Erlösfunktion

Die Erlösfunktion, gibt den Erlös E (oft auch R für revenue) in Abhängigkeit von der abgesetzen Menge x bei fixiertem Verkaufspreis p an.

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Kosten- und Preistheorie

In der Kosten- und Preistheorie versucht man Kosten, Preise sowie Erlöse und Gewinne durch einfache mathematische Funktionen zu modellieren. Es handelt sich dabei um ein Teilgebiet der Mikroökonomie, welches die Preisbildung als Folge des Aufeinandertreffens von Angebot und Nachfrage auf verschiedenen Märkten untersucht.

Die wichtigsten Funktionen sind die

\(K\left( x \right) = {K_{fix}} + {K_{{\mathop{\rm var}} }}\left( x \right)\) Kostenfunktion, beschreibt die gesamten Kosten als Summe der Fixkosten und der variablen Kosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge
\(P\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\) Preisfunktion, beschreibt den erzielbaren Preis pro Stück
\(E\left( x \right) = P\left( x \right) \cdot x\) Erlösfunktion, beschreibt den Erlös pro Stück
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\) Gewinnfunktion, beschreibt den Gewinn als Differenz von Erlös und Gesamtkosten
Kosten- und Preistheorie
Preisfunktion
Erlösfunktion
Gewinnfunktion
Kostenfunktion

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Erlösfunktion

Die Erlösfunktion (auch Umsatz- bzw. Ertragsfunktion), gibt den Erlös E (oft auch R für revenue) in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge x an.

\(E\left( x \right) = p\left( x \right) \cdot x\)

In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis p(x) abhängig von der absetzbaren Menge x. Man kann daher ohne weiteres Wissen nichts über den Verlauf der Erlösfunktion aussagen. Aber eines gilt immer: Wenn man nichts produziert, kann man auch nichts verkaufen und somit nichts erlösen. Dh alle Erlösfunktionen müssen bei x=0 Null sein, also E(0)=0

Illustration von der Erlösfunktion und vom Grenzerlös

Ist die abgesetzte Menge null, dann ist auch der Erlös null. Bei geringer Angebotsmenge steigen die erzielbaren Preise und somit auch die Erlöse, bis bei weiter steigender Angebotsmenge zufolge eines Angebotsüberschusses die Preise und somit die Erlöse wieder zu sinken beginnen. Ist letztlich bei der Sättigungsmenge der erzielbare Preis null, so wird auch der Erlös ein zweites Mal zu null. Produziert man über die Sättigungsmenge hinaus, so wird der Erlös negativ.

Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon M, N, O Funktion E E(x) = Wenn(0 < x < 12, -1 / 5 x (x - 11)) Gerade i Gerade i: Tangente zu E bei x = x(M) Strecke o Strecke o: Strecke M, N Strecke m Strecke m: Strecke N, O Strecke n Strecke n: Strecke O, M Vektor u Vektor u: Vektor(M, N) Vektor u Vektor u: Vektor(M, N) Vektor v Vektor v: Vektor(M, P) Vektor v Vektor v: Vektor(M, P) Punkt M Punkt M: Punkt auf E Punkt M Punkt M: Punkt auf E Punkt N Punkt N: Punkt auf j Punkt N Punkt N: Punkt auf j Punkt O Punkt O: Schnittpunkt von i, k Punkt O Punkt O: Schnittpunkt von i, k Punkt P Punkt P: Schnittpunkt von l, xAchse Punkt P Punkt P: Schnittpunkt von l, xAchse $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” E(x) Text7 = “E(x)” x Text8 = “x” dx Text9 = “dx” x_0 Text10 = “x_0” x_0 Text10 = “x_0” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$”

Erlös bzw. Umsatz:

Der Erlös errechnet sich als Produkt vom Verkaufspreis mal der Anzahl der verkauften Mengeneinheiten.

Erlösfunktion bei vollständiger Konkurrenz

In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis abhängig von der absetzbaren Menge. In einem Polypol, wo viele Anbieter vielen Abnehmern gegenüber stehen, sodass niemand die Marktmacht hat, den Marktpreis wesentlich zu beeinflussen, ist der erzielbare Preis jedoch eine Konstante, also unabhängig von der absetzbaren Menge. Da bei vollständiger Konkurrenz der Marktpreis unbeeinflussbar ist, muss jeder Anbieter die von ihm angebotene Menge anpassen.

\(E\left( x \right) = R\left( x \right) = p \cdot x\)

Illustration von der Erlösfunktion und vom Grenzerlös bei vollständiger Konkurrenz, also bei konstantem weil mengenunabhängigem Preis

Bei konstantem Verkaufspreisen steigt der Erlös linear mit der abgesetzten Menge an. Der Grenzerlös, er ist die 1. Ableitung der linearen Erlösfunktion, ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand p.

Strahl f Strahl f: Strahl durch A, B Strahl h Strahl h: Strahl durch C, D $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” $E(x) = p \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p \cdot x $” E(x) Text7 = “E(x)” x Text8 = “x” $E'\left( x \right) = p$ Text1 = “$E'\left( x \right) = p$” $E'\left( x \right) = p$ Text1 = “$E'\left( x \right) = p$” $E'\left( x \right) = p$ Text1 = “$E'\left( x \right) = p$” $E'\left( x \right) = p$ Text1 = “$E'\left( x \right) = p$” $E'\left( x \right) = p$ Text1 = “$E'\left( x \right) = p$” $E'\left( x \right) = p$ Text1 = “$E'\left( x \right) = p$” $E'\left( x \right) = p$ Text1 = “$E'\left( x \right) = p$”

Die Erlösfunktion bei einem monopolistischen Anbieter

In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis abhängig von der absetzbaren Menge. In einem Monopol, wo ein einziger Anbieter den Preis und die angebotene Menge einseitig bestimmen kann, wird der Monopolist genau jene Menge anbieten, für die er den gewinnmaximalen Preis erzielt. Den Monopolisten bezeichnet man daher als "Mengenfixierer". Er gibt die angebotene Menge vor, somit ergibt sich der zugehörige Preis, den die Abnehmer bereit sind zu bezahlen.

\(E\left( x \right) = {p_N}\left( x \right) \cdot x\)

Grenzerlös

Der Grenzerlös ist der Erlöszuwachs, der aus dem Verkauf einer zusätzlichen marginal kleinen Mengeneinheit (dx) resultiert. Der Erlös ist dort maximal, wo der Grenzerlös null ist. An der Stelle wo der Grenzerlös null wird, liegt die optimale Produktionsmenge, bei welcher der maximale Ertrag erwirtschaftet wird.

\(E'\left( x \right) = \dfrac{{dE\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)

Beispiel: 

Gegeben ist die Umsatz- bzw. Erlösfunktion

\(E\left( x \right) = 540 \cdot x - {x^2}\)

Gesucht sind die optimale Produktionsmenge und der sich einstellende Preis und der zugehörige Gesamterlös!

\(\eqalign{
& E\left( x \right) = 540 \cdot x - {x^2} \cr
& 540 \cdot x - {x^2} = 0 \cr
& {x_1} = 0 \cr
& {x_2} = 540 \cr} \)

Die Erlösfunktion ist zwischen 0 und 540 Stück positiv. Bei 540 Stück liegt die Sättigungsmenge. Werden mehr Stück produziert, dann wird der Erlös negativ. Der Erlös ist dort maximal, wo der Grenzerlös E‘(x) null ist:

\(\eqalign{
& E'\left( x \right) = 540 - 2 \cdot x \cr
& E'\left( x \right) = 0 \cr
& 540 - 2 \cdot x = 0 \cr
& 540 = 2 \cdot x \cr
& x = \frac{{540}}{2} = 270 \cr} \)

Die optimale Produktionsenge beträgt 270 Stück. 

