Aufgabe 4400
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bitterfelder Bogen - Aufgabe B_477
Der Bitterfelder Bogen ist eine Stahlkonstruktion, die aus mehreren Bögen besteht. Ein aus Rampen bestehender Fußweg führt innerhalb der Bögen zu einer Aussichtsplattform.
Teil b
Der Verlauf des Bogens kann näherungsweise durch die Graphen der Funktionen f und g dargestellt werden. Die Graphen der beiden Funktionen sind zueinander symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse. (Siehe nachstehende Abbildung.)
Es gilt:
\(f\left( x \right) = 30 \cdot \left( {1 - {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}}} \right){\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 35\)
In einer Höhe von 21 m befindet sich die Aussichtsplattform.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Lange PQ.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Schnittwinkel α der Graphen der Funktionen f und g.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie das Ergebnis des nachstehenden Ausdrucks im gegebenen Sachzusammenhang.
\(2 \cdot \int\limits_0^{35} {\sqrt {1 + {{\left( { - \dfrac{{30}}{{13}} \cdot {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}}} \right)}^2}} } \,\,dx = 94,57\)
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Vom Punkt Q wissen wir, dass seine y-Koordinate 21 beträgt: \(Q\left( {{Q_x}\left| {21} \right.} \right)\). Da Q auf der gegebenen Funktion f(x) liegt können wir wie folgt rechnen:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 30 \cdot \left( {1 - {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}}} \right) = 21\,\,\,\,\,\left| {:30} \right. \cr & 1 - {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}} = \dfrac{{21}}{{30}}\,\,\,\,\,\left| { - 1} \right.\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \cr & {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}} = - \left( {\dfrac{7}{{10}} - \dfrac{{10}}{{10}}} \right) = \dfrac{3}{{10}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot \ln } \right. \cr & \frac{{x - 35}}{{13}} = \ln \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)\,\,\,\,\,\left| { \cdot 13} \right.\,\,\,\,\,\left| { + 35} \right. \cr & x = 13 \cdot \ln \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right) + 35 \approx 19,348 \cr} \)
Man kann das Beispiel auch mittels Technologieeinsatz lösen:
- Wolfram Alpha: 30(1-e^((x-35)/(13)))=21
- Geogebra:
- CAS Ansicht:
- Funktion definieren („Doppelpunkt Istgleich“)
- Gleichung f(x)=21 anschreiben
- Löse numerisch
Der Abstand PQ entspricht der doppelten x-Koordinaten vom Punkt Q:
\(\left| {PQ} \right| \approx 2 \cdot 19,35 \approx 38,7\)
→ Die Länge PQ beträgt rund 38,7 m.
2. Teilaufgabe:
An der Stelle x=0 berechnen wir den Steigungswinkel der Tangente an die Funktion f. Dabei gilt folgender Zusammenhang:
\(\eqalign{ & k = f'\left( x \right) = \tan \left( \alpha \right) \cr & \alpha = \left| {\arctan f'\left( 0 \right)} \right| \cr} \)
Den Betrag müssen wir anschreiben, weil die Funktion fallend ist und wir einen positiven Winkel haben wollen.
Wir benötigen daher die 1. Ableitung f'(x) der gegebenen Funktion f(x):
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 30 \cdot \left( {1 - {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}}} \right) = 30 - 30 \cdot {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}} \cr & \cr & {\text{NR: Kettenregel}} \cr & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr & \cr & f(x) = {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}} = {e^u} \cr & f'\left( x \right) = {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}} \cdot \dfrac{1}{{13}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = - 30 \cdot \dfrac{1}{{13}} \cdot {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}} \cr} \)
Alternativ kann man die 1. Ableitung auch mittels Technologieeinsatz ermitteln:
Wolfram Alpha: derivate 30(1-e^((x-35)/(13)))
Wir setzen für x=0 ein:
\(\eqalign{ & f'\left( {x = 0} \right) = - 30 \cdot \dfrac{1}{{13}} \cdot {e^{\dfrac{{ - 35}}{{13}}}} = - 0,15638 = k \cr & \arctan \left( { - 0,15638} \right) \approx 8,88^\circ \cr} \)
Wir kennen nun den Steigungswinkel der Tangente zu 8,88°. Der gesuchte Schnittwinkel ist der doppelte Komplementärwinkel und ergibt sich zu:
\(2 \cdot \left( {90^\circ - 8,88^\circ } \right) = 162,24^\circ \)
→ Der gesuchte Schnittwinkel beträgt 162,24°
3. Teilaufgabe:
\(2 \cdot \int\limits_0^{35} {\sqrt {1 + {{\left( { - \dfrac{{30}}{{13}} \cdot {e^{\dfrac{{x - 35}}{{13}}}}} \right)}^2}} } \,\,dx = 94,57\)
Die gegebene Formel erinnert uns an Bogenlänge einer ebenen Kurve im Intervall [a,b]
\(s = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,\,dx\)
Bei der 2. Teilaufgabe haben wir bereits die 1. Ableitung f‘(x) gebildet und der Ausdruck unter der Wurzel und in der Klammer ist diesem identisch. Das Intervall [0; 35] entspricht der Bogenlänge von f. Das doppelte dieser Bogenlänge entspricht der Länge des Bogens aus f(x) + g(x).
→ Es wird die Länge des Bogens berechnet.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Länge PQ beträgt rund 38,7 m.
2. Teilaufgabe
Der gesuchte Schnittwinkel beträgt 162,24°
3. Teilaufgabe
Es wird die Länge des Bogens berechnet.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B1: für das richtige Berechnen der Länge PQ
2. Teilaufgabe
1 × B2: für das richtige Berechnen des Schnittwinkels α
3. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang