Funktionen und Modelle
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Formeln
Periodische Funktion
Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist. Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periode T lang. Die Zeit T wird als die Periode bzw. als die Schwingdauer des Systems bezeichnet
\(x\left( {t + T} \right) = x\left( t \right)\)
Frequenz
Die Frequenz ist ein Maß für die „Häufigkeit“ der Wiederholungen einer Schwingung pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist daher die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen.
\(f = \dfrac{1}{T}\)
Periodendauer
Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.
\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)
Bei einer Schwingung vom Typ \(f\left( t \right) = {A_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\)gibt
- A0 die Höhe der Amplitude an
- \(\omega \) die Kreisfrequenz, gemessen in der Anzahl der vollen Schwingungen in einem Intervall der Länge \(2 \cdot \pi \)
- \(\varphi\) den Phasenverschiebungswinkel , als den Winkel an um den der Nulldurchgang der Schwingung gegenüber t=0 verschoben ist.
Ein Anschauungsbeispiel aus der Elektrotechnik:
In der Elektrotechnik beträgt die Periodendauer bei in Europa gebräuchlichem 50 Hz Wechsel- oder Drehstrom 20 msec (1sec dividiert durch 50 Hz). Eine Halbperiode, das ist die Zeit von einem Nulldurchgang (=Vorzeichenwechsel) zum nächsten Nulldurchgang beträgt daher 10 msec (20msec : 2 Halbwellen). D.h. man muss maximal 10 msec warten, bis die betrachtete elektrische Größe für kurze Zeit zu Null wird.
Wellenlänge
Als Wellenlänge bezeichnet man bei einer wellenförmigen Ausbreitung den kleinsten Abstand zweier Punkte gleicher Phase. Die Wellenlänge errechnet sich indem man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c im jeweiligen Medium durch die Frequenz dividiert. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauern. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.
\(\lambda = \dfrac{c}{f}\)
Beispiele für Ausbreitungsgeschwindigkeiten:
- Für Schallwellen: c = 343 m/s
- Für elektromagnetische Wellen: c = 299 792 458 m/s
Zusammenhang zwischen Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Die Periodendauer T entspricht der Kehrwert der Frequenz, bzw. der Quotient aus Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium.
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{\dfrac{c}{\lambda }}} = \dfrac{\lambda }{c}\)
Schwingung
Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauer. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.
\(T = \dfrac{1}{f}\)
Harmonische Schwingung
Harmonische Schwingungen sind ein Sonderfall der periodischen Schwingung, da sie durch Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden können. Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.
- Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
- Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung
Die Funktion u(t) beschreibt einen Schwingungsvorgang, wie er bei mechanischen oder elektrischen Schwingkreisen vorkommt.
\(\eqalign{ & u\left( t \right) = U \cdot \cos \left( {wt + \varphi } \right) \cr & u\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + b \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \cr & u\left( t \right) = U \cdot {e^{\left( {\omega t + \varphi } \right)}} \cr}\)
U | die Amplitude der Schwingung (deren Maximalauslenkung) |
\(\omega\) | die Kreisfrequenz |
Dabei gilt:
\(\eqalign{ & \omega = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr}\)
T | die Schwingungsdauer |
\(\varphi\) | der Nullphasenwinkel, also der Winkel zum Zeitpunkt t=0 |
Änderung von Parametern einer harmonischen Schwingung
Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
\(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\) - Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
- Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
Illustration
- In rot die Sinusfunktion.
- In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
- In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind.
