Differenzialrechnung
Hier findest du folgende Inhalte
Aufgaben
Aufgabe 4591
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Grazbach – Aufgabe B_561
Der Kroisbach und der Leonhardbach sind Bäche in Graz, die nach ihrem Zusammenfluss den Grazbach bilden.
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist ein Abschnitt des Kanals des Grazbachs in einem Vermessungsplan modellhaft dargestellt.
Abbildung fehlt
Ein Vermesser modelliert die Begrenzungslinien des Kanals im Intervall [–150; 15] mit den Graphen der Funktionen f und g.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche auf.
A =
[0 / 1 P.]
Für die Polynomfunktion 4. Grades f gilt:
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2}\)
Der Graph von f hat den Tiefpunkt T = (–92,2 | –17,6) und schneidet die x-Achse an der Stelle x = –133,5.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.
[0 / 1 / 2 P.]
Die Funktion g ist ebenfalls eine Polynomfunktion 4. Grades.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die auf die Funktion g im Intervall [–150; 15] zutrifft.
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: g hat genau 2 Nullstellen.
- Aussage 2: g ändert genau 1-mal das Monotonieverhalten.
- Aussage 3: g hat nur negative Funktionswerte.
- Aussage 4: g hat genau 1 lokale Extremstelle.
- Aussage 5: g ändert genau 1-mal das Krümmungsverhalten.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 5603
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Distelsamen – Aufgabe B_552
Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.
Teil c
Ein Samen einer anderen Distelart fällt aus einer bestimmten Höhe senkrecht herab. Die Geschwindigkeit dieses Distelsamens kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion v modelliert werden. Die Funktion v ist streng monoton steigend und nähert sich asymptotisch dem Wert 5 cm/s. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen dieser Funktion v.
Abbildung fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: Die Beschleunigung des Distelsamens nähert sich dem Wert 0 cm/s2.
- Aussage 2: Die Beschleunigung des Distelsamens zur Zeit t = 0,5 s ist größer als zur Zeit t = 1 s.
- Aussage 3: Der Distelsamen legt im Zeitintervall [0 s; 0,5 s] rund 0,75 cm zurück.
- Aussage 4: Die zugehörige Beschleunigung-Zeit-Funktion ist streng monoton steigend.
- Aussage 5: Die mittlere Beschleunigung des Distelsamens im Zeitintervall [0 s; 0,5 s] betragt rund 6 cm/s2.
Aufgabe 5605
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ballonfahren – Aufgabe B_553
Teil a
Die nachstehende Abbildung zeigt die Seehöhe (Höhe über dem Meeresspiegel), in der sich ein Heißluftballon während einer bestimmten Fahrt befindet. Diese Seehöhe wird durch die Graphen der Funktionen h1 und h2 beschrieben.
Abbildung fehlt
Der Heißluftballon startet zur Zeit t = 0 in 240 m Seehöhe. Für die 1. Ableitung von h1 gilt:
\({h_1}^\prime \left( t \right) = 0,09 \cdot {t^2} - 7,2 \cdot t + 108\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion h1 auf.
[0 / 1 P.]
Nach 20 min befindet sich der Heißluftballon in 1 200 m Seehöhe und beginnt mit dem Sinkflug. Die Höhe während des Sinkflugs wird durch den Graphen der quadratischen Funktion h2 mit
\( {h_2}\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c\)
beschrieben. Nach 30 min landet der Heißluftballon mit einer Sinkgeschwindigkeit von 10 m/min auf 240 m Seehöhe.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.
[0 / 1 / 2 P. ]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5607
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ballonfahren – Aufgabe B_553
Teil b
Die Form eines bestimmten Heißluftballons entsteht durch Rotation der Graphen der Funktionen f1 und f2 um die x-Achse (siehe nachstehende Abbildung).
Abbildung fehlt
Für die Funktion f2 gilt:
\({f_2}\left( x \right) = \dfrac{5}{4} \cdot \sqrt { - {x^2} + 20,8 \cdot x - 50,4} \)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den maximalen Durchmesser D des Heißluftballons.
[0 / 1 P.]
Der Graph der Funktion f1 ist die Tangente an den Graphen der Funktion f2 im Punkt P.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f1 auf.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie das Volumen des Heißluftballons.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5611
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tischplatte – Aufgabe B_554
Eine Tischlerei erhält die nachstehend abgebildete Skizze einer Tischplatte und erstellt dazu drei Entwürfe.
Illustration fehlt
Teil c
Im dritten Entwurf wird die Tischplatte durch die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion q und der x-Achse modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
Illustration fehlt
mit:
\(q\left( x \right) = \dfrac{7}{2} \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{7} \cdot x} \right){\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 7\)
- x, q(x) ... Koordinaten in dm
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Inhalt A der grau markierten Fläche.
[0 / 1 P.]
Jemand ermittelt die Ableitungsfunktion q‘ und löst anschließend die nachstehende Gleichung.
\(0 = \dfrac{\pi }{2} \cdot \cos \left( {\dfrac{\pi }{7} \cdot {x_P}} \right){\text{ mit }}0 \leqslant {x_P} \leqslant 7\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Beschreiben Sie die Bedeutung des Punktes
\(P = \left( {{x_P}\left| {q\left( {{x_P}} \right)} \right.} \right)\)
[0 / 1 P.]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 5614
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sandfang einer Kläranlage – Aufgabe B_555
In einer Kläranlage strömt das Abwasser langsam durch den sogenannten Sandfang. Dabei sinken Sand und kleine Steine auf den Boden und können somit abgeschieden werden (siehe untenstehende Abbildung).
