Differenzenquotient
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Änderungsmaße
Um die Änderung von einem Wert in Bezug auf einen anderen Wert quantifizieren zu können, bedient man sich verschiedener Änderungsmaße. Man unterscheidet dabei zwischen Änderung und Änderungsrate
- Änderung: Beschreibt die Veränderung zwischen dem "vorher" und dem "nachher" Wert einer Größe
- Absolute Änderung
- Relative Änderung
- Prozentuelle Änderung
- Änderungsrate: Beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe \(\Delta y\) zur Veränderung einer unabhängigen Größe \(\Delta x\)
- Mittlere Änderungsrate
- Momentane Änderungsrate
Absolute Änderung
Die absolute Änderung entspricht der Differenz aus "oberem Wert" minus "unterem Wert" vom betrachteten Intervall. Sie hat - im Unterschied zur relativen bzw. prozentuellen Änderung - eine physikalische Einheit.
\(\begin{array}{l} \Delta y = {y_2} - {y_1}\\ \Delta {y_n} = {y_{n + 1}} - {y_n}\\ \Delta f = f\left( b \right) - f\left( a \right) \end{array}\)
Relative Änderung
Die relative Änderung entspricht der absoluten Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie errechnet sich als der Quotient aus der absoluten Änderung und dem Grundwert. Die relative Änderung ist eine Dezimalzahl, die keine physikalische Einheit hat.
\(\begin{array}{l} \dfrac{{\Delta y}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{y1}}\\ \dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}}\\ \dfrac{{\Delta f}}{{{f_a}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{f\left( a \right)}} \end{array}\)
Prozentuelle Änderung
Die prozentuale Änderung entspricht dem Quotienten aus der absoluten Änderung und dem Grundwert, multipliziert mit 100%. Die prozentuale Änderung ist daher eine relative Änderung in Prozentschreibweise ohne physikalische Einheit. Der Grundwert y1 ist zugleich der 100% Wert. Die prozentuale Änderung beschreibt in Prozent, um wie viel sich ein gegebener Grundwert verändert, also erhöht oder verringert, hat.
\(p = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{{y_1}}} \cdot 100\% \)
Beispiel:
Datenquelle:
https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…
- durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2000: 8.011.566 EW
- durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2019: 8.877.637 EW
absolute Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(E{W_{2019}} - E{W_{2000}} = 8.877.637{\text{ EW}} - 8.011.566{\text{ EW}} = 866.071{\text{ EW}}\)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 866.071 Einwohner gestiegen
relative Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} = \dfrac{{8.877.637 - 8.011.566}}{{8.011.566}} = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} = 0,1081\)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum auf das 1,1081 fache gestiegen
prozentuale Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} \cdot 100\% = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} \cdot 100\% = 10,81\% \)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 10,81 % gestiegen
Differenzengleichungen
Eine Differenzengleichung ist eine rekursive Bildungsvorschrift für eine Zahlenfolge. Mit Hilfe der Differenzengleichung kann man aus der n-ten Zahl xn der Folge die darauf folgende n+1 Zahl xn+1 der Folge ermitteln. x0 ist der Startwert der Folge. n muss eine natürliche Zahl (1,2,3…) sein
Die lineare Differenzengleichung entspricht einer arithmetischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Betrag k.
\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \pm k........{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = \pm k......{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)
Beispiel Startwert 100, je Zeitintervall kommen 5 Einheiten dazu
\(\eqalign{ & {a_0} = 100 \cr & {a_1} = {a_0} + k = 100 + 5 = 105 \cr & {a_2} = {a_1} + k = 105 + 5 = 110 \cr} \)
Die exponentielle Differenzengleichung entspricht einer geometrischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Prozentsatz bzw. ein gleicher relativer Anteil.
\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q{\text{ mit q}} = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}{\text{ = 1}} \pm \dfrac{p}{{100}}.....{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = {a_n} \cdot \left( {q - 1} \right)..........{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)
Beispiel: Startwert 100, sinkt je Zeitintervall um 5%
\(\eqalign{ & {a_0} = 100\,\,\,\,\,\,\,\,5\% \buildrel \wedge \over = 1 - \frac{5}{{100}} = 0,95 \cr & {a_1} = 100 \cdot 0,95 = 95 \cr & {a_2} = 95 \cdot 0,95 = 90,25 \cr} \)
Mittlere Änderungsrate bzw. Differenzenquotient
Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate in einem Intervall an und entspricht der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte am Graph der Funktion \(f\). Die mittlere Änderungsrate errechnet sich aus dem Quotienten von der Differenz der Funktionswerte (f(b), f(a)) zur Differenz der Argumente (b, a).
\(\begin{array}{l} {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\\ {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} \end{array}\)
\(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}};\)
Während eine lineare Funktion (deren Graph eine Gerade ist) eine konstante Steigung k besitzt, hat eine Funktion höheren Grades (deren Graph eine "Kurve" ist) eine Steigung, die vom jeweiligen Punkt auf dem Graphen abhängt.
Der Differenzenquotient ermöglicht es, die Steigung einer nicht linearen Funktion für einen bestimmten Abschnitt, der durch 2 Punkte \({f\left( {{x_0}} \right)}\) und \({f\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}\) auf dem Graphen definiert ist, zu berechnen. Dabei entspricht die jeweilige Steigung der Funktion der zugehörigen Steigung der Geraden (=Sekante) durch die beiden Punkte. Man spricht auch von der "mittleren Anstiegsrate"
Der Differenzenquotient ist leider nur eine Näherung für die Steigung der Funktion. Erst der Differentialquotient (als Grenzwert des Differenzenquotienten mit \(\vartriangle x \to 0\)) liefert dann eine exakte Berechnung, bei der die Sekante in eine Tangente übergeht, da der Abstand zwischen den beiden Punkten gegen Null geht.
Momentane Änderungsrate bzw. Differentialquotient
Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x0 an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion \(f\) . Er errechnet sich aus der 1. Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\). Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert (Limes) vom Differenzenquotient.
\(\eqalign{ & f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}} \cr & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1} - {x_0}}} \cr}\)
Grafisch lässt sich Differenzierbarkeit so deuten, dass an den Graphen der Funktion f(x) an jeder Stelle genau (!) eine Tangente existiert.
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Aufgaben
Aufgabe 4016
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
Teil a
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.
Das Profil des Bodens kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion p beschrieben werden, die Unterkante der Messlatte kann durch den Graphen einer linearen Funktion f beschrieben werden. Die Messlatte berührt den Boden in den Punkten \({P_1} = \left( {{x_1}\left| {p\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right){\text{ und }}{P_2} = \left( {{x_2}\left| {p\left( {{x_2}} \right)} \right.} \right)\). Eine der folgenden Aussagen stimmt nicht mit der obigen Abbildung überein.
- Aussage 1: \(k = \dfrac{{p\left( {{x_2}} \right) - p\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
- Aussage 2: \(p'\left( {{x_1}} \right) = 0\)
- Aussage 3: \(p'\left( {{x_2}} \right) = k\)
- Aussage 4: \(p'\left( {{x_1}} \right) = p'\left( {{x_2}} \right)\)
- Aussage 5: \(f\left( {{x_1}} \right) = p\left( {{x_1}} \right)\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
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Aufgabe 1579
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schwimmbad
In ein Schwimmbad wird ab dem Zeitpunkt t = 0 Wasser eingelassen. Die Funktion h beschreibt die Höhe des Wasserspiegels zum Zeitpunkt t. Die Hohe h(t) wird dabei in dm gemessen, die Zeit t in Stunden.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im gegebenen Kontext!
\(\dfrac{{h\left( 5 \right) - h\left( 2 \right)}}{{5 - 2}} = 4\)
Aufgabe 1151
AHS - 1_151 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzenquotient
Eine Funktion \(s:\left[ {0;6} \right] \to {\Bbb R}\) beschreibt den von einem Radfahrer innerhalb von t Sekunden zurückgelegten Weg. Es gilt: \(s\left( t \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {t^2} + 2 \cdot t\) Der zurückgelegte Weg wird dabei in Metern angegeben, die Zeit wird ab dem Zeitpunkt t0 = 0 in Sekunden gemessen.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Differenzenquotienten der Funktion s im Intervall [0; 6] und deuten Sie das Ergebnis!
Aufgabe 4010
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohmilchproduktion - Aufgabe A_252
Teil a
Im Jahr 1995 betrug die Rohmilchproduktion der Kühe in Österreich insgesamt 2,948 Millionen Tonnen, im Jahr 2013 betrug sie 3,393 Millionen Tonnen. Die jährliche absolute Zunahme der Rohmilchproduktion wird als konstant angenommen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f, die die Rohmilchproduktion in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1995. [1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie mithilfe der Funktion f die voraussichtliche Rohmilchproduktion im Jahr 2017. [1 Punkt]
Aufgabe 4014
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Bodensee - Aufgabe A_253
Teil b
Der Phosphorgehalt im Bodensee kann im Zeitraum von 1970 bis 2004 näherungsweise durch eine Polynomfunktion f beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe des oben dargestellten Graphen von f die mittlere Änderungsrate des Phosphorgehalts im Zeitintervall [12; 18].
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Dokumentieren Sie in Worten, wie man mittels Differenzialrechnung berechnen kann, wann der Phosphorgehalt am stärksten gesunken ist.