Phasenverschiebung c zwischen Sinus und Kosinus
Anmerkung: In der Technik bevorzugt man die Sinus Darstellung gegenüber der Kosinus Darstellung. Dies ist immer möglich, da man durch Berücksichtigung einer Phasenverschiebung c die beiden Winkelfunktionen in einander umrechnen kann gemäß
- \(\sin \left( x \right) = \cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
- \(\cos \left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
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Lineare Funktion
Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Erscheinungsbild durch die beiden Parameter k und d bestimmt ist. Dabei ist
- y die von x abhängige Variable, sie wird auch als Funktionswert bezeichnet
- k der Anstieg bzw. die Steigung. Die Steigung ist bei einer Geraden natürlich unveränderlich konstant
- x die unabhängige Variable, sie wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet
- d der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt
\(f\left( x \right) =y= kx + d\)
Homogene lineare Funktion
Bei der homogenen linearen Funktion ist d=0, daher verläuft ihr Graph durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx\)
Inhomogene lineare Funktion
Bei der inhomogenen linearen Funktion ist d≠0, daher verläuft der Graph nicht durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx + d\)
Konstante Funktion
Bei der konstanten Funktion ist k=0, daher verläuft der Graph parallel zur x-Achse, im Abstand d. Für k=0 und d=0 entspricht der Graph der Funktion dem Verlauf der x-Achse
\(f\left( x \right) = d\)
1. bzw. 2. Mediane
Die Funktion \(f\left( x \right) = \pm x\) heißt 1. bzw. 2. Mediane, wenn k=1 bzw. -1 und d=0. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung und steht im 45° Winkel zur x- und zur y-Achse.
Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft
Es gibt auch Geraden, die nicht der Graph einer linearen Funktion sind. Man spricht nicht von einer Funktion, wenn x=c. Das wäre die Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft oder speziell für x=c=0 wäre es die Gleichung der y-Achse
Steigung k
Die Steigung einer linearen Funktion ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte y=f(x) ändern, wenn sich die Argumente x ändern. Bei positivem k steigt der Graph der Funktion an, bei negativem k fällt er im Koordinatensystem von links oben nach rechts unten. Andere Bezeichnungen für k sind. Steigungsverhältnis bzw. Differenzenquotient.
Die Steigung k der linearen Funktion ist unabhängig von x, was man wie folgt zeigen kann:
\(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {k \cdot {x_2} + d} \right) - \left( {k \cdot {x_1} + d} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = k\)
Aus der konstanten Steigung folgert, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade sein muss.
Achsenabschnitt d
Der Achsenabschnitt d ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse, was man wie folgt zeigen kann:
\(f\left( {x = 0} \right) = k \cdot 0 + d = d\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=-1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=-1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach unten geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=-2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=-2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| -2 \right.} \right)\)
Intervallweise lineare Funktion
Bei intervallweise linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definierten Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. Intervallweise lineare Funktionen haben keinen durchgängigen sondern einen auf Intervalle eingeschränkten Definitionsbereich Df.
Man bezeichnet solche zusammengesetzte Teilfunktionen auch „abschnittsweise linear“ oder „stückweise linear“. Zu den intervallweise linearen Funktionen gehören die Betragsfunktion, die Signumfunktion, die Integerfunktion und die Gaußklammerfunktion.
Betragsfunktion
Die Betragsfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 2 Teilfunktionen zerlegt werden und hat eine Spitze an der Stelle f(0).
- Ist x eine positive Zahl, so ist abs x eine positive Zahl.
- Ist x = 0, so ist abs x gleich 0
- Ist x eine negative Zahl, so ist abs x der Betrag von x, also eine positive Zahl
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \left| x \right| \cr & f\left( x \right) = \operatorname{abs} x \cr & {D_f}:\left| x \right| = + x\,\,\forall x \geqslant 0\,\, \cup \,\, - x\,\,\forall x \leqslant 0 \cr}\)
Signumfunktion
Die Signumfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 3 Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an der Stelle x=0 zwei Sprungstellen. Obwohl 0 kein Vorzeichen hat, ist sgn 0 = 0.