\(\eqalign{
& E(x = 270) = 540 \cdot 270 - {270^2} = 72.900 \cr
& p\left( x \right) = \frac{{E\left( x \right)}}{x} = \frac{{72.900}}{{270}} = 270 \cr} \)

Dabei ergibt sich Gesamterlös von 72.900 Geldeinheiten und ein Preis von 270 Geldeinheiten pro Stück

 

Wenn die Produktionseinschränkungen durch Ungleichungen gegeben sind, die den zulässigen Lösungsbereich umfassen, dann liegt die optimale Produktionsmenge im optimlaen Punkt und dieser liegt dort, wo die Gerade der Zielfunktion den zulässigen Lösungsbereich berührt.

Grenzerlös

Im Fall von einem Angebotsüberschuss sinken die Preise, sodass mit jedem zusätzlich verkauften Produkt der Grenzerlös abnimmt. Wird letztlich der Grenzerlös kleiner als die Kosten der Herstellung eines zusätzlichen Produkts, dann bewirkt der zusätzliche Verkauf keine Gewinnsteigerung mehr, sondern im Gegenteil einen Verlust.

Illustration vom maximalen Ertrag

Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon M, N, O Funktion E E(x) = Wenn(0 < x < 12, -1 / 5 x (x - 11)) Funktion p' Funktion p': Ableitung von p Gerade i Gerade i: Tangente zu E bei x = x(M) Strecke o Strecke o: Strecke M, N Strecke m Strecke m: Strecke N, O Strecke n Strecke n: Strecke O, M Vektor u Vektor u: Vektor(M, N) Vektor u Vektor u: Vektor(M, N) Vektor v Vektor v: Vektor(M, P) Vektor v Vektor v: Vektor(M, P) Vektor w Vektor w: Vektor(Q, R) Vektor w Vektor w: Vektor(Q, R) Vektor a Vektor a: Vektor(T, S) Vektor a Vektor a: Vektor(T, S) Punkt M Punkt M: Punkt auf E Punkt M Punkt M: Punkt auf E Punkt N Punkt N: Punkt auf j Punkt N Punkt N: Punkt auf j Punkt O Punkt O: Schnittpunkt von i, k Punkt O Punkt O: Schnittpunkt von i, k Punkt P Punkt P: Schnittpunkt von l, xAchse Punkt P Punkt P: Schnittpunkt von l, xAchse Punkt Q Punkt Q: Schnittpunkt von p', xAchse Punkt Q Punkt Q: Schnittpunkt von p', xAchse Punkt R Punkt R: Schnittpunkt von E, q mit Startwert (5.5, 6.05) Punkt R Punkt R: Schnittpunkt von E, q mit Startwert (5.5, 6.05) $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” $E(x) = p(x) \cdot x $ Text2 = “$E(x) = p(x) \cdot x $” E(x) Text7 = “E(x)” x Text8 = “x” dx Text9 = “dx” x_0 Text10 = “x_0” x_0 Text10 = “x_0” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” $k = E'\left( {{x_0}} \right)$ Text11 = “$k = E'\left( {{x_0}} \right)$” E'(x) Text12 = “E'(x)” E_m_a_x Text13 = “E_m_a_x” E_m_a_x Text13 = “E_m_a_x” E_m_a_x Text13 = “E_m_a_x” E_m_a_x Text13 = “E_m_a_x” x_o_p_t Text14 = “x_o_p_t” x_o_p_t Text14 = “x_o_p_t” x_o_p_t Text14 = “x_o_p_t” x_o_p_t Text14 = “x_o_p_t”

Erlösfunktion
Erlös
Umsatz
Grenzerlös
Maximaler Ertrag
Optimale Produktionsmenge
Wissenspfad

Gewinnfunktion

Der Gewinn ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten. Der Gewinn ist bei kleinen Stückzahlen zunächst negativ, wird beim Erreichen der Gewinnschwelle positiv und wird bei einer großen Stückzahl ab der Gewinngrenze wieder negativ.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)

Grenzgewinn

Der Grenzgewinn ist jener Gewinn, der für eine zusätzliche, marginal kleine (dx), abgesetzte Produktmenge erzielt werden kann.

