Exponentielles Wachstum
Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt x in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentuell) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t).
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Wachstum
Unter Wachstum versteht man den Anstieg einer Messgröße im Verlauf der Zeit.
- Positivwachstum: Zunahme
- Negativwachstum: Abnahme, Zerfall oder Schrumpfung
- Nullwachstum: über den Zeitverlauf hinweg bleibt die Messgröße konstant
Wir unterscheiden folgende Wachstumsmodelle
- Lineare Wachstumsmodelle
- Exponentielle Wachstumsmodelle
- Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle
- Logistische Wachstumsmodelle
Lineare Wachstumsmodelle
Bei linearen Wachstumsmodellen kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, nur in der 1. Potenz vor. In gleichen Zeitschritten, erfolgen gleiche absolute Änderungen. Die Wachstumsrate ist konstant. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
\(f\left( t \right) = kt + d\)
| d | Anfangswert an der Stelle t=0 |
| k | Wachstumswert |
Diskretes lineares Wachstumsmodell
Beim diskreten linearen Wachstumsmodell bleibt die absolute Änderung pro Schritt konstant.
\(\Delta {y_n} = {\text{k wobei: k}} \in {\Bbb R}\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\)
- Explizite Form: \({y_n} = {y_0} + n \cdot k\)
Kontinuierliches lineares Wachstumsmodell
Beim kontinuierlichen linearen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate konstant und unabhängig von jeweils aktuellen Wert.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k{\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} + k \cdot t \cr}\)
Exponentielle Wachstumsmodelle
Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentual) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t). Charakteristisch ist die am Anfang langsame, dann zunehmend schneller werdende Zunahme, die letztlich explosionsartig schnell wird (Kettenprozesse). Unbegrenzt exponentielles Wachstum kann es in der Natur nicht geben. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
- exponentielles Wachstum:
\(N(t) = {N_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t}} = {N_0} \cdot {b^t}{\text{ mit }}\lambda {\text{ = ln}}\left( b \right)\)
- exponentielle Abnahme:
\(N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)
mit
- N0 .. Startwert oder Anfangsbestand
- b ... Wachstumsfaktor
-
\(\lambda > 0\)
Diskretes exponentielles Wachstumsmodell
Beim diskreten exponentiellen Wachstumsmodell ist die relative Änderung pro Schritt konstant. Die Wachstumsrate ist proportional zum Bestand.
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = k{\text{ wobei: }}k \in {\Bbb R}\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = \left( {1 + k} \right) \cdot {y_n}\)
- Explizite Form: \({y_n} = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^n}\)
Kontinuierlich exponentielles Wachstumsmodell
Beim kontinuierlichen exponentiellen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate proportional zum jeweils aktuellen Wert.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k \cdot y\left( t \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^t} \cr}\)
Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle
Bei beschränkten Wachstumsmodellen gibt es einen das Wachstum beschränkenden Wert S, wodurch das Wachstum nach oben oder nach unten beschränkt wird. Es handelt sich um ein sogenanntes Sättigungsmodell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze. Charakteristisch ist die Anfangs explosionsartig, dann zunehmend langsamer werdende Zunahme, die letztlich völlig abklingt und einer endlichen Obergrenze zustrebt. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
- beschränktes exponentielles Wachstum:
\(N\left( t \right) = S - a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\) - beschränktes exponentielle Abnahme:
\(N\left( t \right) = S + a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)
mit:
- S ... Sättigungswert
- a=|S-N0|
Kontinuierlich beschränktes Wachstumsmodell
Beim kontinuierlich beschränkten Wachstumsmodell (z.B.: gemäß Logarithmusfunktionen) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes alle Zwischenwerte auftreten
\(f\left( x \right) = S - \left( {S - k} \right){e^{ - cx}}\)
Als Maß für die Steigung dient die 1. Ableitung
\(f'\left( x \right) = c \cdot \left( {S - f\left( x \right)} \right)\)
wobei: k=f(0)
Diskret beschränktes Wachstumsmodell
Beim diskreten beschränkten Wachstumsmodell (z.B. Verkaufte Stückzahl von einem Produkt) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes nur eine endliche Anzahl an diskreten Zwischenwerten auftreten.
mit S als Sättigungswert:
\(\Delta {y_n} = k \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\left( {S - {y_n}} \right)\)
- Explizite Form: \({y_n} = S - \left( {S - {y_0}} \right) \cdot {\left( {1 - k} \right)^n}\)
Logistische Wachstumsmodelle
Logistische Wachstumsmodelle sind eine Kombination aus exponentiellem und beschränktem Modell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional zum jeweiligen Wert N(t) und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze S.
