Natürlicher Logarithmus

Logarithmen - Grundbegriffe

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Logarithmieren

Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist. Der Logarithmus von b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.

\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}\left( b \right){ = ^a}\log b\)

Beispiel: Berechne x

\(\eqalign{ & {5^x} = 125 \cr & x{ = ^5}\log 125 = 3 \cr} \)

Äquivalente Schreibweisen für Logarithmen

\(^a\log {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}\left( b \right)\)

Zusammenhang zwischen den Exponentialfunktionen und den allgemeinen Logarithmusfunktionen

Logarithmen sind die Umkehrfunktion zu Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \ne 1\) bildet das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\)streng monoton auf das Intervall des Wertebereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) ab. Daher existiert eine Umkehrfunktion \(g\left( x \right)\) genannt Logarithmus zur Basis a, welche das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) auf das Intervall ihres Wertebereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\) stetig abbildet.

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Bezeichnungen beim Logarithmieren

Ein Logarithmus wird durch seine Basis a und seinen Numerus b bestimmt. Für die Basis a sind 10, die eulersche Zahl e und 2 üblich.

Praktischer Nutzen von Logarithmen

Logarithmen sind in der Wissenschaft und Technik weit verbreitet. Sie ermöglichen

• große Zahlenbereiche mittels logarithmischer Skalen kompakt darzustellen
• einfache Lösungen für Gleichung mit Exponentialfunktionen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert
• Intensitäten und Verhältnisse, wie die Lautstärke, den pH-Wert, den Signal-zu-Rauschabstand anschaulich auszudrücken
• exponentielles Wachstum als linearen Anstieg darzustellen.
  \(\eqalign{ & y = a \cdot {e^{k \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( y \right) = \ln \left( a \right) + k \cdot t \cr} \)
  wobei a der Anfangswert und k die Wachstumsrate ist
• den Grad von Gleichungen zu senken (Potenzieren → Multiplizieren; Multiplizieren → Addieren). Diese Rechenerleichterung erlaubte vor der Erfindung des Computers eine dramatische Vereinfachung und Reduzierung von Rechenfehlern bei Berechnungen in der Astronomie und in der Navigation), erforderte aber den Einsatz von vorab erstellten, von der konkreten Aufgabenstellung unabhängigen, Logarithmustafeln bzw. eines Rechenschiebers.

Unterscheidung von Logarithmen nach deren Basis

Es ist möglich die Basis vom Logarithmus frei zu wählen. Es ist aber üblich für die Basis entweder 10, die Eulersche Zahl e, oder 2 zu wählen

Allgemeiner Logarithmus von b zur Basis a​

Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Diese Form vom Logarithmus ist zwar allgemein, hat aber kaum praktische Bedeutung im Vergleich um dekadischen und zum natürlichen Logarithmus.

\(\eqalign{ & {}^a\log b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\};\,\,b \in {{\Bbb R}^ + }\, \cr}\)

\({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) ist die eindeutige Lösung der Gleichung \({b^x} = a\) . Den Zahlenwert vom allgemeinen Logarithmus, für den es keine Logarithmentafeln aber auch keine separate Taste am Taschenrechner gibt, kann man berechnen, indem man den Logarithmus vom Numerus b durch den Logarithmus der Basis a dividiert.

\(^a\log b = \dfrac{{\ln b}}{{\ln a}} = \dfrac{{\lg b}}{{\lg a}} = \dfrac{{{\text{lb}}(b)}}{{{\text{lb}}(a)}}\)

Beispiel:

\({}^2\log16 = x;\)

... folgende Umrechnung vereinfacht die Berechnung, sollte man keinen modernen Taschenrechner zur Hand haben:

\(x = \dfrac{{\ln 16}}{{\ln 2}} = \dfrac{{\lg 16}}{{\lg 2}} = \dfrac{{lb\left( {16} \right)}}{{lb\left( 2 \right)}} = 4\)

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus hat die eulersche Zahl e=2,71828 als Basis.
Der Logarithmus naturalis ln(x) ist die Umkehrfunktion der eulerschen Funktion e^x. Beide Funktionen kommt in den Ingenieurwissenschaften auf Grund der Eulerschen Formel zentrale Bedeutung zu.

\({e^{j\varphi }} = \cos \left( \varphi \right) + i \cdot \sin \left( \varphi \right)\)

Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi \) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten j einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits.

\(\eqalign{ & {\text{Basis = e: }}{\log _e}\left( b \right) = \ln \left( b \right) \cr & {D_f} = {{\Bbb R}^ + } \cr & {W_f} = {\Bbb R} \cr & \ln \left( 0 \right){}...{\text {nicht definiert}} \cr & {\text{ln}}\left( 1 \right) = 0 \cr & \ln (e) = 1 \cr} \)

Dekadischer Logarithmus

Der dekadische Logarithmus hat die Zahl 10 als Basis und da wir mit einem 10-er System rechnen, wurde er früher bevorzugt durch umfangreiche Logarithmentafeln unterstützt.

 \({\text{Basis = 10: }}{}^{10}\log b = \lg b\)

Es ist zweckmäßig für die Basis b=10 zu wählen, denn dann kann man Logarithmen mit beliebiger Basis leicht berechnen.

