Quadratische Funktion
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Darstellung von Funktionen
Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.
\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)
Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)
Funktionsgleichung
Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge Df auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)
Daher nennt man
- y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
- x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument
Typen wichtiger Funktionsgleichungen
Konstante Funktion | \(f\left( x \right) = c\) |
Direkt proportionale Funktion sie sind für d=0 eine Untermenge der linearen Funktionen |
\(f\left( x \right) = k \cdot x\) |
Lineare Funktion | \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) |
Quadratische Funktion (Parabel) | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) |
Indirekt proportionale Funktion (Hyperbel) sie sind für negative n eine Untermenge der Potenzfunktionen |
\(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\) |
Potenzfunktion | \(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\) |
Wurzelfunktion | \(f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\) |
Exponentialfunktion | \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\\ f\left( x \right) = c \cdot {e^x} \end{array}\) |
Logarithmusfunktion | \(f\left( x \right) = {}^a\log x\) |
Periodische Funktion | \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) |
Polynomfunktion | \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\) |
uvm. |
Graph einer Funktion
Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.
\(y = f\left( x \right)\)
Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.
Wertetabelle einer Funktion
Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge Df ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge Wf, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.
x | y=f(x) |
x1 | f(x1) |
x2 | f(x2) |
... | ... |
xi | f(xi) |
Mengendiagramm einer Funktion
Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden
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Polynomfunktionen n-ten Grades
Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_0}} \right.} \right)\). Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen ist nicht eingeschränkt, daher gilt: \(D = {\Bbb R}\). Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen genannt.
\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} \)
\(f\left( x \right) = c \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right){\text{ wobei }}{{\text{x}}_n}{\text{ die n Nullstellen sind}}\)
wobei:
\(\eqalign{ & {a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0} \cr & n \in N;\,\,\,\,\,{a_i} \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,{a_n} \ne 0 \cr} \) | Koeffizienten |
ai | i-ter Koeffizient |
n | höchste Potenz |
\({a_2} \cdot {x^2}\) | quadratisches Glied |
\({a_1} \cdot x\) | lineares Glied |
\({a_0}\) | konstantes Glied |
Die wichtigsten Polynomfunktionen:
n=0:
konstante Funktion
\(f\left( x \right) = {a_0}\)
- 0 oder bei f(x)== unendlich viele Nullstellen
- 0 Extremstellen
- 0 Wendestellen
- Typischer Graph verläuft parallel zur x-Achse
n=1:
lineare Funktion
\(f\left( x \right) = {a_1} \cdot x + {a_0} = k \cdot x + d\)
- 1 Nullstelle
- 0 Extremstellen
- 0 Wendestellen
- Typischer Graph ist eine Gerade, welche die x und die y-Achse schneidet
n=2:
quadratische Funktion bzw. Parabel
\(f\left( x \right) = {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0} = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
- 0, 1 oder 2 Nullstellen
- 1 Extremstelle, bei: \(x = - \dfrac{{{a_1}}}{{2{a_2}}}{\text{ für }}{{\text{a}}_2} \ne 0\)
- 0 Wendestelle
- Typischer Graph ist eine Parabel
Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.
- a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
- a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
- Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
- b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
- b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
- Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)
n=3:
kubische Funktion
\(f(x) = {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- 1, 2 oder 3 Nullstellen
- 0 oder 2 Extremstellen
- 1 Wendestelle
- Typischer Graph verläuft s-förmig
n=4:
\(f(x) = {a_4} \cdot {x^4} + {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- 0 .. 4 Nullstellen
- 1 oder 3 Extremstellen
- 0 oder 2 Wendestellen
- Typischer Graph verläuft w-förmig
Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.
- Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion n minus 1
Wendepunkte: Maximale Anzahl der Wendepunkte = Grad der Funktion n minus 2
- \(n \geqslant 3\) und n gerade: 0, 2, 4,.. Wendestellen
- \(n \geqslant 3\) und n ungerade: mindestens 1 Wendestelle
konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.
Quadratische Funktionen (Parabeln)
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Parabel ist nach oben oder nach unten offen und nach links und rechts unbegrenzt. Der Punkt an dem die Parabel ihr Minimum annimmt heißt Scheitelpunkt. Die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(x)=f(-x).
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\)
Allgemeine Form der quadratischen Funktion
Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.