- Ist x eine positive Zahl, so wird sgn x zu +1
- Ist x = 0, so wird sgn 0 zu 0
- Ist x eine negative Zahl, so wird sgn x zu -1
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{sgn} x \cr & {D_f}:\,\,\operatorname{sgn} x = + 1\,\,\forall x > 0\,\, \cup \,\, - 1\,\,\forall x < 0 \cr}\)
Integerfunktion
Die Integerfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert ≠ 0 annimmt eine Sprungstelle.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{int} x \cr & {D_f}:\operatorname{int} x = {\text{ganzahliger Teil von x }}\forall x \geqslant 0 \cup \forall x \leqslant 0 \cr}\)
Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion
Die Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion ordnen jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere (floor) oder nicht kleinere (ceiling) ganze Zahl zu. Beide Funktionen können in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert annimmt eine Sprungstelle.
In den beiden nachfolgenden Darstellungen wird das jeweilige Intervall durch
- einen vollen Punkt (Intervallgrenze enthalten)
- einen hohlen Punkt (Intervallgrenze nicht enthalten)
- den Strich dazwischen, für das Intervall selbst
veranschaulicht.
Abrundungs- oder Gaußklammerfunktion (floor)
Für eine reelle Zahl x ist floor x die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.
- floor(3,7)=3
- floor(-3,1)=-4
Aufrundungsfunktion (ceiling)
Für eine reelle Zahl x ist ceiling x die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist
- ceiling(3,1)=4
- ceiling(-3,7)=-3
Abschnittsweise definierte Funktion
Unter einer abschnittsweise d.h. intervallweise definierten Funktion versteht man eine, aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzte Funktion, für jeweils unterschiedliche Intervalle der Zahlengeraden.
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left] {{g_1};{g_2}} \right[}\\ {{f_2}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {{g_3};{g_4}} \right]{\rm{ }}}\\ {{f_3}\left( x \right){\rm{ mit x}} \in \left] {{g_5};{g_6}} \right[} \end{array}} \right.\)
Quadratische Funktionen (Parabeln)
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Parabel ist nach oben oder nach unten offen und nach links und rechts unbegrenzt. Der Punkt an dem die Parabel ihr Minimum annimmt heißt Scheitelpunkt. Die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(x)=f(-x).
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\)
Allgemeine Form der quadratischen Funktion
Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.
- quadratisches Glied: Ist a positiv, so ist die Parabel noch oben offen, ist a negativ, so ist die Parabel nach unten offen. Die rein quadratische Parabel hat ihren Scheitel im Ursprung.
- lineares Glied: Verschiebt den Scheitel der Parabel in Richtung der x- und y-Achse. Die Parabel verläuft aber weiterhin durch den Ursprung
- konstantes Glied: Verschiebt die Parabel in Richtung der y-Achse. Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)
\(f(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Normalform der quadratischen Funktion
Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der quadratischen Funktion.
\(f(x) = {x^2} + p \cdot x + q\)
Nullstellenform der quadratischen Funktion
Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der quadratischen Funktion genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel , also der Graph der quadratischen Funktion, überhaupt die x-Achse schneidet. Die quadratische Funktion in faktorisierter Form weist direkt die Nullstellen x1 bzw. x2 aus. Die Nullstellen der quadratischen Funktion findet man mit der abc Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird (siehe dort).
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr}\)
Beispiel:
Reinquadratische Funktion in der allgemeinen Form mit a=1 b=0 c=0
Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=1 und c=0; Durch das lineare Glied, welches einer Geraden durch den Ursprung mit einer Steigung von 45° entspricht, erhalten wir eine nach links und nach unten verschobene Gerade.
Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=0 und c=1; Durch das konstante Glied c=1 wird der Graph der Funktion um c nach oben verschoben.
Beispiel:
Reinquadratischen Funktion mit a=-1, b=0 und c=0; Wir erhalten eine nach unten offene Normalparabel, was einer Spiegelung um die x-Achse entspricht.
Gebrochenrationale Funktion
Gebrochenrationale Funktionen haben sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Polynom.