Illustration fehlt
Teil c
Die Sinkgeschwindigkeit eines Steinchens in einer Flüssigkeit kann modellhaft durch die nachstehende Differenzialgleichung beschrieben werden.
\(\dfrac{{dv}}{{dt}} = g - k \cdot v\)
- v(t) ≥ 0 ... Sinkgeschwindigkeit
- g, k ... positive Konstanten
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[0 / 1 P.]
Die Sinkgeschwindigkeit des Steinchens nähert sich dabei dem Wert vE.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie vE an.
vE =
[0 / 1 P.]
Die Eigenschaften der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v und der zugehörigen Beschleunigung-Zeit-Funktion a hängen unter anderem von der Anfangsbedingung ab.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Anfangsbedingungen jeweils die zutreffende Aussage aus A bis D
zu.
[0 / 1 P.]
- Anfangsbedingung 1: \(v\left( 0 \right) = 0\)
- Anfangsbedingung 2: \(v\left( 0 \right) = \dfrac{{2 \cdot g}}{k}\)
- Aussage A: v und a sind streng monoton steigend.
- Aussage B: v ist streng monoton steigend und a ist streng monoton fallend.
- Aussage C: v und a sind streng monoton fallend.
- Aussage D: v ist streng monoton fallend und a ist streng monoton steigend.
Aufgabe 5621
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinkgeschwindigkeit von Fässern – Aufgabe B_536
Über Jahre hinweg wurden Fässer mit Problemstoffen illegal im Meer versenkt.
Teil c
Von einem Schiff aus werden bestimmte Fässer über Bord geworfen. Diese sinken nach dem Eintauchen ins Wasser senkrecht nach unten. Die Sinkgeschwindigkeit dieser Fässer im Wasser lässt sich näherungsweise durch die Funktion v1 beschreiben.
\({v_1}\left( t \right) = 8 - 5 \cdot {e^{ - 0,25 \cdot t}}{\text{ mit }}t \geqslant 0\)
- t … Zeit nach dem Eintauchen ins Wasser in s
- v1(t) … Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Sinkgeschwindigkeit der Fässer beim Eintauchen ins Wasser.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Argumentieren Sie mathematisch, dass die Beschleunigung zum Zeitpunkt t0 = 0 s am größten ist.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, nach welcher Zeit ein solches Fass eine Wassertiefe von 100 m erreicht.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5633
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Thermometer – Aufgabe B_540
Ein digitales Thermometer wird zur Messung der Temperatur des Wassers in einem Becken verwendet. Ausgehend von einem Startwert nähert sich die angezeigte Temperatur der tatsächlichen Temperatur des Wassers an.
Teil a
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei einer bestimmten Messung kann durch die Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( t \right) = 38 - 6 \cdot {0,758^t}\)
- t … Zeit nach Beginn der Messung in s
- f(t) … angezeigte Temperatur zur Zeit t in °C
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie die Zahl 38 in der obigen Funktionsgleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
Sobald die momentane Änderungsrate der angezeigten Temperatur unter 0,01 °C/s sinkt, ertönt ein Piepton.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, wie viele Sekunden nach Beginn der Messung der Piepton ertönt.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5673
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Feinstaub – Aufgabe A_327
Feinstaub in der Atemluft stellt ein Gesundheitsrisiko dar.
Teil a
An einer Messstelle in Graz wurde an einem bestimmten Tag von 5:00 Uhr bis 13:00 Uhr die Feinstaubbelastung gemessen. Die Funktion f beschreibt näherungsweise die Feinstaubbelastung
in Abhängigkeit von der Zeit.
\(f\left( t \right) = - 1,4 \cdot {t^2} + 11 \cdot t + 47{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 8\)
- t ... Zeit in h mit t = 0 für 5:00 Uhr
- f(t) ... Feinstaubbelastung zur Zeit t in μg/m3
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
Es gilt:
\(\eqalign{
& {t_1} = 0{\text{h}} \cr
& {{\text{t}}_2} = 4{\text{h}} \cr
& \dfrac{{f\left( {{t_2}} \right) - f\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}} = 5,4 \cr} \)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie diejenige Uhrzeit, zu der f‘(t) =–10 gilt.
[0 / 1 P.]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 5678
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gartensauna – Aufgabe A_328
Teil c
In der unten stehenden Abbildung ist der Querschnitt einer Gartensauna dargestellt. Die obere Begrenzungslinie des Daches wird durch den Graphen der Funktion h beschrieben.
\(\eqalign{ & h\left( x \right) = - 0,0207 \cdot {x^4} + 0,265 \cdot {x^3} - 1,14 \cdot {x^2} + 1,8 \cdot x + 1,54 \cr & {\text{mit }}0 \leqslant x \leqslant 6,2 \cr} \)
- x ... horizontale Entfernung vom linken Dachrand in m
- h(x) ... Höhe über dem waagrechten Boden an der Stelle x in m
An der Stelle xp gilt:
\(h'\left( {{x_P}} \right) = 0{\text{ und }}h''\left( {{x_P}} \right) > 0\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Stelle xP.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5679
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenblumen – Aufgabe A_329
Teil a
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume lasst sich in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die zwei quadratischen Funktionen f und g beschreiben. Die Graphen dieser beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. (Siehe unten stehende Abbildung.)
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \frac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 21 \cr & g\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c{\text{ mit }}21 \leqslant t \leqslant 42 \cr} \)
- t ∈ [0; 42] ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
- f(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
- g(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung den fehlenden Wert der Achsenbeschriftung in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c der Funktion g.
[0 / 1 / 2 P.]