\(G'\left( x \right) = \dfrac{{dG\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)

Break-Even-Point, Gewinnschwelle

Als Break-Even-Point, auch Gewinnschwelle genannt, bezeichnet man jenen Punkt an dem Kosten und Erträge gleich hoch sind. Erzielt ein Unternehmen einen höheren Ertrag liegt es in der Gewinnzone, bei einem niedrigeren Ertrag macht es Verluste.

\(\eqalign{ & G\left( x \right) = 0 \cr & E\left( x \right) = K\left( x \right) \cr} \)

 

Den Break-Even-Point ermittelt man, in dem man:

  • die 1. Nullstelle der Gewinnfunktion ermittelt.
  • als den  1. Schnittpunkt aus Erlös- und Kostenfunktion

 

Zur Ermittlung vom Break-Even-Point muss man

  • die Fixkosten, die variablen Kosten und den Deckungsbeitrag kennen. Dividiert man die Fixkosten durch den Deckungsbeitrag erhält man die Mindestumsatzmenge.
    \(\eqalign{ & x \cdot p = x \cdot {K_v} + {K_f} \cr & x = \dfrac{{{K_f}}}{{p - {K_v}}} = \dfrac{{{K_f}}}{{DB}} \cr} \)

Gewinnzone

Die Gewinnzone erhält man, wenn man G(x)=0 setzt.

  • 1. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinnschwelle bzw. Break-Even-Point: Erstmals wird ein positiver Gewinn wird erzielt, sobald der Erlös die Gesamtkosten übersteigt. Die Gewinnschwelle liegt im 1. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion
  • Hochpunkt der Gewinnfunktion: Gewinnmaximum Gmax: Das Gewinnmaximum wird bei jener Produktionsmenge erreicht, bei der der Hochpunkt der Gewinnfunktion liegt. Mathematisch ist das jene Stelle an der die 1. Ableitung der Gewinnfunktion ihre Nullstelle hat.
  • 2. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinngrenze : Bei großen Produktionsmengen steigen die Kosten überproportional an und übertreffen die Erlöse, wodurch aus dem Gewinn ein Verlust wird. Dies ist bedingt durch den s-förmigen Verlauf der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Die Gewinngrenze liegt im 2. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.
Illustration der Gewinnzone

Funktion G G(x) = Wenn(0 < x < 11, -1 / 9 (x - 1.42) (x - 8.42) - 0.16) Funktion E E(x) = Wenn(0 < x < 12, -1 / 5 x (x - 11)) Funktion K K(x) = Wenn(0 < x < 10, 1 / 42 (x - 5)³ + 4) Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke C, D Strecke h Strecke h: Strecke F, H Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von G, f mit Startwert (1.66, 0.02) Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von G, f mit Startwert (1.66, 0.02) Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von G, h mit Startwert (4.8, 1.2) Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von G, h mit Startwert (4.8, 1.2) Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von G, g mit Startwert (8.16, 0.04) Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von G, g mit Startwert (8.16, 0.04) $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$ Text1 = “$K(x) = {K_{Fix}} + {K_v}\left( x \right)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” $E(x) = x \cdot p(x)$ Text2 = “$E(x) = x \cdot p(x)$” G(x) = E(x) - K(x) Text3 = “G(x) = E(x) - K(x)” Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST Text4 = “Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST” Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST Text4 = “Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST” Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST Text4 = “Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST” G_m_a_x Text5 = “G_m_a_x” G_m_a_x Text5 = “G_m_a_x” G_m_a_x Text5 = “G_m_a_x” G_m_a_x Text5 = “G_m_a_x” Gewinngrenze obere NST Text6 = “Gewinngrenze obere NST” Gewinngrenze obere NST Text6 = “Gewinngrenze obere NST” x Text7 = “x”

Cournot’scher Punkt

Der Cournot’sche Punkt ist jener Punkt auf der Gewinn-Funktion bei dem sich das Gewinnmaximum befindet. Die Gewinnfunktion ergibt sich als die Differenz von der Erlös- und der Kostenfunktion
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)

Man bestimmt daher die Nullstelle der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.