\(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\)
- Echt gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist kleiner als der Grad vom Nennerpolynom. Ein Beispiel hierfür sind die Hyperbeln.
- Unecht gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist größer oder gleich als der Grad vom Nennerpolynom.
Hyperbel n-ten Grades
Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) zu den Potenzen der Argumente x indirekt proportional. Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel. Man bezeichnet die Funktion auch als Reziprokfunktion. Achtung: unter "hyperbolischen" Funktionen versteht man spezielle Exponentialfunktionen.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}} \cr & n \in {{\Bbb N}_g} \cr}\)
Hyperbeln vom Grad n, wenn n gerade ist
Graph liegt symmetrisch zur y-Achse
Hyperbeln vom Grad n, wenn n ungerade ist
Graph liegt symmetrisch zur x-Achse
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert.
Allgemeine Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)
Einfachste Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)
wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)
- a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
- alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
- Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
- Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
- 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
- a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
- a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
- a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
- Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
- Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
- Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
- Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)
Exponentialfunktion mit Anfangswert c
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)
- c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
- der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
- 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
- \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- für dem Exponenten x gilt
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
- \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
- c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
- Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)
Wachstums- und Zerfallsprozesse
übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N0
a→e
Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:
\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)
- Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)
Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1
Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler a: Verändere die Basis
- Regler c: Verändere den Faktor
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Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert
Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)
Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)
Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)
Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & f\left( 0 \right) = {e^0} = 1 \cr & f'\left( x \right) = {e^x} \cr}\)
- Die natürliche Exponentialfunktion ist eine speziell Exponentialfunktion, nämlich mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis: \(f\left( x \right) = {e^x} = {a^x}{\text{ mit }}a = e = 2,7182818..\)
- Gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) zeichnet sich die e-Funktion durch ihre Steigung aus:
- Als einzige Funktion f(x) ist ihre Ableitung f'(x) identisch mit der Funktion selbst.
- Die Stammfunktion F(x) ist ebenfalls - die um c auf der x-Achse verschobene - Funktion f(x)
- \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = F(x) = {e^x}\)
- \(f'\left( {x = 0} \right) = {e^0};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 1} \right) = {e^1};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 2} \right) = {e^2}\)
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_1}(1\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_2}\left( {2\left| {{e^2}} \right.} \right),{\text{ usw}}.\)
- Sie ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion
- Sie dient zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen.
Natürliche Exponentialfunktion mit Anfangswert N0
Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- N0 ... Startwert, Startwert
- \(\lambda {\text{ > 0}}\) - positives l: Wachstumskonstante
- \(\lambda {\text{ < 0}}\) - negatives l: Zerfallskonstante
Natürliche Exponentialfunktion - Illustration zeigt Wachstum für \(\lambda = + 1\) bzw. Zerfall für \(\lambda = - 1\)
Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration einer natürlichen Exponentialfunktion zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
- Regler N0: Entscheidet über Startwert
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Potenzfunktionen
Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n}{\text{ }}...{\text{Potenzfunktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n}}{\text{ }}...{\text{gerade Funktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n + 1}}{\text{ }}...{\text{ungerade Funktion}} \cr}\)
Exponent | Exponent | |
n ist gerade | n ist positiv bzw. xn |
|
n ist ungerade | n ist positiv bzw. xn |
|
n ist gerade | n ist negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\) |
|
n ist ungerade | negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\) |
|
n = 0 | \(f\left( x \right) = c \cdot {x^0} = c\) |
|
Verschiebungen vom Graph zufolge von Parametern
- (x+n): Der Graph ist um n nach links, also entlang der negativen x-Achse, verschoben
- (x-n): Der Graph ist um n nach rechts, also entlang der positiven x-Achse, verschoben
- \(c \cdot {x^z} + b\): Der Graph wird nach oben, also entlang der positiven y-Achse, verschoben
- b=0: Der Graph verläuft durch den Ursprung
- \(c \cdot {x^z} - b\): Der Graph wird nach unten, also entlang der negativen y-Achse, verschoben
Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion
Potenzfunktion
Bei der Potenzfunktion fungiert die Variable x als Basis, während der Exponent n eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Potenzfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)
Exponentialfunktion
Bei der Exponentialfunktion fungiert die Variable x als Exponent, während die Basis a eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Exponentialfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)
Wurzelfunktionen
Die Wurzelfunktion ist ein Spezialfall der Potenzfunktion und kann einfach in eine entsprechende Schreibweise umgeformt werden. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x. Der Graph aller Wurzelfunktionen startet im Ursprung \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) vom Koordinatensystem und verläuft durch den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\). Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & {D_f} = {W_f} = {\Bbb R}_0^ + \cr & x \in {\Bbb R}_0^ + \cr & n \in {\Bbb N} \cr} \)
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Logarithmusfunktionen
Die Logarithmusfunktion \({}^a\operatorname{logx} \) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=ax . Alle Logarithmusfunktionen verlaufen rechts von der y-Achse und durch den gemeinsamen Punkt (1|0). Logarithmusfunktionen sind nur für den Bereich x>0 definiert. Der Definitionsbereich aller Logarithmusfunktionen ist \(\mathbb{R}^+\), der Wertebereich ist \(\mathbb{R}\) und sie haben alle x0=1 als Nullstelle.
Die y-Achse bildet eine Asymptote und die Nullstelle liegt an der Stelle x=1. Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist die Exponentialfunktion. Die häufigste Logarithmusfunktion ist jene mit der Basis e (Euler'sche Zahl e=2,7182), die natürliche Logarithmusfunktion ln.
\(f\left( x \right) = {}^a\log x = {\log _a}x \)
\(\eqalign{ & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\} \cr & x \in {{\Bbb R}^ + } \cr}\)
speziell:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^2\log x = \operatorname{lb} x \cr & f\left( x \right) = {}^e\log x = \ln x \cr & f\left( x \right) = {}^{10}\log x = \lg x \cr} \)
- \(a < 0\): Der Logarithmus ist für einen negativen Numerus nicht definiert
- \(0 < a < 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton fallend
- \(a = 1\): Der Logarithmus ist für die Basis = 1 nicht definiert
- \(a > 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton steigend
Aufgaben
Aufgabe 122
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
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Aufgabe 123
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine reellwertige Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
Anmerkung: Der Graph nähert sich asymptotisch der negativen x-Achse an.
- Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
Aufgabe 242
Parameter einer quadratischen Funktion
In einem Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion dargestellt.
Es gilt: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) mit b=0 und \({\text{a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Ermittle die Werte der Parameter a und c. Die dafür erforderlichen Punkte - wähle solche mit ganzzahligen Koordinaten - sind im Koordinatensystem abzulesen.
Aufgabe 243
Geschwindigkeiten im Weg-Zeit Diagramm
Das nachfolgende Weg-Zeit Diagramm zeigt das Flugverhalten einer Stubenfliege.
Geschwindigkeit | |
\({v_{Fliege}} = 0\,\,m/s\) | A |
\({v_{Fliege}} = 1\,\,m/s\) | B |
\({v_{Fliege}} = 2\,\,m/s\) | C |
\({v_{Fliege}} = 2,5\,\,m/s\) | D |
\({v_{Fliege}} = 5\,\,m/s\) | E |
Aufgabenstellung:
Ordne jedem Zeitintervall jene Geschwindigkeit (aus A bis F) zu, die dem jeweiligen Flugverhalten der Fliege entspricht.
Zeitintervall | Deine Antwort |
\(\left[ {0;\,2} \right]\) | |
\( \left[ {2;\,3} \right]\) | |
\(\left[ {3;\,4,5} \right]\) | |
\(\left[ {4,5;\,10} \right]\) |