Aufgabe 225
Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades
- Extremwert 1: \(E{W_1}\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
- Extremwert 2: \(E{W_2}\left( {2\left| { - 4} \right.} \right)\)
Lösungsweg
Allgemeine Formel für ein Polynom 3. Grades
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
Wir benötigen also 4 Gleichungen, um die 4 unbekannten Koeffizienten a, b, c und d bestimmen zu können. Wir schauen zunächst, ob wir einen beliebigen Punkt gegeben haben, bei dem x=0 gilt…
erste Gleichung: Aus EW1 wissen wir, dass an der Stelle x=0 auch y=0 gelten muss
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
wir setzen \(E{W_1}\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) ein:
\(\eqalign{ & f\left( 0 \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 \cr & a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 0 \cr & d = 0 \cr} \)
zweite Gleichung: In jeden Extremwert (Min, Max) ist die Tangente waagrecht, d.h. k=0 bzw. f‘(x)=0
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 \cr & f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \cr} \)
wir setzen \({\text{f'}}\left( 0 \right) = 0\) ein:
\(\eqalign{ & f'\left( 0 \right) = 3a \cdot {0^2} + 2b \cdot 0 + c = 0 \cr & 0 \cdot a + 0 \cdot b + c = 0 \cr & c = 0 \cr} \)
dritte Gleichung: Aus \(E{W_2}\left( {2\left| { - 4} \right.} \right)\) wissen wir, dass an der Stelle x=2 auch y=-4 gelten muss
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
wir setzen \(E{W_2}\left( {2\left| { - 4} \right.} \right)\) ein:
\(\eqalign{ & f\left( 2 \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = - 4 \cr & a \cdot {2^3} + b \cdot {2^2} + 0 \cdot 2 + 0 = - 4 \cr & 8a + 4b = - 4 \cr} \)
vierte Gleichung: In jeden Extremwert (Min, Max) ist die Tangente waagrecht, d.h. k=0 bzw. f‘(x)=0
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 \cr & f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \cr} \)
wir setzen \({\text{f'}}\left( 2 \right) = 0\) ein:
\(\eqalign{ & f'\left( 2 \right) = 3a \cdot {2^2} + 2b \cdot 2 + c = 0 \cr & 12a + 4b = 0 \cr} \)
Somit verbleiben die beiden Unbekannten a und b, für deren Berechnung wir die erforderlichen 2 Gleichungen kennen:
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {8a}&{ + 4b}&{ = - 4}&{}\\ {12a}&{ + 4b}&{ = 0}&{\left| { \cdot - 1} \right.} \end{array}\\ \\ \begin{array}{*{20}{c}} {8a}&{ + 4b}&{ = - 4}&{}\\ { - 12a}&{ - 4b}&{ = 0}&{} \end{array} \end{array}\)
... wir subtrahieren die untere Gleichung von der oberen Gleichung und erhalten:
\(\begin{array}{l} - 4a = - 4\\ a = 1 \end{array}\)
... wir setzen a ein, um b wie folgt zu berechnen:
\(\begin{array}{l} 12 \cdot {\rm{1 + 4b = 0}}\\ {\rm{4b = - 12}}\\ {\rm{b = - 3}} \end{array}\)
Jetzt können wir die Lösung wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\ f\left( x \right) = 1{x^3} - 3{x^2} + 0x + 0\\ f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} \end{array}\)
Die gesuchte Funktion lautet daher:
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.