderfall der Substitutionsregel | \(H\left( x \right) = \ln \left| {f\left( x \right)} \right|\) | \(h\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\) |
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgaben
Aufgabe 1629
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Beziehungen zwischen Funktion, Ableitungs- und Stammfunktion
Es sei f eine Polynomfunktion dritten Grades, f ′ ihre Ableitungsfunktion und F eine der Stammfunktionen von f.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die zweite Ableitungsfunktion der Funktion ____1____ ist die Funktion ____2____ .
1 | |
f | A |
f' | B |
F | C |
2 | |
f | I |
f' | II |
F | III |
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.