Kontinuierlich logistisches Wachstumsmodell
Beim kontinuierlich logistischen Wachstumsmodell wächst der Bestand N(t) ausgehend von einem Startwert bzw. Anfangsbestand N0 zur Zeit t=0 zunächst exponentiell, wobei der s-förmige Graph dann einen Wendepunkt hat, ab dem sich das Wachstum abschwächst um sich einem Sättigungswert S anzunähern. Der Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion liegt immer beim halben Sättigungswert. Im Wendepunkt einer Funktion hat diese das größte Wachstum.
\(N\left( t \right) = \dfrac{{{N_0} \cdot S}}{{{N_0} + \left( {S - {N_0}} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + \left( {\dfrac{S}{{{N_0}}} - 1} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + c \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}}}\)
- N(t) ... Bestand zur Zeit t
- N0 ... Anfangsbestand, Bestand zur Zeit t=0, Startwert N(0)
- k ... Wachstumskonstante
- S ... Sättigungswert, -schranke, -grenze
Abbildung zur Veranschaulichung der Zusammenhänge bei logistischem Wachstum
Bild
Beispiel Grippe: Einige Touristen N0 bringen Grippeviren ins Land. Schnell infizieren sich immer mehr Menschen. Auf Grund von Immunisierung und dem Umstand dass die Wahrscheinlichkeit dass ein kranker Mensch einem noch gesunden Menschen begegnet mit Zunehmender Ausbreitung immer kleiner wird, bremst sich der Zuwachs zunehmend ein, sodass am Ende der Epidemie eine bestimmte Anzahl der Bevölkerung S angesteckt ist. Die maximale Anzahl an Grippekranken ist natürlich mit 100% der Bevölkerung nach oben begrenzt.
Diskretes logistisches Wachstumsmodell
Beim diskreten logistischen Wachstumsmodell ist die absolute Änderung je Schritt proportional zum jeweiligen Wert und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze.
\(\Delta {y_n} = k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
Rekursive Form:
\({y_{n + 1}} = {y_n} + k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
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Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & f\left( 0 \right) = {e^0} = 1 \cr & f'\left( x \right) = {e^x} \cr}\)
- Die natürliche Exponentialfunktion ist eine speziell Exponentialfunktion, nämlich mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis: \(f\left( x \right) = {e^x} = {a^x}{\text{ mit }}a = e = 2,7182818..\)
- Gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) zeichnet sich die e-Funktion durch ihre Steigung aus:
- Als einzige Funktion f(x) ist ihre Ableitung f'(x) identisch mit der Funktion selbst.
- Die Stammfunktion F(x) ist ebenfalls - die um c auf der x-Achse verschobene - Funktion f(x)
- \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = F(x) = {e^x}\)
- \(f'\left( {x = 0} \right) = {e^0};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 1} \right) = {e^1};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 2} \right) = {e^2}\)
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_1}(1\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_2}\left( {2\left| {{e^2}} \right.} \right),{\text{ usw}}.\)
- Sie ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion
- Sie dient zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen.
Natürliche Exponentialfunktion mit Anfangswert N0
Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- N0 ... Startwert, Startwert
- \(\lambda {\text{ > 0}}\) - positives l: Wachstumskonstante
- \(\lambda {\text{ < 0}}\) - negatives l: Zerfallskonstante
Natürliche Exponentialfunktion - Illustration zeigt Wachstum für \(\lambda = + 1\) bzw. Zerfall für \(\lambda = - 1\)
Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration einer natürlichen Exponentialfunktion zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
- Regler N0: Entscheidet über Startwert
Wenn Du obigem Link folgst, verlässt Du unsere Website. Die Website des Fremdanbieters wird sich in einem neuen Fenster öffnen.
