Aufgabe 130
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {x^3};\)
Bilde die Ableitungsfunktion gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
1. Teilaufgabe: f'(x)
2. Teilaufgabe: f''(x)
3. Teilaufgabe: f'''(x)
4. Teilaufgabe: f''''(x)
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Potenzen an.
Potenzen differenzieren
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {x^n} \cr & y' = f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\(f(x) = {x^3};\)
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^3}; \cr & f'\left( x \right) = 3{x^2}; \cr}\)
2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^3}; \cr & f'\left( x \right) = 3{x^2}; \cr}\)
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = 3{x^2}; \cr & f''\left( x \right) = 3 \cdot 2{x^1} = 6x; \cr}\)
3. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^3}; \cr & f'\left( x \right) = 3{x^2}; \cr & f''\left( x \right) = 6x; \cr}\)
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
\(\eqalign{ & f''\left( x \right) = 6x; \cr & f'''\left( x \right) = 6; \cr}\)
4. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^3}; \cr & f'\left( x \right) = 3{x^2}; \cr & f''\left( x \right) = 6x; \cr & f'''\left( x \right) = 6; \cr}\)
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
\(\eqalign{ & f'''\left( x \right) = 6; \cr & f''''\left( x \right) = 0; \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: \(f'\left( x \right) = 3{x^2};\)
- Für die 2. Teilaufgabe: \(f''\left( x \right) = 6x;\)
- Für die 3. Teilaufgabe: \(f'''\left( x \right) = 6\)
- Für die 4. Teilaufgabe: \(f''''\left( x \right) = 0;\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 4 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt.