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  1. Maths2Mind
  2. abc-Formel

abc-Formel

Die abc Formel, auch große Lösungsformel genannt, dient zur Lösung von quadratischen Gleichungen, bei denen a, b bzw. c die Koeffizienten vom quadratischen, vom linearen und vom konstanten Glied sind. Jene quadratischen Gleichungen deren Diskriminante D negativ ist, lassen sich nur in den komplexen Zahlen lösen.

Hier findest du folgende Inhalte

1
Formeln
15
Aufgaben
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Quadratischen Gleichung mit einer Variablen

    In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört.


    Gleichung 2. Grades

    Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied

    \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)

    Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt, muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als zur 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbeiführen.

    • Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
    • Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
    • Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse

    Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel

    Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc-Formel. Die abc-Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“

    oder „große Lösungsformel“ genannt.

    \(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)

    Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x1 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x2 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.


    Quadratische Gleichung in Normalform

    Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied

    \({x^2} + px + q = 0\)


    Normierte quadratische Gleichung

    Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren

    \(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)


    Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel

    Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel, auch "kleine Lösungsformel" genannt.

    \(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)

     

    Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten: 

    \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)

     

    Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.


    Rein quadratische Gleichung

    Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.

    \(a \cdot {x^2} + c = 0\)


    Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung

    Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung

    \(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)


    Diskriminante

    In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.

    Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.

    1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse 
    2. Fall: D = 0
    à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse. \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
    3. Fall: D < 0
    à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.


    Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen
    Bild
    Allgemeine quadratische Gleichung

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.

    \(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)

    → Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.

    Rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung
    Normalform
    pq-Formel
    Konjugiert komplexe Lösungen
    Diskriminante gleich Null
    Diskriminante größer Null
    Diskriminante kleiner Null
    Normierte quadratischen Gleichung
    Diskriminante
    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
    Rechnerische Lösung einer rein quadratischen Gleichung
    Gleichung zweiten Grades
    Quadratisches Glied
    Lineares Glied
    Konstantes Glied
    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    abc-Formel
    Mitternachtsformel
    Gleichung der Parabel
    Allgemeine quadratische Gleichung
    Große Lösungsformel für quadratische Gleichungen
    Kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
    Satz von Vieta
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    Aufgabe 36

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \(2{x^2} + 4x + 10 = 0\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
    abc-Formel
    Diskriminante kleiner Null
    Konjugiert komplexe Lösungen
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    Aufgabe 37

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \(\dfrac{{2x - 9}}{{x - 1}} - \dfrac{{3x + 5}}{{x + 2}} = 3\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
    abc-Formel
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    Aufgabe 6016

    Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

    Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst


    Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion

    Gegeben ist die Gleichung

    \(\left( {4x - 3} \right) \cdot \ln \left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)

    1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

    Bestimmen Sie für \(x \in {\Bbb R}\) Lösungen der Gleichung

    kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern 2015 - Teil A - Analysis
    abc-Formel
    Logarithmus
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    Aufgabe 77

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    \(2{x^2} + bx + 18 = 0\)

    Für welche b in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    abc-Formel
    Lineares Glied
    Diskriminante gleich Null
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    Aufgabe 78

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    \(4{x^2} - 12x + c = 0\)

    Für welche c in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    abc-Formel
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    Diskriminante gleich Null
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    Aufgabe 79

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \(- 4{x^2} - 28x = 48\)

    1. Teilaufgabe: Verwende die a-b-c Lösungsformel
    2. Teilaufgabe: Verwende die p-q Formel

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    abc-Formel
    pq-Formel
    Diskriminante größer Null
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    Aufgabe 4129

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
    Quelle: BHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-A Aufgabe
    Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Kugelstoßen - Aufgabe A_268

    Teil c

    Kugelstoßen ist eine Disziplin bei den Olympischen Sommerspielen. Eine Metallkugel muss so weit wie möglich aus einem Kreis in einen vorgegebenen Aufschlagbereich gestoßen werden. Die Bahnkurve einer gestoßenen Kugel lässt sich näherungsweise durch den Graphen der quadratischen Funktion h beschreiben:
    \(h\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 0,75 \cdot x + 2{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

    mit
    x ... horizontale Entfernung der Kugel von der Abstoßstelle in m
    h(x) ... Höhe der Kugel über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m

    1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
    Geben Sie an, in welcher Höhe die Kugel abgestoßen wird.
    [1 Punkt]


    2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
    Ermitteln Sie, in welcher horizontalen Entfernung von der Abstoßstelle die Kugel auf dem Boden aufschlägt.
    [1 Punkt]

    Kugelstoßen - Aufgabe A_268
    abc-Formel
    Funktionswerte
    Polynomfunktion
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.1
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.4
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    Aufgabe 1540

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Quadratische Gleichung

    Gegeben ist die Gleichung \(a \cdot {x^2} + 10 \cdot x + 25 = 0{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0\)


    Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
    Bestimmen Sie jene(n) Wert(e) von a, für welche(n) die Gleichung genau eine reelle Lösung hat!
    a=

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 2.3
    Diskriminante gleich Null
    abc-Formel
    Quadratische Gleichung - 1540. Aufgabe 1_540
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    Lösungsweg

    Aufgabe 1555

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Negative Funktionswerte

    Gegeben ist die Gleichung einer reellen Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6\). Einen Funktionswert f(x) nennt man negativ, wenn f(x) < 0 gilt.


    Aufgabenstellung:
    Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, deren zugehöriger Funktionswert f(x) negativ ist!

    Negative Funktionswerte - 1555. Aufgabe 1_555
    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 4.3
    Anzahl an Nullstellen
    abc-Formel
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    Aufgabe 242

    Parameter einer quadratischen Funktion

    In einem Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion dargestellt.
    Es gilt: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) mit b=0 und \({\text{a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\)


    Aufgabenstellung:
    Ermittle die Werte der Parameter a und c. Die dafür erforderlichen Punkte - wähle solche mit ganzzahligen Koordinaten - sind im Koordinatensystem abzulesen.

    Funktion f Funktion f: f(x) = a x² + b x + c f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1" f(x)=0.5x^2+1 Text1 = "f(x)=0.5x^2+1"

    abc-Formel
    Quadratische Funktion
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    Lösungsweg
    PDF

    Aufgabe 1809

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Quadratische Gleichung

    Für \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ist die quadratische Gleichung \({\left( {a \cdot x + 7} \right)^2}{\text{ = 25 in }}x \in {\Bbb R}\) gegeben.


    Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
    Geben Sie alle \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) an, für die \(x = - 4\) eine Lösung der gegebenen quadratischen Gleichung ist.

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 2.3
    Quadratische Gleichung - 1809. Aufgabe 1_809
    abc-Formel
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    Lösungsweg

    Aufgabe 4121

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
    Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Würfel - Aufgabe B_115

    Teil b

    Mit Würfeln wird eine Treppe gebaut:

    Bild
    beispiel_4121_1

     

    Das obige Bauschema soll auf diese Art fortgesetzt werden.

    1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Erstellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz, mit dem man die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene berechnen kann.
    [1 Punkt]


    2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Bestimmen Sie, wie viele Würfel in der 7. Ebene liegen.
    [1 Punkt]


    Die Anzahl sn der Würfel, die für eine solche Treppe aus n Ebenen insgesamt benötigt wird, kann mithilfe der folgenden Formel bestimmt werden:
    \({s_n} = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right)\)

    3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Berechnen Sie, aus wie vielen Ebenen eine solche Treppe besteht, wenn man insgesamt 360 Würfel verbaut.
    [1 Punkt]

    Würfel - B_115
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    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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