Gleichungssystem
Mehrere zusammengehörende Gleichungen bezeichnet man als Gleichungssystem. Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden.
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Formeln
Gleichungen
Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet.
Gleichungssystem
Mehrere zusammengehörende Gleichungen bezeichnet man als Gleichungssystem. Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden. Wenn man eine Lösung gefunden hat, empfiehlt sich die Probe durch einsetzen der Werte der Variablen in die Gleichungen des Gleichungssystems.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1}.y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2}.y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
wobei:
| x, y | Variablen |
| \({a_i},\,\,{b_i},\,\,{c_i}\,\, \in {\Bbb R}\) | Koeffizienten |
Homogenes und inhomogenes Gleichungssystem
- Bei einer homogenen Gleichung steht auf der rechten Seite der Gleichung eine Null. Wenn also in obigem Gleichungssystem alle ci=0 sind, dann spricht man von homogenen Gleichungssystemen
- Bei einer inhomogenen Gleichung steht auf der rechten Seite der Gleichung keine Null. Wenn also in obigem Gleichungssystem mindestens ein ci=0 ist, dann spricht man von inhomogenen Gleichungsystemen
Anzahl unterschiedlicher Variablen in einer Gleichung
Die Anzahl der unterschiedlichen Variablen in einer Gleichung muss gleich sein der Anzahl der von einander unabhängigen Gleichungen, damit das Gleichungssystem sicher eindeutig lösbar ist.
Gleichung mit keiner Variablen: Eine Gleichung ohne Variable ist eine triviale Aussage. Hier kann man nur prüfen ob es sich bei der Gleichung um eine wahre Aussage handelt, oder nicht
Beispiel:
\(1 + 3 = 4\)
Gleichung mit einer Variablen: Eine Gleichung mit einer Variablen formt man so um, dass die Variable explizit wird.
Beispiel:
\(x + 3 = 5 \to x = 2\)
Gleichungssystem mit mehreren Variablen: Gibt es zwei oder mehrere Variablen, so muss es auch zwei oder mehrere Gleichungen geben. Dann spricht man von einem Gleichungssystem. Die Lösung muss alle Gleichungen erfüllen
Beispiel:
\(\eqalign{ & {a_{11}} \cdot {x_1} + {a_{12}} \cdot {x_2} + ... + {a_{1n}} \cdot {x_n} = {c_1} \cr & {a_{21}} \cdot {x_1} + {a_{22}} \cdot {x_2} + ... + {a_{2n}} \cdot {x_n} = {c_2} \cr & ... \cr & {a_{m1}} \cdot {x_1} + {a_{m2}} \cdot {x_2} + ... + {a_{mn}} \cdot {x_n} = {c_m} \cr} \)
Es sei m die Anzahl der linearen (unabhängigen) Gleichungen und n die Anzahl der Variablen
- m=n → das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
- m>n → überbestimmtes Gleichungssystem; Es gibt mehr Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem kann eindeutig lösbar sein
- m<n → unterbestimmtes Gleichungssystem; Es gibt weniger Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar
Grad der Variablen in einer Gleichung
Der Grad der Gleichung entspricht dem höchsten Exponenten der Variablen und er entspricht zudem der Anzahl der Lösungen.
lineare Gleichung → Grad = 1 → eine Lösung
Lineare Gleichungen in einer Variablen sind eindeutig lösbar, d.h. sie haben genau eine Lösung.
Beispiel:
\(a \cdot x + b = 0\) → \(x_1 = - \dfrac{b}{a}\)
quadratische Gleichung → Grad = 2 → zwei Lösungen
Beispiel:
\({x^2} = 9 \to {x_{1,2}} = \root 2 \of 9 = \pm 3\)
Gleichung höheren Grades → Grad >2 → mehrere Lösungen
Beispiel:
\({x^3} = 27 \to {x_{1,2,3}} = \root 3 \of {27} = 3\)
Implizite und Explizite Darstellung der Variablen in einer Gleichung
Um Gleichungen lösen zu können, d.h. jenes x zu ermitteln, welches die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, strebt man an, dass die Variable x alleine (ohne Koeffizienten) auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. Man spricht dann von der expliziten Darstellung, andernfalls von der impliziten Darstellung.
Explizite Darstellung:
Bei der expliziten Darstellung steht die Variable x alleine auf einer Seite vom Gleichheitszeichen.
Beispiel:
\(x = - \dfrac{b}{a}\)
Implizite Darstellung:
Bei der impliziten Darstellung steht die Variable x in Form eines Terms auf einer oder auf beiden Seiten vom Gleichheitszeichen. Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable alleine auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
Beispiel.
