Aufgabe 4303
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutkreislauf - Aufgabe A_227
Blut versorgt die Organe des menschlichen Körpers mit Sauerstoff. Das Herz pumpt das Blut in einem Kreislaufsystem durch den Körper.
Teil c
Betrachtet man den Querschnitt eines Blutgefäßes vereinfacht als Kreis, so lasst sich die Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Blutgefäßen näherungsweise durch die Funktion v beschreiben:
\(v\left( x \right) = {v_{\max }} \cdot \left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{{R^2}}}} \right){\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant R\)
- x ... Abstand von der Mitte des Blutgefäßes in Metern (m)
- v(x) ... Strömungsgeschwindigkeit des Blutes im Abstand x in m/s
- vmax ... maximale Geschwindigkeit des Blutes in Metern pro Sekunde (m/s) mit vmax > 0
- R ... Radius des Blutgefäßes in m
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion v in der nachstehenden Abbildung.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die gegebene Gleichung erinnert uns an die Gleichung einer Parabel vom Typ \(y = a \cdot {x^2}\) , wobei der Parameter a über die Form der Parabel entscheidet.
Wir setzen 2 markante Punkte in die gegebene Gleichung ein:
\(\eqalign{ & v\left( x \right) = {v_{\max }} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{R^2}}}} \right){\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant R \cr & v\left( {x = 0} \right) = {v_{\max }} \cdot \left( {1 - 0} \right) = {v_{\max }} \cr & v(x = R) = {v_{\max }} \cdot \left( {1 - 1} \right) = 0 \cr} \)
Wir kennen somit 2 Punkte (0, vmax) und (R, 0). An der Stelle ihres Maximums hat die Parabel eine horizontale Tangente.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen
(Graph einer nach unten offenen quadratischen Funktion mit den richtigen Funktionswerten an den Stellen 0 und R) (KB)