Aufgabe 4405

1. Teilaufgabe:

Der Scheitelpunkt ist der höchste / tiefste bzw. der am weitesten links / rechts liegende Punkt einer Parabel.

1. Variante:
Zur Berechnung vom Extremwert bilden wir die 1. Ableitung und setzen diese dann Null.
\(\eqalign{ & \rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2} \cr & \rho '\left( T \right) = - b \cdot 2 \cdot \left( {T - 4} \right) \cr & - 2 \cdot b \cdot T + 8 \cdot b = 0 \cr & 2 \cdot b \cdot T = 8 \cdot b \to T = \dfrac{{8 \cdot b}}{{2 \cdot b}} = 4 \cr & \rho \left( {T = 4} \right) = a - b \cdot {\left( {4 - 4} \right)^2} = a \cr & S\left( {4\left| a \right.} \right) \cr} \)

2.Variante:
Kennt man die Scheitelpunktform der Parabel
\(y = {\left( {x + d} \right)^2} + e\)
So kann man den Scheitelpunkt daraus direkt ableiten zu:
\(S = \left( {d\left| e \right.} \right)\)

Wir machen uns obige Zusammenhänge zu Nutzen und erhalten nach Umformung:
\(\eqalign{ & \rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2} \cr & \rho \left( T \right) = - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2} + a \to S = \left( {4\left| a \right.} \right) \cr} \)

2. Teilaufgabe:

Der Hochpunkt einer Funktion liegt vor, wenn \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) ist. Das überprüfen wir wie folgt:
 \(\eqalign{ & \rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2} \cr & \rho '\left( T \right) = - b \cdot 2 \cdot \left( {T - 4} \right) \cr & \rho ''\left( T \right) = - 2 \cdot b \cr & b > 0 \to \rho ''\left( T \right) < 0 \to {\text{Hochpunkt}} \cr} \)

→ Es liegt ein Hochpunkt vor, da die 2. Ableitung von ϱ negativ ist.

3. Teilaufgabe:

Die Steigung der Tangente können wir direkt aus der Tangentengleichung zu k=0,028 ablesen. Am Berührpunkt muss die 1. Ableitung der Parabel dieselbe Steigung haben:
\(\eqalign{ & \rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2} \cr & \rho '\left( T \right) = - b \cdot 2 \cdot \left( {T - 4} \right) \cr & \rho '\left( T \right) = - 0,014 \cdot \left( {T - 4} \right) \cr & \cr & f\left( T \right) = 0,028 \cdot T + d \to k = \rho '\left( T \right) = 0,028 \cr & - 0,014 \cdot \left( {T - 4} \right) = 0,028 \cr & - 0.014T + 0.056 = 0.028 \cr & T = \dfrac{{0,028 - 0,056}}{{ - 0,014}} = 2 \cr} \)

Im Berührpunkt muss also T=2 gelten und nachdem der Berührpunkt sowohl auf der Parabel als auch auf der Tangente liegt, kann man für T=2 die beiden Gleichungen gleichsetzen und somit die letzte Unbekannte d berechnen:
\(\eqalign{ & \rho \left( {T = 2} \right) = f\left( {T = 2} \right) \cr & 999,972 - 0,007{\left( {2 - 4} \right)^2} = 0,028 \cdot 2 + d \cr & d = 999,972 - 0,028 - 0,056 \cr & d = 999,888 \cr} \)

4. Teilaufgabe:

Wie bilden die Differenz aus dem berechneten Wert und dem Tabellenwert wie folgt:
\(\eqalign{ & \rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2} \cr & \cr & \rho \left( {T = 10} \right) = 999,972 - 0,007 \cdot {\left( {10 - 4} \right)^2} = \cr & = 999,972 - 0,252 = 999,72 \cr & \cr & \Delta \rho = \left| {999,72 - 999,7} \right| = 0,02\dfrac{{kg}}{{{m^3}}} \cr} \)

→ Der Betrag des absoluten Fehlers beträgt 0,02 kg/m³

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