Differenzialrechnung
Hier findest du folgende Inhalte
Aufgaben
Aufgabe 4342
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutdruck - Aufgabe B_448
Teil a
Durch die Einnahme eines Medikaments zur Regulierung des Blutdrucks gelangen Wirkstoffe ins Blut. Die Wirkstoffmenge im Blut kann näherungsweise durch eine Funktion m beschrieben werden, deren 1. Ableitung bekannt ist:
\(m'\left( t \right) = 1,2 \cdot {e^{ - 0,04 \cdot t}} - 0,1{\text{ mit t}} \geqslant {\text{0}}\)
t | Zeit in min |
m'(t) |
momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut zur Zeit t in mg/min |
Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Wirkstoffmenge im Blut 10 mg.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion m.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Wirkstoff vollständig abgebaut ist.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4394
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
W-LAN - Aufgabe B_475
In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.
Teil b
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion d.
\(d\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)
x | Entfernung in m |
d(x) |
|
Sie ermittelt folgende Messwerte:
Entfernung in m | 5 | 50 |
Datenübertragungsrate in Mbit/s | 500 | 10 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Parameter a und c der Exponentialfunktion d.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die auf diese Exponentialfunktion d nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
- Aussage 1: Die Funktionswerte der 1. Ableitung der Funktion d sind negativ.
- Aussage 2: Die x-Achse ist für den Graphen der Funktion d eine Asymptote.
- Aussage 3: Wird der Änderungsfaktor a in der Form ek geschrieben, muss k positiv sein.
- Aussage 4: Die Funktion d hat an der Stelle x = 0 den Funktionswert c.
- Aussage 5: Die Funktionswerte der 2. Ableitung der Funktion d sind positiv.
Aufgabe 4396
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
W-LAN - Aufgabe B_475
In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.
Teil d
In der nachstehenden Abbildung ist die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Zeit bei einem bestimmten Downloadvorgang dargestellt.
Dabei gilt:
\(f\left( t \right) = 15 - 12 \cdot {e^{ - 0,3 \cdot t}}{\text{ mit }}t \geqslant 0\)
t | Zeit in s |
f(t) |
Datenübertragungsrate zur Zeit t in Mbit/s |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass die Funktion f monoton steigend ist.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die gesamte Datenmenge in Mbit, die im Zeitintervall [0; 8] heruntergeladen wurde.
[1 Punkt]
Aufgabe 4400
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bitterfelder Bogen - Aufgabe B_477
Der Bitterfelder Bogen ist eine Stahlkonstruktion, die aus mehreren Bögen besteht. Ein aus Rampen bestehender Fußweg führt innerhalb der Bögen zu einer Aussichtsplattform.
Teil b
Der Verlauf des Bogens kann näherungsweise durch die Graphen der Funktionen f und g dargestellt werden. Die Graphen der beiden Funktionen sind zueinander symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse. (Siehe nachstehende Abbildung.)
Es gilt:
\(f\left( x \right) = 30 \cdot \left( {1 - {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}}} \right){\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 35\)
In einer Höhe von 21 m befindet sich die Aussichtsplattform.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Lange PQ.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Schnittwinkel α der Graphen der Funktionen f und g.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie das Ergebnis des nachstehenden Ausdrucks im gegebenen Sachzusammenhang.
\(2 \cdot \int\limits_0^{35} {\sqrt {1 + {{\left( { - \dfrac{{30}}{{13}} \cdot {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}}} \right)}^2}} } \,\,dx = 94,57\)
[1 Punkt]
Aufgabe 4405
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Limnologie - Aufgabe B_478
Die Limnologie erforscht wichtige Kenngrößen von stehenden Gewässern wie etwa Temperatur oder Dichte.
Teil c
Die Dichte von Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur kann unter bestimmten Bedingungen näherungsweise durch die Funktion ϱ beschrieben werden:
\(\rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2}{\text{ mit }}0 < \rho \leqslant 10\)
T |
Temperatur in °C |
\(\rho \left( T \right)\) | |
a,b |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts S von ϱ ab.
S = ( | )
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch, dass der Scheitelpunkt ein Hochpunkt der Funktion ϱ ist.
[1 Punkt]
Es gilt: a = 999,972 und b = 0,007
Die Gleichung einer Tangente an den Graphen der Funktion ϱ lautet:
\(f\left( T \right) = 0,028 \cdot T + d\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Parameter d.
[1 Punkt]
Jemand verwendet zur Berechnung der Dichte von Wasser bei 10 °C die obige Funktion ϱ mit den Parametern a = 999,972 und b = 0,007. Die Dichte von Wasser bei 10 °C beträgt jedoch laut einer Tabelle 999,700 kg/m3.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Betrag des absoluten Fehlers bei Verwendung der Funktion ϱ anstelle des Tabellenwerts.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4410
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stand-up-Paddling - Aufgabe B_480
Stand-up-Paddling ist eine Wassersportart, bei der eine Person aufrecht auf einem Board steht und paddelt.
Teil a
In der nachstehenden Abbildung ist der Umriss des hinteren Teils eines Boards von oben betrachtet dargestellt. Die Begrenzungslinie kann näherungsweise durch eine Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c\) beschrieben werden.
x, f(x) |
Koordinaten in cm |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A und B ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.