  • x-Koordinate: Jene Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt
  • y-Koordinate: Preis bei gewinnmaximaler Produktionsmenge

Anmerkung: Ein Unternehmen im Wettbewerb hat auf den Preis keinen Einfluss, es muss den Gleichgewichtspreis (Angebot und Nachfrage) als gegeben akzeptieren. Für einen Monopolisten ist der Cournot'sche Punkt jene Preis-Mengen Kombination für die der Gewinn maximal ist.

Gewinnmaximum eines Monopolisten

Der Gewinn eines Monopolisten hat bei einer linearen Preis-Absatzfunktion dann sein Maximum, wenn er die halbe Sättigungsmenge zum halben Prohibitivpreis anbietet.

\(C\left( {\dfrac{{{x_C}}}{{p\left( {{x_C}} \right)}}} \right){\text{ sodass }}G\left( x \right) = \max \)

Im Cournot’schen Punkt sind Grenzkosten und Grenzerlöse gleich.

\(K'\left( x \right) = E'\left( x \right)\)

Gewinnfunktion
Erlösfunktion
Kostenfunktion
Gewinnschwelle
Gewinnmaximum
Gewinngrenze
Grenzgewinn
Break-even-Point
Mindestumsatzmenge
Cournotscher Punkt
Gewinnmaximum eines Monopolisten
Aufgaben
Lösungsweg

Aufgabe 1535

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Schnittpunkt

Die Funktion E gibt den Erlös E(x) und die Funktion K die Kosten K(x) jeweils in Euro bezogen auf die Produktionsmenge x an. Die Produktionsmenge x wird in Mengeneinheiten (ME) angegeben. Im folgenden Koordinatensystem sind die Graphen beider Funktionen dargestellt:

Funktion f f: y = 2x³ - 1 Funktion g g(x) = 5x³ - 2 f Text1 = “f” g Text2 = “g”

Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die beiden Koordinaten des Schnittpunkts S der beiden Funktionsgraphen im gegebenen Zusammenhang!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 1.6
Erlösfunktion
Kostenfunktion
Schnittpunkt - 1535. Aufgabe 1_535
Break-even-Point

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Lösungsweg

Aufgabe 1486

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kosten, Erlös und Gewinn

Die Funktion E beschreibt den Erlös (in €) beim Absatz von x Mengeneinheiten eines Produkts. Die Funktion G beschreibt den dabei erzielten Gewinn in €. Dieser ist definiert als Differenz „Erlös – Kosten“.

Funktion f f(x) = Wenn[0 < x < 10, -1 / 18 (x - 1) (x - 9)] Funktion g g(x) = Wenn[0 < x < 10, -1 / 18 x (x - 20)] E(x), G(x), K(x) text1 = "E(x), G(x), K(x)" E text4 = "E" G text5 = "G" x Text1 = "x"

Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die nachstehende Abbildung durch den Graphen der zugehörigen Kostenfunktion K! Nehmen Sie dabei K als linear an! (Die Lösung der Aufgabe beruht auf der Annahme, dass alle produzierten Mengeneinheiten des Produkts verkauft werden.)

Kostenfunktion
Erlösfunktion
Gewinnfunktion
Kosten, Erlös und Gewinn - 1486. Aufgabe1_486
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 1.7
Lösungsweg

Aufgabe 1248

AHS - 1_248 & Lehrstoff: FA 1.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kosten- und Erlösfunktion
Die Herstellungskosten eines Produkts können annähernd durch eine lineare Funktion K mit \(K\left( x \right) = 392 + 30x\) beschrieben werden. Beim Verkauf dieses Produkts wird ein Erlös erzielt, der annähernd durch die quadratische Funktion E mit \(E\left( x \right) = - 2 \cdot {x^2} + 100x\) angegeben werden kann. x gibt die Anzahl der produzierten und verkauften Einheiten des Produkts an.