Aufgaben
Aufgabe 4012
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohmilchproduktion - Aufgabe A_252
Teil c
In Österreich produzierte Rohmilch enthält unmittelbar nach dem Melken durchschnittlich 20 000 Keime pro Milliliter (ml). Ein Modell geht davon aus, dass sich die Anzahl der Keime alle 25 Minuten verdoppelt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie, dass die unten angegebene Funktion N nicht diesem Modell entspricht.
[1 Punkt]
\(N\left( t \right) = 20\,\,000 + 800 \cdot t\)
mit
| t | Zeit nach dem Melken in min |
| N(t) | Anzahl der Keime pro ml zur Zeit t |
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Aufgabe 1415
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Volumen eines Drehkegels
Das Volumen V eines Drehkegels hangt vom Radius r und der Hohe h ab. Es wird durch die Formel \(V = \dfrac{1}{3} \cdot {r^2} \cdot \pi \cdot h\) beschrieben.
Eine der untenstehenden Abbildungen stellt die Abhängigkeit des Volumens eines Drehkegels vom Radius bei konstanter Höhe dar.
- Aussage 1:
- Aussage 2:
- Aussage 3:
- Aussage 4:
- Aussage 5:
- Aussage 6:
Aufgabenstellung:
Eine der obenstehenden Abbildungen stellt die Abhängigkeit des Volumens eines Drehkegels vom Radius bei konstanter Höhe dar. Kreuzen Sie die entsprechende Abbildung an!
Aufgabe 1531
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum einer Population
Die Größe einer Population wird in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der Funktion N mit \(N(t) = {N_0} \cdot {e^{0,1188 \cdot t}}\) beschrieben, wobei die Zeit t in Stunden angegeben wird. Dabei bezeichnet N0 die Größe der Population zum Zeitpunkt t=0 und N(t) die Größe der Population zum Zeitpunkt \(t \geqslant 0\).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie denjenigen Prozentsatz p, um den die Population pro Stunde wächst!
p≈ ___ %
Aufgabe 1340
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum
Die Funktion f beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess der Form \(f\left( t \right) = c \cdot {a^t}\) in Abhängigkeit von der Zeit t.
| t | f(t) |
| 0 | 400 |
| 1 | 600 |
| 2 | f(2) |
| 3 | f(3) |
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie für t = 2 und t = 3 die Werte der Funktion f!
f(2) =
f(3) =
Aufgabe 1085
AHS - 1_085 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Relative und absolute Zunahme
Die Formel \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}{\text{ mit }}a > 1\) beschreibt ein exponentielles Wachstum.
- Aussage 1: Die relative Zunahme ist in gleichen Zeitintervallen gleich groß.
- Aussage 2: Die absolute Zunahme ist in gleichen Zeitintervallen gleich groß.
- Aussage 3: Die relative Zunahme ist unabhängig von N0.
- Aussage 4: Die relative Zunahme ist abhängig von a.
- Aussage 5: Die absolute Zunahme ist abhängig von a.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1142
AHS - 1_142 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verdoppelungszeit
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Exponentialfunktion f mit \(f\left( t \right) = a \cdot {b^t}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie mithilfe des Graphen die Größe der Verdoppelungszeit!
Aufgabe 1020
AHS - 1_020 & Lehrstoff: FA 5.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentielle Abnahme
Die angegebenen Funktionsgleichungen beschreiben exponentielle Zusammenhänge.
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {1,2^x}\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{0,2x}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^x}\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {0,2^{ - x}}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,2x}}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Funktionsgleichungen an, die eine exponentielle Abnahme beschreiben!
Aufgabe 1278
AHS - 1_278 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstumsprozesse
Zur Beschreibung von Wachstumsvorgängen aus der Natur bzw. dem Alltag können oft Exponentialfunktionen herangezogen werden.
