Aufgabe 4438

1. Teilaufgabe:

Die Beschleunigung gibt die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit an. Sie ist also die 1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

\(\overrightarrow a \left( t \right) = \dfrac{{d\overrightarrow v \left( t \right)}}{{dt}}\)

Wir bilden also die 1. Ableitung der gegebenen Funktion für die Geschwindigkeit. Zum Glück ist die Ableitung einer Exponentialfunktion ident mit der Exponentialfunktion, wir müssen nur an die innere Ableitung gemäß der Kettenregel denken:
\(\begin{array}{l} {v_B}\left( t \right) = 12,151 \cdot \left( {1 - {e^{ - 0,684 \cdot t}}} \right)\\ {v_B}\left( t \right) = 12,151 - 12,151 \cdot {e^{ - 0,684 \cdot t}}\\ \\ f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right)\\ f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right)\\ \\ {v_B}^\prime \left( t \right) = - 12,151 \cdot \left( { - 0,684} \right) \cdot {e^{ - 0,684 \cdot t}} \end{array}\)

Damit wir die Beschleunigung 1 Sekunde nach dem Start erhalten setzen wir t=1:
\({v_B}^\prime \left( {t\_1} \right) = - 12,151 \cdot \left( { - 0,684} \right) \cdot {e^{ - 0,684 \cdot 1}} \approx 4,1938\)

Wolfram Alpha: -12.151*(-0.684)*e^(-0.684)

→ Die Beschleunigung von Usain Bolt 1 s nach dem Start betrug 4,19 m/s²

2. Teilaufgabe:

Wir betrachten 2 Aspekte der gegebenen Formel
\(\dfrac{1}{{8 - 5}} \cdot \int\limits_5^8 {{v_B}\left( t \right)} \,\,dt\)

• Das Integral einer Geschwindigkeit über die Zeit erinnert uns an die Weg-Zeit-Funktion
  \(s\left( t \right) = \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt\)
• Die Form des gegebenen Ausdrucks erinnert uns an die Formel für den linearen Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
  \(m = \dfrac{1}{{b - a}} \cdot \int\limits_a^b {f\left( s \right)\,\,dx} \)

Der Betrachtungszeitraum sind jene 3 Sekunden, die zwischen der 5. und der 8. Sekunde nach dem Start liegen. Für das gegebene Produkt gilt:

• 1. Faktor: Der Bruch vor dem Integral entspricht "eins durch Zeit" \(\dfrac{1}{{\Delta t}}\)
• 2. Faktor: Das Integral entspricht einem Weg \(\Delta s\)

Somit:
\(\dfrac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \overline v \)
→ Es wird die mittlere Geschwindigkeit (in m/s) von Usain Bolt im Zeitintervall [5; 8] berechnet.

3. Teilaufgabe:

Wir berechnen zunächst welchen Weg Richard Thompson zurückgelegt hatte als Usain Bolt die 100 m absolviert hatte. Zum Glück ist das Integral einer Exponentialfunktion ident mit der Exponentialfunktion, wir müssen nur an die innere Ableitung gemäß der Kettenregel denken:

1. Lösungsvariante: Du willst zeigen, dass du ein besonders einfaches bestimmtes Integral selbst berechnen kannst:

\(\begin{array}{l} {v_T}\left( t \right) = 12,15 \cdot \left( {1 - {e^{ - 0,601 \cdot t}}} \right)\\ \\ {s_T} = \int\limits_0^{9,69} {{v_T}\left( t \right)} = 12,15 \cdot \left[ {\int\limits_0^{9,69} 1 - \int\limits_0^{9,69} {{e^{ - 0,601 \cdot t}}} } \right] = \\ = 12,15 \cdot \left[ {t + \dfrac{1}{{0,601}} \cdot {e^{ - 0,601 \cdot t}}} \right]_0^{9,69} = \\ = 12.15\left[ {9.69 + \dfrac{1}{{0,601}}{e^{ - 5.82369}} - 0 - \dfrac{1}{{0,601}}} \right] \approx 97,577 \end{array}\)

Die Gleichung die entsteht, nachdem wir integriert und die Grenzen eingesetzt haben, lösen wir mit Hilfe von Technologie, wobei der Computer nur für das "number crunching" zuständig ist. 
Wolfram Alpha: 12.15[9.69+(1)/(0.601)e^(-5.82369)-0-(1)/(0.601)]

2. Lösungsvariante: Du willst eine schnelle Lösung, ohne eigenes Wissen darüber einzubringen, wie man ein besonders einfaches bestimmtes Integral berechnet:

GeoGebra: Algebra-Ansicht: 

• Gib die Gleichung für v_t(t) ein
• Integral(<Funktion>, <Startwert>, <Endwert>):
  Integral(v,0,9.69) liefert als Resultat s_T=97,577

Als Usain Bolt die Ziellinie erreicht hatte, hatte Richard Thompson erst 97,587 m zurückgelegt, ihm fehlten also noch
\(100 - 97,577 = 2,423\)

→ Richard Thompson war rund 2,42 m von der Ziellinie entfernt, als Usain Bolt diese überquerte.

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