Aufgabenstellung
Ermitteln Sie die x-Koordinaten der Schnittpunkte dieser Funktionsgraphen und interpretieren Sie diese im gegebenen Zusammenhang!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 1.6
Kostenfunktion
Erlösfunktion
Kosten- und Erlösfunktion - 1248. Aufgabe1_248
Lösungsweg

Aufgabe 1860

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Trikots

Ein Unternehmen produziert und verkauft Trikots. Die lineare Funktion K beschreibt die Kosten K(x) in Euro in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl x. Die lineare Funktion E beschreibt den Erlös E(x) in Euro in Abhängigkeit von der verkauften Stückzahl x.

In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Funktion K und der Graph der Funktion E dargestellt.

Illustration Trikots - AHS Matura 1_860

 

Der Schnittpunkt von K und E hat die Koordinaten (200 | 12 000) und es gilt: K(0) = 6 000.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]

[0 / 1 P.]

  • Aussage 1: Der Verkaufspreis eines Trikots beträgt € 60.
  • Aussage 2: Die Produktion eines Trikots kostet € 25.
  • Aussage 3: Wenn das Unternehmen 400 Trikots produziert und verkauft, wird ein Gewinn von € 6.000 erzielt.
  • Aussage 4: Bei der Produktion fallen keine Fixkosten an.
  • Aussage 5: Wenn das Unternehmen weniger als 200 Trikots produziert und verkauft, wird ein Gewinn erzielt.
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 1.4
Trikots - 1860. Aufgabe 1_860
Kostenfunktion
Erlösfunktion
Gewinnfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1861

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Erlösfunktion

Für ein bestimmtes Produkt kann der Zusammenhang zwischen der nachgefragten Menge x und dem Nachfragepreis p(x) durch die nachstehend dargestellte lineare Funktion p modelliert werden.

  • x ... nachgefragte Menge in Mengeneinheiten (ME), 0 ≤ x ≤ 12
  • p(x) ... Nachfragepreis bei der Menge x in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)
Illustration Erlösfunktion - AHS Matura 1_861

 

Für die Erlösfunktion E gilt: E(x) = p(x) ∙ x.

Aufgabenstellung:

Stellen Sie eine Funktionsgleichung von E auf.

E(x) =

[0 / 1 P.]

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 1.7
Erlösfunktion - 1861. Aufgabe 1_861
Preisfunktion der Nachfrage
Erlösfunktion

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Lösungsweg

Aufgabe 4105

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Rohrproduktion - Aufgabe B_089

Teil a

Ein Unternehmen stellt Kunststoffrohre her, die zu einem fixen Preis verkauft werden. Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Kostenfunktion K für die Herstellung der Kunststoffrohre dargestellt.

beispiel_4105_1

 

Der Break-even-Point liegt bei einer Produktion von 8 ME. Die Kosten betragen dabei 400 GE.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie den Graphen der Erlösfunktion E im obigen Diagramm ein.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den zugehörigen Marktpreis.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie in der nachstehenden Wertetabelle die fehlenden Werte für die zugehörige Gewinnfunktion G.
[1 Punkt]

x in ME 0 8 16
G(x) in GE0   0  

 

Rohrproduktion - Aufgabe B_089
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Erlösfunktion
Break-even-Point
Preisfunktion
Gewinnfunktion
Kosten- und Preistheorie
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Lösungsweg

Aufgabe 4392

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Blumentopf - Aufgabe B_474

Teil c

Der Erlös aus dem Verkauf von Blumentöpfen kann durch die Funktion E beschrieben werden:
\(E\left( x \right) = 20 \cdot x - 0,12 \cdot {x^2}\)

x

Verkaufsmenge in ME
E(x)

Erlös bei der Verkaufsmenge x in GE

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie das größtmögliche Intervall für x, in dem der Erlös mindestens 100 GE betragt.