- Aussage 1: Ein Sparbuch hat eine Laufzeit von 6 Monaten. Eine Spareinlage wird mit 1,5 % effektiven Zinsen pro Jahr, also 0,125 % pro Monat, verzinst. Diese werden ihm allerdings erst nach dem Ende des Veranlagungszeitraums gutgeschrieben. [Modell für das Kapitalwachstum in diesem halben Jahr]
- Aussage 2: Festverzinsliche Anleihen garantieren einen fixen Ertrag von effektiv 6 % pro Jahr. Allerdings muss der angelegte Betrag 5 Jahre gebunden bleiben. [Modell für das Kapitalwachstum über diese 5 Jahre]
- Aussage 3: Haare wachsen pro Tag ca. 1/3 mm. [Modell für das Haarwachstum]
- Aussage 4: Milchsäurebakterien vermehren sich an heißen Tagen abhängig von der Außentemperatur um 5 % pro Stunde. [Modell für die Vermehrung der Milchsäurebakterien]
- Aussage 5: Die Sonneneinstrahlung auf einen Körper wird stärker, je höher die Sonne über den Horizont steigt. [Modell für die Steigerung der Sonneneinstrahlung abhängig vom Winkel des Sonneneinfalls (zur Horizontalen gemessen)]
Aufgabenstellung
Welche der nachstehend angeführten Fallbeispiele werden am besten durch eine Exponentialfunktion modelliert? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Beispiele an!
Aufgabe 1023
AHS - 1_023 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentielles Wachstum
Die Funktion f mit \(f\left( x \right) = 100 \cdot {2^x}\) beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess. Wie verändert sich der Funktionswert, wenn x um 1 erhöht wird?
Der Funktionswert f(x+1) ist ...
- Aussage 1: um 1 größer als f(x)
- Aussage 2: doppelt so groß wie f(x)
- Aussage 3: um 100 größer als f(x)
- Aussage 4: um 200 größer als f(x)
- Aussage 5: um 100% größer als f(x)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1820
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum einer Sonnenblume
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume wurde über einige Wochen jeweils zu Wochenbeginn gemessen. Zum Messbeginn t = 0 hatte die Sonnenblume die Höhe H0 = 5 cm.
Für jeden Zeitpunkt t (mit 0 ≤ t ≤ 5) gibt Ht die Höhe der Sonnenblume an. Die nachstehende Tabelle zeigt die (gerundeten) Messergebnisse für die Höhe der Sonnenblume für die ersten 5 Wochen.
|
Zeit t (in Wochen nach Messbeginn) |
Höhe der Sonnenblume Ht (in cm) |
| 1 | 36 |
| 2 | 68 |
| 3 | 98 |
| 4 | 128 |
| 5 | 159 |
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die absolute wöchentliche Zunahme der Höhe der Sonnenblume ist _____1_____ ; die Hohe der Sonnenblume Ht kann daher näherungsweise durch eine Differenzengleichung der Form _____2_____ beschrieben werden.
- Aussage 1: immer geringer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 2: immer größer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 3: annähernd konstant
- Gleichung 1: \({H_{t + 1}} = {H_t} \cdot \left( {1 + k} \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 2: \({H_{t + 1}} = {H_t}{\text{ + k mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 3: \({H_{t + 1}} = {H_t} + r \cdot \left( {k - {H_t}} \right){\text{ mit }}k,r \in {\Bbb R}{\text{ und }}0 < r < 1\)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Aufgabe 4247
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pflanzenwachstum - Aufgabe A_292
Teil c
Die Höhe einer bestimmten Pflanze wird täglich zu Mittag gemessen. Zu Beobachtungsbeginn hat die Pflanze die Höhe H0. Sie wachst um 0,5 % pro Tag bezogen auf die Höhe des jeweils vorangegangenen Tages.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von H0 eine Formel zur Berechnung der Höhe H dieser Pflanze 10 Tage nach Beobachtungsbeginn.
H =
[1 Punkt]
Aufgabe 4415
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sozialausgaben - Aufgabe B_481 & B_482
Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.
Teil b
Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).
| Jahr | Sozialausgaben in Milliarden € |
| 1990 | 35,5 |
| 1995 | 51,0 |
| 2000 | 59,8 |
| 2005 | 71,2 |
| 2010 | 87,8 |
| 2015 | 102,5 |
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
(nur HAK)
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:
\(\root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} - 1 \approx 0,043\)
Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen. Dieses Modell soll durch eine Funktion S2 beschrieben werden.
| t | Zeit ab 2015 in Jahren |
| S2(t) | Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S2.
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015.
[1 Punkt]