- quadratisches Glied: Ist a positiv, so ist die Parabel noch oben offen, ist a negativ, so ist die Parabel nach unten offen. Die rein quadratische Parabel hat ihren Scheitel im Ursprung.
- lineares Glied: Verschiebt den Scheitel der Parabel in Richtung der x- und y-Achse. Die Parabel verläuft aber weiterhin durch den Ursprung
- konstantes Glied: Verschiebt die Parabel in Richtung der y-Achse. Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)
\(f(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Normalform der quadratischen Funktion
Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der quadratischen Funktion.
\(f(x) = {x^2} + p \cdot x + q\)
Nullstellenform der quadratischen Funktion
Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der quadratischen Funktion genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel , also der Graph der quadratischen Funktion, überhaupt die x-Achse schneidet. Die quadratische Funktion in faktorisierter Form weist direkt die Nullstellen x1 bzw. x2 aus. Die Nullstellen der quadratischen Funktion findet man mit der abc Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird (siehe dort).
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr}\)
Beispiel:
Reinquadratische Funktion in der allgemeinen Form mit a=1 b=0 c=0
Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=1 und c=0; Durch das lineare Glied, welches einer Geraden durch den Ursprung mit einer Steigung von 45° entspricht, erhalten wir eine nach links und nach unten verschobene Gerade.
Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=0 und c=1; Durch das konstante Glied c=1 wird der Graph der Funktion um c nach oben verschoben.
Beispiel:
Reinquadratischen Funktion mit a=-1, b=0 und c=0; Wir erhalten eine nach unten offene Normalparabel, was einer Spiegelung um die x-Achse entspricht.
Aufgaben
Aufgabe 1716
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Funktion
Gegeben ist eine quadratische Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c{\text{ wobei }}a,b,c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.
Wenn ____1____ gilt, so hat die Funktion f auf jeden Fall ____2____ .
- Satzteil 1_1: a<0
- Satzteil 1_2: b=0
- Satzteil 1_3: c>0
- Satzteil 2_1: einen zur senkrechten Achse symmetrischen Graphen
- Satzteil 2_2: zwei reelle Nullstellen
- Satzteil 2_3: ein lokales Minimum
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Aufgabe 1839
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Funktionen
In der nachstehenden Abbildung
sind die Graphen der beiden reellen Funktionen f und g dargestellt. Es gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R} \cr & g\left( x \right) = c \cdot {x^2} + d{\text{ mit c}}{\text{,d}} \in {\Bbb R} \cr} \)
Die Koordinaten der gekennzeichneten Punkte sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
- Aussage 1: \(d = f\left( 0 \right)\)
- Aussage 2: \(b = d\)
- Aussage 3: \(a = - c\)
- Aussage 4: \( - f\left( x \right) = g\left( x \right){\text{ für alle }}x \in {\Bbb R}\)
- Aussage 5: \(f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)\)
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4303
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutkreislauf - Aufgabe A_227
Blut versorgt die Organe des menschlichen Körpers mit Sauerstoff. Das Herz pumpt das Blut in einem Kreislaufsystem durch den Körper.
Teil c
Betrachtet man den Querschnitt eines Blutgefäßes vereinfacht als Kreis, so lasst sich die Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Blutgefäßen näherungsweise durch die Funktion v beschreiben:
\(v\left( x \right) = {v_{\max }} \cdot \left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{{R^2}}}} \right){\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant R\)
- x ... Abstand von der Mitte des Blutgefäßes in Metern (m)
- v(x) ... Strömungsgeschwindigkeit des Blutes im Abstand x in m/s
- vmax ... maximale Geschwindigkeit des Blutes in Metern pro Sekunde (m/s) mit vmax > 0
- R ... Radius des Blutgefäßes in m
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion v in der nachstehenden Abbildung.
[1 Punkt]
Aufgabe 4392
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blumentopf - Aufgabe B_474
Teil c
Der Erlös aus dem Verkauf von Blumentöpfen kann durch die Funktion E beschrieben werden:
\(E\left( x \right) = 20 \cdot x - 0,12 \cdot {x^2}\)
x |
Verkaufsmenge in ME |
E(x) |
Erlös bei der Verkaufsmenge x in GE |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie das größtmögliche Intervall für x, in dem der Erlös mindestens 100 GE betragt.
[1 Punkt]
Aufgabe 4405
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Limnologie - Aufgabe B_478
Die Limnologie erforscht wichtige Kenngrößen von stehenden Gewässern wie etwa Temperatur oder Dichte.