[1 Punkt]

Blumentopf - Aufgabe - B_474
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
abc-Formel
Erlösfunktion
Quadratische Funktion
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Lösungsweg

Aufgabe 4420

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil c

Der Erlös beim Verkauf des Fruchtsafts Mangomix kann durch eine quadratische Funktion E beschrieben werden:

\(E\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

x
  • Absatzmenge in hl
E(x)
  • Erlös bei der Absatzmenge x in €

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

[Lückentext] [1 Punkt]

Der Koeffizient a muss ____1____ sein, weil der Graph von E ____2____ .

 

  • Satzteil 1.1: positiv
  • Satzteil 1.2: negativ
  • Satzteil 1.3: gleich null

 

  • Satzteil 2.1: durch den Ursprung geht
  • Satzteil 2.2: keinen Wendepunkt hat
  • Satzteil 2.3: nach unten geöffnet ist

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Weisen Sie nach, dass der maximale Erlös bei der Absatzmenge

\({x_0} = - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\)

erzielt wird.
[1 Punkt]

Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483
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Erlös
Erlösfunktion
Kosten- und Preistheorie
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Lösungsweg

Aufgabe 4452

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
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Möbel - Aufgabe B_513

Teil a

Im Folgenden sind die Graphen von 5 Funktionen dargestellt. Nur einer dieser Graphen kann der Graph einer Erlösfunktion sein.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie den zutreffenden Graphen an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

  • Graph 1:

    Illustration Möbel - BHS Matura B_513

     

  • Graph 2:
    Illustration Möbel - BHS Matura B_513

     

  • Graph 3:
    Illustration Möbel - BHS Matura B_513

     

  • Graph 4:
    Illustration Möbel - BHS Matura B_513

     

  • Graph 5: 
    Illustration Möbel - BHS Matura B_513
Möbel - Aufgabe B_513
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Erlösfunktion
Kosten- und Preistheorie
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Aufgabe 4456

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Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
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Porzellan - Aufgabe B_514

Ein Betrieb stellt Tassen und Vasen aus Porzellan her.

Teil b

Die Produktionseinschränkungen am Standort B des Betriebs sind in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Illustration Porzellan - BHS Matura B_514

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Vervollständigen Sie die nachstehende Gleichung der Geraden e durch Eintragen der fehlenden Zahlen.

\(y = \boxed{} \cdot x + \boxed{}\)

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die entsprechende Gerade zu.

[0 / 1 P.]

  • Aussage 1: Eine Gleichung der Geraden ist gegeben durch: \( - x + 15 \cdot y = 700\)
  • Aussage 2: Die zugehörige Ungleichung beschreibt die Mindestproduktionsmenge für eines der beiden Produkte.

 

  • Gerade a
  • Gerade b
  • Gerade c
  • Gerade d

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Der Verkaufspreis für eine Tasse beträgt € 8, jener für eine Vase € 12. Der Erlös soll maximiert werden. Stellen Sie eine Gleichung der Zielfunktion E für den Erlös auf.

E(x, y) =

[0 / 1 P.]

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die optimalen Produktionsmengen für den Standort B.

[0 / 1 P.]

Porzellan - Aufgabe B_514
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2021 - kostenlos vorgerechnet
Optimale Produktionsmenge
Systeme linearer Ungleichungen mit 2 Variablen
Erlösfunktion
Lineare Optimierung
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W1_2.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W1_2.1
Lösungsweg

Aufgabe 4509

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Scheiben für PKWs - Aufgabe B_527

Ein Betrieb stellt Frontscheiben und Heckscheiben für PKWs her.

Teil a

In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Kostenfunktion K und der Graph der quadratischen Erlösfunktion E für Frontscheiben eines bestimmten Typs dargestellt.

Illustration Scheiben für PKWs - BHS Matura B_527

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der quadratischen Erlösfunktion E auf.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Preisfunktion der Nachfrage auf.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Gewinnzone ab.

[ ; ]

[0 / 1 P.]

Scheiben fuer PKWs - Aufgabe B_527
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Erlösfunktion
Preisfunktion der Nachfrage
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