[1 Punkt]
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Aufgabe 1485
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erwärmung von Wasser
Bei einem Versuch ist eine bestimmte Wassermenge für eine Zeit t auf konstanter Energiestufe in einem Mikrowellengerat zu erwärmen. Die Ausgangstemperatur des Wassers und die Temperatur des Wassers nach 30 Sekunden werden gemessen.
Zeit (in Sekunden) | t=0 | t=30 |
Temperatur (in °C) | 35,6 | 41,3 |
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion, die die Temperatur T(t) zum Zeitpunkt t beschreibt!
\(T\left( t \right) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot t + 35,6\)
Aufgabe 4071
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Altenpflege - Aufgabe A_262
Teil c
Die nachstehende Tabelle zeigt die Anzahl der Hausbesuche pro Jahr durch mobile Dienste im Rahmen der Altenpflege in Oberösterreich sowie deren prozentualen Anstieg jeweils im Vergleich zur Anzahl 2 Jahre davor.
Jahr |
Anzahl der Hausbesuche pro Jahr |
prozentualer Anstieg (gerundet) |
1994 | 498 086 | |
1996 | 589 168 | 18,3 % |
1998 | 802 146 | 36,1 % |
2000 | 1 017 793 | 26,9 % |
2002 | 1 176 665 | 15,6 % |
2004 | 1 360 543 | 15,6 % |
Der prozentuale Anstieg der Anzahl der Hausbesuche pro Jahr betrug sowohl von 2000 auf 2002 als auch von 2002 auf 2004 jeweils rund 15,6 %.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erklären Sie in Worten, warum sich die absolute Änderung der Anzahl der Hausbesuche pro Jahr von 2000 auf 2002 von jener von 2002 auf 2004 unterscheidet, obwohl die prozentualen Anstiege in den jeweiligen Zeitintervallen gleich sind.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie das Ergebnis der Berechnung \(\dfrac{{1360543 - 498086}}{{2004 - 1994}} \approx 86246\) im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Aufgabe 4074
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Die Genussformel - Aufgabe A_263
Teil b
Für die optimale Bratdauer einer Gans gibt Gruber folgende Werte an:
Masse der Gans in Kilogramm | Bratdauer in Minuten |
2,0 | 104 |
3,0 | 136 |
3,8 | 159 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie mithilfe des Differenzenquotienten, dass zwischen Masse und Bratdauer kein exakter linearer Zusammenhang vorliegt.
[1 Punkt]
Aufgabe 1174
AHS - 1_174 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Freier Fall eines Körpers
Die Funktion s mit \(s\left( t \right) = \dfrac{g}{2} \cdot {t^2}{\text{ mit }}g \approx 10\dfrac{m}{{{s^2}}}\) s beschreibt annähernd den von einem Körper in der Zeit t (in Sekunden) im freien Fall zurückgelegten Weg s(t) (in m).
- Aussage 1: Die erste Ableitung s‘ der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t1.
- Aussage 2: Die zweite Ableitung s‘‘ der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1.
- Aussage 3: Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t2] gibt den in diesem Intervall zurückgelegten Weg an.
- Aussage 4: Der Differenzialquotient der Funktion s an einer Stelle t gibt den Winkel an, den die Tangente an den Graphen im Punkt P = (t |s(t)) mit der positiven x-Achse einschließt.
- Aussage 5: Der Differenzenquotient der Funktion s‘ im Intervall [t1; t2] gibt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t1; t2] an.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1143
AHS - 1_143 & Lehrstoff: AN 1.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Luftwiderstand
Der Luftwiderstand FL eines bestimmten PKWs in Abhängigkeit von der Fahrtgeschwindigkeit v lässt sich durch folgende Funktionsgleichung beschreiben \({F_L}\left( v \right) = 0,4 \cdot {v^2}\) . Der Luftwiderstand ist dabei in Newton (N) und die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) angegeben.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Zunahme des Luftwiderstandes in \(\dfrac{N}{{m/s}}\) bei einer Erhöhung der Fahrtgeschwindigkeit von 20 m/s auf 30 m/s!
Aufgabe 1003
AHS - 1_003 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzenquotient
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit einer Sekante.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Der Ausdruck _____1______ beschreibt _______2_________ .
1 | |
\(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) | A |
\(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) | B |
\(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}}\) | C |
2 | |
die Steigung von f an der Stelle x | I |
die 1. Ableitung der Funktion f | II |
die mittlere Änderungsrate im Intervall \(\left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\) | III |
Aufgabe 1552
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Finanzschulden
Die Finanzschulden Österreichs haben im Zeitraum 2000 bis 2010 zugenommen. Im Jahr 2000 betrugen die Finanzschulden Österreichs F0, zehn Jahre später betrugen sie F1 ( jeweils in Milliarden Euro).
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie den Ausdruck \(\dfrac{{{F_1} - {F_0}}}{{10}}\) im Hinblick auf die Entwicklung der Finanzschulden Österreichs!