Sprungstelle einer Funktion

Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden

Die Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x₀ bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert gemäß nachfolgender Gleichung vorhanden ist. Diesen Grenzwert nennt man die 1. Ableitung.

\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)

Differential

Das Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x.

\(\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'\)

Intervallweise differenzierbare Funktion

Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist.

\(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)

Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen.

Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion ist an der Stelle x₀ dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion. 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.

Definition der Ableitung

Existiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x₀ ihrer Definitionsmenge D_f ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar. 

Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar.

Weierstraß Funktion

Die Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar:

\(f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} \)

Erste Ableitung einer Funktion

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x₀ wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \)

Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:

• Steigende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) bzw. k>0: Der Graph ist an der Stelle x₀ steigend. Die Tangente in x₀ verläuft von links unten nach rechts oben.
• Horizontale Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) bzw. k=0: Der Graph verläuft an der Stelle x₀ horizontal. Die Tangente in x₀ hat keine Steigung, sie verläuft waagrecht. Es liegt eine Extremstelle (Hochpunkt, Tiefpunkt) oder ein Sattelpunk vor. Umgekehrt formuliert: Eine Funktion hat dann keine waagrechte Tangente, wenn ihre 1. Ableitung keine Nullstelle hat.
• Fallende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) bzw. k<0: Der Graph verläuft an der Stelle x₀ fallend. Die Tangente in x₀ verläuft von links oben nach rechts unten

Zweite Ableitung einer Funktion

Das Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x₀  wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)

Links gekrümmter Graph, lokales Minimum

Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x₀linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.

Rechtsgekrümmter Graph, lokales Maximum

Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) so ist der Funktionsgraph an der Stelle x₀rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss. 

Dritte Ableitung einer Funktion

Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x₀ wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)

Wir unterscheiden dabei 2 Fälle:

Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.

Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) < 0\): so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.

Höhere Ableitungen

Wenn die n-te Ableitung einer Funktion f(x) wiederum eine Funktion in x oder eine Konstante ist, so kann man auch diese n-te Ableitung erneut ableiten und erhält so die (n+1)-te Ableitung usw. Man spricht allgemein von "höheren Ableitungen".

\(y = f\left( x \right)\)

\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right)\)

\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)

\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)

Intervallweise lineare Funktion

Bei intervallweise linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definierten Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. Intervallweise lineare Funktionen haben keinen durchgängigen sondern einen auf Intervalle eingeschränkten Definitionsbereich D_f.

Man bezeichnet solche zusammengesetzte Teilfunktionen auch „abschnittsweise linear“ oder „stückweise linear“. Zu den intervallweise linearen Funktionen gehören die Betragsfunktion, die Signumfunktion, die Integerfunktion und die Gaußklammerfunktion.

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 2 Teilfunktionen zerlegt werden und hat eine Spitze an der Stelle f(0).

• Ist x eine positive Zahl, so ist abs x eine positive Zahl.
• Ist x = 0, so ist abs x gleich 0
• Ist x eine negative Zahl, so ist abs x der Betrag von x, also eine positive Zahl

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \left| x \right| \cr & f\left( x \right) = \operatorname{abs} x \cr & {D_f}:\left| x \right| = + x\,\,\forall x \geqslant 0\,\, \cup \,\, - x\,\,\forall x \leqslant 0 \cr}\)

Signumfunktion

Die Signumfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 3 Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an der Stelle x=0 zwei Sprungstellen. Obwohl 0 kein Vorzeichen hat, ist sgn 0 = 0.

• Ist x eine positive Zahl, so wird sgn x zu +1
• Ist x = 0, so wird sgn 0 zu 0
• Ist x eine negative Zahl, so wird sgn x zu -1

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{sgn} x \cr & {D_f}:\,\,\operatorname{sgn} x = + 1\,\,\forall x > 0\,\, \cup \,\, - 1\,\,\forall x < 0 \cr}\)

Integerfunktion

Die Integerfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert ≠ 0 annimmt eine Sprungstelle.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{int} x \cr & {D_f}:\operatorname{int} x = {\text{ganzahliger Teil von x }}\forall x \geqslant 0 \cup \forall x \leqslant 0 \cr}\)

Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion

Die Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion ordnen jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere (floor) oder nicht kleinere (ceiling) ganze Zahl zu. Beide Funktionen können in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert annimmt eine Sprungstelle.

In den beiden nachfolgenden Darstellungen wird das jeweilige Intervall durch

• einen vollen Punkt (Intervallgrenze enthalten)
• einen hohlen Punkt (Intervallgrenze nicht enthalten)
• den Strich dazwischen, für das Intervall selbst

veranschaulicht.

Abrundungs- oder Gaußklammerfunktion (floor)

Für eine reelle Zahl x ist floor x die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

• floor(3,7)=3
• floor(-3,1)=-4

Aufrundungsfunktion (ceiling)

Für eine reelle Zahl x ist ceiling x die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist

• ceiling(3,1)=4
• ceiling(-3,7)=-3

Abschnittsweise definierte Funktion

Unter einer abschnittsweise d.h. intervallweise definierten Funktion versteht man eine, aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzte Funktion, für jeweils unterschiedliche Intervalle der Zahlengeraden.

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left] {{g_1};{g_2}} \right[}\\ {{f_2}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {{g_3};{g_4}} \right]{\rm{ }}}\\ {{f_3}\left( x \right){\rm{ mit x}} \in \left] {{g_5};{g_6}} \right[} \end{array}} \right.\)