Aufgabe 226
Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades
- Hochpunkt: \(HP\left( {0\left| 6 \right.} \right)\)
- Punkt \(P\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
- Tangente in P hat den Anstieg: \({\rm{k = - 2}}{\rm{,5}}\)
Lösungsweg
Allgemeine Formel für ein Polynom 3. Grades
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
Wir benötigen also 4 Gleichungen, um die 4 unbekannten Koeffizienten a, b, c und d bestimmen zu können. Wir schauen zunächst, ob wir einen beliebigen Punkt gegeben haben, bei dem x=0 gilt…
erste Gleichung: Aus HP wissen wir, dass an der Stelle x=0 auch y=6 gelten muss
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
wir setzen \(HP\left( {0\left| 6 \right.} \right)\) ein:
\(\begin{array}{l} f\left( 0 \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 6\\ a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 6\\ d = 6 \end{array}\)
zweite Gleichung: In jeden Extremwert (TP, HP bzw. Min, Max) ist die Tangente waagrecht, d.h. k=0 bzw. f‘(x)=0
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\\ f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \end{array}\)
wir setzen \({\rm{f'}}\left( 0 \right) = 0\) ein:
\(\begin{array}{l} f'\left( 0 \right) = 3a \cdot {0^2} + 2b \cdot 0 + c = 0\\ 0 \cdot a + 0 \cdot b + c = 0\\ c = 0 \end{array}\)
dritte Gleichung: Aus P wissen wir, dass an der Stelle x=2 auch y=3 gelten muss
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
wir setzen \({\rm{P}}\left( {2\left| 3 \right.} \right)\) ein:
\(\begin{array}{l} f\left( 2 \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 3\\ a \cdot {2^3} + b \cdot {2^2} + 0 \cdot 2 + 6 = 3\\ 8a + 4b + 6 = 3\\ 8a + 4b = - 3 \end{array}\)
vierte Gleichung: Aus dem Wissen, dass die Tangente in P den Anstieg -2,5 hat, folgern wir
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + 0 + 6\\ f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx = k \end{array}\)
wir setzen \({{\rm{P}}_x} = 2\) und \({\rm{k = - 2}}{\rm{,5}}\) ein:
\(\begin{array}{l} f'\left( 2 \right) = 3a \cdot {2^2} + 2b \cdot 2 = - 2,5\\ 12a + 4b = - 2,5 \end{array}\)
Somit verbleiben die beiden Unbekannten a und b, für deren Berechnung wir die erforderlichen 2 Gleichungen kennen:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {8a}&{ + 4b}&{ = - 3}&{}\\ {12a}&{ + 4b}&{ = - 2,5}&{} \end{array}\)
... wir subtrahieren die untere Gleichung von der oberen Gleichung und erhalten:
\(\begin{array}{l} - 4a = - 0,5\\ a = \dfrac{{0,5}}{4} = \dfrac{1}{8} = 0,25 \end{array}\)
... wir setzen a ein, um b wie folgt zu berechnen:
\(\begin{array}{l} 8 \cdot \frac{1}{8}{\rm{ + 4b = - 3}}\\ 1 + 4b = - 3\\ 4b = - 4\\ b = - 1 \end{array}\)
Jetzt können wir die Lösung wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\ f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{x^3} - 1{x^2} + 0x + 6\\ f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{x^3} - {x^2} + 6 \end{array}\)
Die gesuchte Funktion lautet daher:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{x^3} - {x^2} + 6\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{x^3} - {x^2} + 6\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.