[2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
[1 Punkt]
Aufgabe 4429
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gewächshäuser - Aufgabe B_505
Teil a
Auf der Insel Mainau steht ein besonderes Gewächshaus. Die nachstehende Abbildung zeigt die Vorderseite des Gewächshauses in einem Koordinatensystem. Die Vorderseite ist dabei symmetrisch zur y-Achse.
Der Graph der Funktion g ergibt sich durch Verschiebung des Graphen der Funktion f um 7,5 m nach rechts und 5,8 m nach unten.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die fehlenden Rechenzeichen und Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[0 / 1 P.]
\(g\left( x \right) = f\left( {x\fbox{}\,\,\boxed{}} \right)\,\,\boxed{}\,\,\boxed{}\)
Die Funktion f ist gegeben durch:
\(f\left( x \right) = \dfrac{{87}}{5} - \dfrac{{116}}{{1125}} \cdot {x^2}{\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 7,5\)
x, f(x) |
Koordinaten in m |
An der Stelle x = 7,5 schließt die Tangente an den Graphen von f mit der horizontalen Tangente an den Graphen von g den stumpfen Winkel α ein (siehe obige Abbildung).
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Winkel α.
[0 / 1 P.]
Die in der obigen Abbildung eingezeichneten Graphen der Funktionen f, g und h haben jeweils die gleiche Lange.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Umfang der von der dargestellten Kontur (=äußere Linie eines Körpers) begrenzten Fläche.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4438
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking - Aufgabe B_508
Teil a
Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Usain Bolt im Finale des 100-Meter-Laufes der Männer. Die Silbermedaille ging an Richard Thompson. Die jeweilige Geschwindigkeit der beiden Läufer bei diesem Lauf kann durch die nachstehenden Funktionen modellhaft beschrieben werden.
\(\begin{gathered} {v_B}\left( t \right) = 12,151 \cdot \left( {1 - {e^{ - 0,684 \cdot t}}} \right) \hfill \\ {v_T}\left( t \right) = 12,15 \cdot \left( {1 - {e^{ - 0,601 \cdot t}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \)
t |
Zeit ab dem Start in s |
vB(t) |
Geschwindigkeit von Usain Bolt zur Zeit t in m/s |
vT(t) |
Geschwindigkeit von Richard Thompson zur Zeit t in m/s |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Beschleunigung von Usain Bolt 1 s nach dem Start.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
\(\dfrac{1}{{8 - 5}} \cdot \int\limits_5^8 {{v_B}\left( t \right)} \,\,dt\)
Usain Bolt überquerte die Ziellinie 9,69 s nach dem Start.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, wie weit Richard Thompson von der Ziellinie entfernt war, als Usain Bolt diese überquerte.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4439
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking - Aufgabe B_508
Teil b
Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Tomasz Majewski im Kugelstoßfinale der Männer. Die Flugbahn der Kugel kann modellhaft durch den Graphen der Funktion h mit
\(h\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
beschrieben werden.
x, h(x) |
Koordinaten der Flugbahn in m |
An der Stelle x = 0 kann die Geschwindigkeit der Kugel durch den Geschwindigkeitsvektor \(\overrightarrow {{v_M}} \) beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die fehlenden Ausdrücke in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Verwenden Sie dabei den Winkel α.
\(\overrightarrow {{v_M}} = \left| {\overrightarrow {{v_M}} } \right| \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boxed{}} \\ {\boxed{}} \end{array}} \right)\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Weisen Sie nach, dass gilt:
tan(α) = b
[0 / 1 P.]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 4450
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Teil b
Die zeitliche Entwicklung des jährlichen globalen Rohstoffverbrauchs kann durch die streng monoton steigende lineare Funktion g oder durch die streng monoton steigende Exponentialfunktion h modelliert werden (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
[0 / 1 P.]
Für ____1____ von g und h gilt: ____2____ .
- Lücke 1_1: genau 1 Stelle
- Lücke 1_2: genau 2 Stellen
- Lücke 1_3: mehr als 2 Stellen
- Lücke 2_1: \(g\left( t \right) = h\left( t \right) = 0\)
- Lücke 2_2: \(g'\left( t \right) = h'\left( t \right)\)
- Lücke 3_3: \(g''\left( t \right) = h''\left( t \right)\)
Aufgabe 4451
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Teil c:
Die zeitliche Entwicklung des jährlichen globalen Rohstoffverbrauchs kann durch verschiedene Polynomfunktionen modelliert werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils den entsprechenden Funktionsgraphen aus
A bis D zu.
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Für alle t mit 2010 < t < 2050 gilt: f″(t) > 0
- Aussage 2: Für genau ein t mit 1970 < t < 2050 gilt: f′(t) = 0 und f″(t) < 0
- Graph A:
- Graph B:
- Graph C:
- Graph D:
Aufgabe 4470
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Speerwurf - Aufgabe A_303
Teil c
Die quadratische Funktion h beschreibt die Höhe der Speerspitze während eines bestimmten Wurfes in Abhängigkeit von der Zeit t (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils eine Fortsetzung aus A bis D so zu, dass zutreffende Aussagen entstehen.
[0 / 1 P.]
- Satzanfang 1: Die momentane Änderungsrate von h zur Zeit t ist negativ für
- Satzanfang 2: Die momentane Änderungsrate von h zur Zeit t ist null für
- Aussage A: \(t = 0\)
- Aussage B: \(t = {t_1}\)
- Aussage C: \(t < {t_1}\)
- Aussage D: \(t > {t_1}\)