Zahlenfolgen
Formel
Zahlenfolgen
Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)
Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
\({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)
Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.
i | Index der Glieder der Folge |
an | n-tes Glied der Folge (i=n) |
Beispiel:
Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)
Arithmetische Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)
Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
\(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)
a1 | Startwert |
d | konstante Differenz |
- d < 0: fallende Folge
- d = 0: konstante Folge
- d > 0: steigende Folge
Rekursive Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)
Explizite Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)
Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:
Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet:
\(\eqalign{ & {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr & \cr & {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr & {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr & {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr & \cr & \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)
Geometrische Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)
Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\(q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)
a1 | Startwert |
d | konstanter Quotient |
- q<0 : alternierende Folge
- 0<q<1 : fallende Folge
- q=1 : konstante Folge
- q>1 : steigende Folge
Rekursive Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)
Explizite Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)
Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)
Beispiel:
Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge
Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden
\(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Analysis | Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung |
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Zahlenfolgen | Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten. |
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Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden | Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. |
Mathematisches Modell | Ein mathematisches Modell beschreibt das Zusammenspiel von einzelnen Komponenten eines komplexen Systems (aus der Natur), mit den Mitteln der Mathematik. |
Numerische Integration | Die numerische Integration kommt dann zum Einsatz, wenn die Funktion von der die Stammfunktion aufgesucht werden soll, entweder nicht geschlossen vorliegt oder nicht analytisch integrierbar ist. |
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Änderungsmaße | Bei Größenvergleichen unterscheidet man zwischen dem Vergleich von absoluten, relativen bzw. prozentzellen Änderungen. |
Integro-Differentialgleichungen | Integro-Differentialgleichungen sind gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen, die zusätlich Integralterme beinhalten |
Zahlenreihen | Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden ai sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge |
Vertiefe dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Eigenschaften von Zahlenfolgen | Für Zahlenfolgen gibt es abseits ihrer Bildungsvorschrift noch eine Reihe an Eigenschaften wie etwa Häufungs- und Grenzwerte. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4344
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lauftraining - Aufgabe B_449
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie unterschiedliche Trainingspläne.
Teil a
Anna und Beate überlegen sich folgende Trainingspläne:
Tag 1 | Tag 2 | Tag 3 | Tag 4 | |
km/Tag | km/Tag | km/Tag |
km/Tag |
|
Anna | 1,5 | 1,65 | 1,815 | |
Beate | 1,5 | 2 | 2,5 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass die Längen der Trainingsstrecken von Anna an den ersten 3 Tagen eine geometrische Folge bilden.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
Die Längen der Trainingsstrecken von Beate an den ersten 3 Tagen bilden eine arithmetische Folge.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie unter Verwendung der jeweiligen Bildungsgesetze die fehlenden Werte in der letzten Spalte der obigen Tabelle.
[1 Punkt]
Aufgabe 4345
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lauftraining - Aufgabe B_449
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie unterschiedliche Trainingspläne.
Teil b
Clara berechnet die Längen ihrer Trainingsstrecken folgendermaßen:
\({c_n} = 2,75 + 0,125 \cdot n\)
n |
Trainingstag |
cn |
Länge der Trainingsstrecke am n-ten Tag in km |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, am wievielten Trainingstag Claras Trainingsstrecke eine Länge von 8 km hat.
[1 Punkt]
Aufgabe 4449
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Im Zeitraum von 1970 bis 2010 hat der jährliche globale Rohstoffverbrauch von 22 Milliarden Tonnen auf 70 Milliarden Tonnen zugenommen.* Im selben Zeitraum hat sich die Weltbevölkerung auf 7 Milliarden verdoppelt.
* Vgl. http://derstandard.at/2000041471018/Weltweiter-Rohstoffverbrauch-seit-1… [26.11.2020].
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie auf Basis dieser Angaben den durchschnittlichen jährlichen Rohstoffverbrauch pro Person im Jahr 1970.
[0 / 1 P.]
Die zeitliche Entwicklung des globalen Rohstoffverbrauchs kann durch eine arithmetische Folge oder durch eine geometrische Folge modelliert werden.
Im Modell A wird das jährliche prozentuelle Wachstum bezogen auf das jeweilige Vorjahr als konstant angenommen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell A ein explizites Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Im Modell B wird das jährliche absolute Wachstum als konstant angenommen.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell B ein rekursives Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Für das Jahr 2050 wird ein jährlicher globaler Rohstoffbedarf von 180 Milliarden Tonnen angenommen.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den fehlenden Exponenten Exp
180 Milliarden Tonnen = 1,8 ∙ 10Exp kg
Exp=
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4489
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kartenhaus - Aufgabe B_520
Aus Spielkarten kann man ein Kartenhaus bauen. In der nachstehenden Abbildung sind Kartenhäuser, die aus einer unterschiedlichen Anzahl von Stockwerken bestehen, in der Ansicht von vorne skizziert.
Teil a
Die nachstehende Tabelle gibt an, wie viele Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus insgesamt benötigt werden und wie viele davon für das unterste Stockwerk benötigt werden.
Anzahl der Stockwerke | insgesamt benötigte Karten | Karten für das unterste Stockwerk |
1 | 2 | 2 |
2 | 7 | 5 |
3 | 15 | 8 |
4 | 26 | 11 |
5 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Tabelle die beiden fehlenden Zahlen in die grau markierten Zellen ein.
[0 / 1 P.]
Die Anzahl der Karten für das unterste Stockwerk kann durch die arithmetische Folge zn beschrieben werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein explizites Bildungsgesetz für die arithmetische Folge zn.
[0 / 1 P.]
Maria hat ein 24-stöckiges Kartenhaus errichtet und möchte es nun zu einem 25-stöckigen Kartenhaus erweitern.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Anzahl der zusätzlichen Karten, die Maria dafür benötigt.
[0 / 1 P.]
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Aufgabe 4344
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lauftraining - Aufgabe B_449
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie unterschiedliche Trainingspläne.
Teil a
Anna und Beate überlegen sich folgende Trainingspläne:
Tag 1 | Tag 2 | Tag 3 | Tag 4 | |
km/Tag | km/Tag | km/Tag |
km/Tag |
|
Anna | 1,5 | 1,65 | 1,815 | |
Beate | 1,5 | 2 | 2,5 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass die Längen der Trainingsstrecken von Anna an den ersten 3 Tagen eine geometrische Folge bilden.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
Die Längen der Trainingsstrecken von Beate an den ersten 3 Tagen bilden eine arithmetische Folge.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie unter Verwendung der jeweiligen Bildungsgesetze die fehlenden Werte in der letzten Spalte der obigen Tabelle.
[1 Punkt]
Aufgabe 4449
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Im Zeitraum von 1970 bis 2010 hat der jährliche globale Rohstoffverbrauch von 22 Milliarden Tonnen auf 70 Milliarden Tonnen zugenommen.* Im selben Zeitraum hat sich die Weltbevölkerung auf 7 Milliarden verdoppelt.
* Vgl. http://derstandard.at/2000041471018/Weltweiter-Rohstoffverbrauch-seit-1… [26.11.2020].
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie auf Basis dieser Angaben den durchschnittlichen jährlichen Rohstoffverbrauch pro Person im Jahr 1970.
[0 / 1 P.]
Die zeitliche Entwicklung des globalen Rohstoffverbrauchs kann durch eine arithmetische Folge oder durch eine geometrische Folge modelliert werden.
Im Modell A wird das jährliche prozentuelle Wachstum bezogen auf das jeweilige Vorjahr als konstant angenommen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell A ein explizites Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Im Modell B wird das jährliche absolute Wachstum als konstant angenommen.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell B ein rekursives Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Für das Jahr 2050 wird ein jährlicher globaler Rohstoffbedarf von 180 Milliarden Tonnen angenommen.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den fehlenden Exponenten Exp
180 Milliarden Tonnen = 1,8 ∙ 10Exp kg
Exp=
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4121
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel - Aufgabe B_115
Teil b
Mit Würfeln wird eine Treppe gebaut:
Das obige Bauschema soll auf diese Art fortgesetzt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz, mit dem man die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene berechnen kann.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie, wie viele Würfel in der 7. Ebene liegen.
[1 Punkt]
Die Anzahl sn der Würfel, die für eine solche Treppe aus n Ebenen insgesamt benötigt wird, kann mithilfe der folgenden Formel bestimmt werden:
\({s_n} = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right)\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, aus wie vielen Ebenen eine solche Treppe besteht, wenn man insgesamt 360 Würfel verbaut.
[1 Punkt]
Aufgabe 4344
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lauftraining - Aufgabe B_449
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie unterschiedliche Trainingspläne.