Teil c
Die Dichte von Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur kann unter bestimmten Bedingungen näherungsweise durch die Funktion ϱ beschrieben werden:
\(\rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2}{\text{ mit }}0 < \rho \leqslant 10\)
T |
Temperatur in °C |
\(\rho \left( T \right)\) | |
a,b |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts S von ϱ ab.
S = ( | )
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch, dass der Scheitelpunkt ein Hochpunkt der Funktion ϱ ist.
[1 Punkt]
Es gilt: a = 999,972 und b = 0,007
Die Gleichung einer Tangente an den Graphen der Funktion ϱ lautet:
\(f\left( T \right) = 0,028 \cdot T + d\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Parameter d.
[1 Punkt]
Jemand verwendet zur Berechnung der Dichte von Wasser bei 10 °C die obige Funktion ϱ mit den Parametern a = 999,972 und b = 0,007. Die Dichte von Wasser bei 10 °C beträgt jedoch laut einer Tabelle 999,700 kg/m3.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Betrag des absoluten Fehlers bei Verwendung der Funktion ϱ anstelle des Tabellenwerts.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4469
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Speerwurf - Aufgabe A_303
Teil b
Ein Teil des Graphen der Funktion f beschreibt die Flugbahn der Speerspitze bei einem bestimmten Wurf.
\(f\left( x \right) = - 0,01 \cdot {x^2} + 0,7 \cdot x + 1,8{\text{ mit }}x \geqslant 0\)
x |
horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt in m |
f(x) | Höhe über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt, in der die Speerspitze bei diesem Wurf auf dem Boden auftrifft.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4525
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Trinkwasser – Aufgabe A_311
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt eines Trinkbrunnens mit Wasserbecken schematisch dargestellt.
Illustration fehlt
Der Wasserstrahl kann vom Austritt im Punkt P bis zum Auftreffen auf das Wasserbecken näherungsweise durch den Graphen einer quadratischen Funktion f beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Skizzieren Sie den Graphen einer solchen Funktion f vom Austritt bis zum Auftreffen auf das Wasserbecken, wenn gilt: f′(10) = 0 und f″(10) < 0.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4575
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mit Pfeil und Bogen – Aufgabe A_323
Teil a
Für die Beschreibung der Flugbahn eines Pfeiles beim Bogenschießen wird die Bewegung der Pfeilspitze beobachtet. Die Flugbahn kann näherungsweise durch die quadratische Funktion f mit
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
beschrieben werden.
x | horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in m |
f(x) | Höhe der Pfeilspitze in der horizontalen Entfernung x in m |
Beim ersten Schuss beträgt der Steigungswinkel der Flugbahn im Abschusspunkt 45°.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Koeffizienten b.
[0 / 1 P.]
Beim zweiten Schuss befindet sich die Pfeilspitze beim Abschuss in einer Höhe von 2 m. Sie erreicht ihre maximale Höhe von 10 m in einer horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt von 20 m. Die Flugbahn beim zweiten Schuss kann ebenfalls durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie die Höhe H der Pfeilspitze bei einer horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt von 40 m an.
H = m
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem die Flugbahn beim zweiten Schuss im Intervall [0; 40] ein.
Abbildung fehlt
Aufgabe 5610
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tischplatte – Aufgabe B_554
Eine Tischlerei erhält die nachstehend abgebildete Skizze einer Tischplatte und erstellt dazu drei Entwürfe.
Illustration fehlt
Teil b
Im zweiten Entwurf wird die Begrenzungslinie der Tischplatte durch die Strecke c und den Graphen der quadratischen Funktion p modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
Illustration fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Markieren Sie in der obigen Abbildung eine Fläche, deren Inhalt durch den nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
\(\dfrac{c}{2} \cdot p \cdot \left( {\dfrac{c}{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{c}{2}} {p\left( x \right)} \,\,dx\)
[0 / 1 P.]
S = (35 | 30) ist der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion p.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie die nachstehende Funktionsgleichung von p durch Eintragen der fehlenden Zahlen und Rechenzeichen in die dafür vorgesehenen Kästchen.
\(p\left( x \right) = - \frac{6}{{245}} \cdot {\left( {x\boxed{}\boxed{}} \right)^2}\boxed{}\boxed{}\)
[0 / 1 P.]
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