\(a \cdot x + b = 0\)
Lösung einer Gleichung, bzw. eines Gleichungssystems
Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. Pro Variable benötigt man genau eine unabhängige Gleichung.
Beispiel:
\(1 + x = 3 \to x = 2 \to 1 + 2 = 3{\text{ wahre Aussage}}\)
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Aufgaben
Aufgabe 4094
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Abrissbirnen - Aufgabe B_012
Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.
Teil b
Eine andere Abrissbirne kann als Körper modelliert werden, der durch Rotation des Graphen der Polynomfunktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\) um die x-Achse entsteht.
Bild
Dabei gilt: A = (0|0), B = (1,1| 2,2), C = (9,4|5,1), D = (12| 0). Im Punkt C hat die Abrissbirne den größten Durchmesser.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A, B, C und D ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Polynomfunktion f.
[2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koeffizienten von f.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4237
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fahrscheine -. Aufgabe A_133
Teil c
Für ein öffentliches Verkehrsmittel wurden an einem Tag 150 000 Fahrscheine verkauft. Ein Vollpreisfahrschein kostet € 2,60, ein ermäßigter Fahrschein € 1,20. Durch den Verkauf von x Vollpreisfahrscheinen und y ermäßigten Fahrscheinen wurden an diesem Tag insgesamt € 337.500 eingenommen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von x und y.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie x und y.
[1 Punkt]
Aufgabe 4295
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gondelbahn auf den Untersberg - A_224
Teil c
Aufgrund des Eigengewichts hängt das Tragseil zwischen der Talstation und der Stütze I durch. Sein Verlauf kann näherungsweise als Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung
\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
Bild
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten a, b und c ermittelt werden können.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie a, b und c.
[1 Punkt]
Aufgabe 4410
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stand-up-Paddling - Aufgabe B_480
Stand-up-Paddling ist eine Wassersportart, bei der eine Person aufrecht auf einem Board steht und paddelt.
Teil a
In der nachstehenden Abbildung ist der Umriss des hinteren Teils eines Boards von oben betrachtet dargestellt. Die Begrenzungslinie kann näherungsweise durch eine Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c\) beschrieben werden.
Bild
| x, f(x) |
Koordinaten in cm |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A und B ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.
[2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
[1 Punkt]
Aufgabe 4485
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grundstücke - Aufgabe B_518
Teil b
Ein anderes dreieckiges Grundstück wird erweitert. Die neue Grenze soll nun nicht mehr direkt vom Koordinatenursprung zum Punkt C verlaufen, sondern über die beiden markierten Punkte P1 und P2 (siehe nachstehende Abbildung).
Bild
Der Verlauf dieser neuen Grenze soll durch den Graphen einer Polynomfunktion f mit
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von f.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Koeffizienten von f.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, um wie viele Quadratmeter der Flächeninhalt des Grundstücks durch die Erweiterung zunimmt.
[0 / 1 P.]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Bild
Aufgabe 4488
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kino - Aufgabe B_519
Teil c
Ein Kino zeigt einen bestimmten Film gleichzeitig in 3 Kinosälen.
- Im Kinosaal X wird der Film in der Standardversion gezeigt. Hier kostet ein Ticket € 14,80.
- Im Kinosaal Y wird der Film in 3D gezeigt. Hier kostet ein Ticket € 17.
- Im Kinosaal Z wird der Film im „Director’s Cut“ gezeigt. Hier kostet ein Ticket € 19,30.
- Insgesamt wurden 120 Tickets verkauft und € 2.067 eingenommen.
- Für Kinosaal Z wurden 25 % mehr Tickets als für Kinosaal X verkauft.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Anzahl der jeweils verkauften Tickets für die Kinosäle X, Y und Z.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Anzahl der jeweils verkauften Tickets für die Kinosäle X, Y und Z.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4503
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Förderband - Aufgabe B_525
Teil a
Ein neues Förderband wird geplant (siehe unten stehende Abbildung). Es soll bis zum Punkt P horizontal verlaufen, dann einen Höhenunterschied von 1 m überwinden und ab dem Punkt Q wieder horizontal verlaufen. Im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 soll der Verlauf des Förderbands mithilfe einer Funktion h beschrieben werden.
Bild
Für die Modellierung der Funktion h werden verschiedene Varianten überlegt. Der Graph der Funktion h soll durch die Punkte P und Q verlaufen und dort jeweils eine waagrechte Tangente haben.
Im Modell A wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Polynomfunktion 3. Grades h mit
\(h\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
beschrieben.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von h.
[0 / 1 / 2 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diese Koeffizienten.
[0 / 1 P.]