Teil a
Anna und Beate überlegen sich folgende Trainingspläne:
Tag 1 | Tag 2 | Tag 3 | Tag 4 | |
km/Tag | km/Tag | km/Tag |
km/Tag |
|
Anna | 1,5 | 1,65 | 1,815 | |
Beate | 1,5 | 2 | 2,5 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass die Längen der Trainingsstrecken von Anna an den ersten 3 Tagen eine geometrische Folge bilden.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
Die Längen der Trainingsstrecken von Beate an den ersten 3 Tagen bilden eine arithmetische Folge.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie unter Verwendung der jeweiligen Bildungsgesetze die fehlenden Werte in der letzten Spalte der obigen Tabelle.
[1 Punkt]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 4449
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Im Zeitraum von 1970 bis 2010 hat der jährliche globale Rohstoffverbrauch von 22 Milliarden Tonnen auf 70 Milliarden Tonnen zugenommen.* Im selben Zeitraum hat sich die Weltbevölkerung auf 7 Milliarden verdoppelt.
* Vgl. http://derstandard.at/2000041471018/Weltweiter-Rohstoffverbrauch-seit-1… [26.11.2020].
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie auf Basis dieser Angaben den durchschnittlichen jährlichen Rohstoffverbrauch pro Person im Jahr 1970.
[0 / 1 P.]
Die zeitliche Entwicklung des globalen Rohstoffverbrauchs kann durch eine arithmetische Folge oder durch eine geometrische Folge modelliert werden.
Im Modell A wird das jährliche prozentuelle Wachstum bezogen auf das jeweilige Vorjahr als konstant angenommen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell A ein explizites Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Im Modell B wird das jährliche absolute Wachstum als konstant angenommen.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell B ein rekursives Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Für das Jahr 2050 wird ein jährlicher globaler Rohstoffbedarf von 180 Milliarden Tonnen angenommen.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den fehlenden Exponenten Exp
180 Milliarden Tonnen = 1,8 ∙ 10Exp kg
Exp=
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4121
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel - Aufgabe B_115
Teil b
Mit Würfeln wird eine Treppe gebaut:
Das obige Bauschema soll auf diese Art fortgesetzt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz, mit dem man die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene berechnen kann.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie, wie viele Würfel in der 7. Ebene liegen.
[1 Punkt]
Die Anzahl sn der Würfel, die für eine solche Treppe aus n Ebenen insgesamt benötigt wird, kann mithilfe der folgenden Formel bestimmt werden:
\({s_n} = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right)\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, aus wie vielen Ebenen eine solche Treppe besteht, wenn man insgesamt 360 Würfel verbaut.
[1 Punkt]
Aufgabe 4344
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lauftraining - Aufgabe B_449
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie unterschiedliche Trainingspläne.
Teil a
Anna und Beate überlegen sich folgende Trainingspläne:
Tag 1 | Tag 2 | Tag 3 | Tag 4 | |
km/Tag | km/Tag | km/Tag |
km/Tag |
|
Anna | 1,5 | 1,65 | 1,815 | |
Beate | 1,5 | 2 | 2,5 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass die Längen der Trainingsstrecken von Anna an den ersten 3 Tagen eine geometrische Folge bilden.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
Die Längen der Trainingsstrecken von Beate an den ersten 3 Tagen bilden eine arithmetische Folge.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie unter Verwendung der jeweiligen Bildungsgesetze die fehlenden Werte in der letzten Spalte der obigen Tabelle.
[1 Punkt]
Aufgabe 4449
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Im Zeitraum von 1970 bis 2010 hat der jährliche globale Rohstoffverbrauch von 22 Milliarden Tonnen auf 70 Milliarden Tonnen zugenommen.* Im selben Zeitraum hat sich die Weltbevölkerung auf 7 Milliarden verdoppelt.
* Vgl. http://derstandard.at/2000041471018/Weltweiter-Rohstoffverbrauch-seit-1… [26.11.2020].
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie auf Basis dieser Angaben den durchschnittlichen jährlichen Rohstoffverbrauch pro Person im Jahr 1970.
[0 / 1 P.]
Die zeitliche Entwicklung des globalen Rohstoffverbrauchs kann durch eine arithmetische Folge oder durch eine geometrische Folge modelliert werden.
Im Modell A wird das jährliche prozentuelle Wachstum bezogen auf das jeweilige Vorjahr als konstant angenommen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell A ein explizites Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Im Modell B wird das jährliche absolute Wachstum als konstant angenommen.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell B ein rekursives Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Für das Jahr 2050 wird ein jährlicher globaler Rohstoffbedarf von 180 Milliarden Tonnen angenommen.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den fehlenden Exponenten Exp
180 Milliarden Tonnen = 1,8 ∙ 10Exp kg
Exp=
[0 / 1 P.]
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