Exponentialfunktionen integrieren

Auffinden gängiger Stammfunktionen

Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.

Konstante Funktion integrieren bzw. Stammfunktion einer konstanten Funktion

Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = k \cr & F\left( x \right) = \int {k\,\,dx = kx + c} \cr}\)

Potenzfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Potenzfunktion

Die n-te Potenz von x wird integriert, indem man x hoch (n+1) in den Zähler und (n+1) in den Nenner schreibt. Gilt für alle n ungleich -1.

\(\eqalign{ & {\text{für }}n \ne - 1 \cr & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}.dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + C \cr}\)

1/x integrieren bzw. Stammfunktion von 1/x

Zur Funktion 1/x lautet die Stammfunktion ln|x|+C. Die Funktion 1/x ist gleich der Potenzfunktion xⁿ für n=-1.

\(\eqalign{ & {\text{für }}n = - 1 \cr & f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr & F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{x}} .dx = \ln |x| + C \cr}\)

Der Definitionsbereich von ln(x) ist R⁺, also die positiven reellen Zahlen. Indem man im Argument der Logarithmusfunktion den Betrag von x nimmt, erweitert man den Definitionsbereich der Stammfunktion auf negative x. x=0 muss man ausschließen, da der ln(0) nicht definiert ist.

Wurzelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Wurzelfunktion

Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Stammfunktion F(x) aufzusuchen

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & F\left( x \right) = \int {\sqrt x } \,\,dx = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C \cr}\)

Exponentialfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mir Ihrer eigenen Stammfunktion F(x) identisch ist.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^x}} \,\,dx = {e^x} + C \cr}\)

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^{k \cdot x}}} \,\,dx = \frac{1}{k}{e^{k \cdot x}} + C \cr} \)

Bei der Exponentialfunktion zur Basis a lautet die Stammfunkton "a hoch x dividiert durch den natürlichen Logarithmus von der Basis a"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{a^x}} \,\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C \cr} \)

Logarithmusfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Bei der Logarithmusfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um den sogenannten natürlichen Logarithmus "ln". Er hat die selben Eigenschaften wir Logarithmusfunktionen zu einer beliebigen Basis log a. Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion lautet "x mal ln x minus x"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & F\left( x \right) = \int {\ln x} \,\,dx = x \cdot \ln x - x + C \cr} \)

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & F\left( x \right) = \int {{}^a\log x} \,\,dx = \dfrac{1}{{\ln a}}\left( {x.\ln x - x} \right) + C \cr} \)

Winkelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion von Winkelfunktionen

Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (der Hypotenuse, der Ankathete und der Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Ihrer Stammfunktionen sind Teil der Standardintegraltabellen

Sinus integrieren

Das Integral der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion plus der Integrationskonstante

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & F\left( x \right) = \int {\sin x} \,\,dx = - \cos x + C \cr}\)

Kosinus integrieren

Das Integral der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion plus der Integrationskonstante

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & F\left( x \right) = \int {\cos x} \,\,dx = \sin x + C \cr} \)

Illustration als Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus

Tangens integrieren

Das Integral der Tangensfunktion ist der negative Logarithmus vom Betrag der Kosinusfunktion plus die Integrationskonstante.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & F\left( x \right) = \int {\tan x} \,\,dx = - \ln \left| {cosx} \right| + C \cr} \)

Kotangens integrieren

Das Integral der Kotangensfunktion ist der positive Logarithmus vom Betrag der Sinusfunktion plus die Integrationskonstante.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & F\left( x \right) = \int {\cot x} \,\,dx = \ln \left| {\sin x} \right| + C \cr} \)