\({}^b\log x = {}^a\log x \cdot {}^b\log a\,\, \Leftrightarrow \,\,{}^a\log x = \dfrac{{{}^b\log x}}{{{}^b\log a}}\)

Wichtige Werte:

\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 1 \right) = 0 \cr & {\log _{10}}\left( {10} \right) = 1 \cr & {\log _{10}}\left( {100} \right) = 2 \cr & {\log _{10}}\left( {1.000} \right) = 3 \cr} \)

Zusammenhang dekadischer Logarithmus und natürlicher Logarithmus

Bei der Umrechnung vom dekadischen auf den natürlichen Logarithmus erfolgt ein Wechsel der Basis von 10 auf e=2,718

\({}^a\log x = \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}\)

Binärer Logarithmus

Der binäre Logarithmus hat die Zahl 2 als Basis.

\({\rm{Basis = 2: }}{{\rm{\;}}^2}\log b = {\rm{lb}}\left( b \right)\)

In der Informatik werden Daten in Form von Binärzahlen dargestellt, wobei jedes Bit entweder den Wert 0 oder 1 annehmen kann. Der binäre Logarithmus wird verwendet, um die Anzahl der Bits zu bestimmen, die benötigt werden, um einen bestimmten maximalen dezimalen Zahlenbereich binär darzustellen. Zum Beispiel benötigt die Darstellung vom dezimalen Zahlenbereich 0 .. 255, also 256 verschiedene Zustände, 8 Bit. 

Beipiel

\({\text{lb}}(256) = 8\)

Logarithmentafeln

Logarithmentafeln waren vor der Verbreitung von Taschenrechnern oder Computer Algebra Systemen (CAS) ein wichtiges Werkzeug der Mathematik und der Naturwissenschaften. Dabei handelt es sich um vorab berechnete Tabellen, welche die Werte von Logarithmen, insbesondere von dekadischen oder natürlichen Logarithmen, für verschiedene Zahlen enthalten.

Indem man in diesen Tabellen den Wert von x sucht, kann man den entsprechenden Logarithmus lg(x) bzw. ln(x) ablesen und umgekehrt.

Beispiel zur Verwendung von Logarithmustafeln mit lg

Führe \(81 \cdot 243\) auf eine Addition von dekadischen Logarithmen lg zurück und berechne unter Verwendung einer Logarithmentafel

\(\begin{array}{l} x = 81 \cdot 243\,\,\,\,\,\left| {\lg } \right.\\ \lg \left( x \right) = \lg \left( {81 \cdot 243} \right) = \\ = \lg \left( {81} \right) + \lg \left( {243} \right) \end{array}\)

Ein Blick in die Logarithmustafel liefert:

\(\begin{array}{l} \lg \left( {81} \right) \approx 1,908485\\ \lg \left( {243} \right) \approx 2,385606\\ \\ \lg \left( x \right) \approx 1,908485 + 2,385606 \approx 4,294091 \end{array}\)

Ein Blick in die "umgekehrt" gelesene Logarithmustafel liefert:

\(\begin{array}{l} 4,294091 = \lg \left( {19683} \right) = \lg \left( x \right)\\ x = 19683 \end{array}\)

Historisch wurden insbesondere Tafeln für dekadische Logarithmen verwendet. Das nachfolgende Beispiel mit dem natürlichen Logarithmus veranschaulicht lediglich, dass das Prinzip unabhängig von der Basis funktioniert.

Beispiel zur Verwendung von Logarithmustafeln mit ln

Führe \(81 \cdot 243\) auf eine Addition von natürlichen Logarithmen ln zurück und berechne unter Verwendung einer Logarithmentafel

\(\begin{array}{l} x = 81 \cdot 243\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\ \ln \left( x \right) = \ln \left( {81 \cdot 243} \right) = \\ = \ln \left( {81} \right) + \ln \left( {243} \right) \end{array}\)

Ein Blick in die Logarithmustafel liefert:

\(\begin{array}{l} \ln \left( {81} \right) \approx 4,394449\\ \ln \left( {243} \right) \approx 5,493061\\ \\ \ln \left( x \right) \approx 4,394449 + 5,493061 \approx 9,887510 \end{array}\)

Ein Blick in die "umgekehrt" gelesene Logarithmustafel liefert:

\(\begin{array}{l} 9,887510 = \ln \left( {19683} \right) = \ln \left( x \right)\\ x = 19683 \end{array}\)

Logarithmen erleichterten komplexe Berechnungen, insbesondere bei Multiplikationen, Divisionen, Potenzierung und beim Wurzelziehen, so wie sie in der Astronomie und der Navigation häufig vorkommen. Heute erledigen Taschenrechner oder CAS diese Aufgabe.

Logarithmische Skala

Logarithmische Skalen werden verwendet, wenn der Wertebereich der darzustellenden Größe viele Zehnerpotenzen umfasst. Auf einer logarithmischen Skala werden Werte, die sich in gleichen Zeiträumen verzehnfachen als Gerade dargestellt. Kleine Werte sind genauer ablesbar als große Werte.

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Dabei ergibt 10 hoch dem dekadischen Wert den entsprechenden logarithmischen Wert.

\(\begin{gathered} {10^0} = 1 \hfill \\ {10^1} = 10 \hfill \\ {10^2} = 100 \hfill \\ ... \hfill \\ {10^7} = 10.000.000 \hfill \\ \end{gathered} \)

Beispiele für logarithmische Skalen:

• Lautstärken misst man in Dezibel, wobei der leiseste hörbare Ton mit 0dB definiert ist. Ein 10-mal größerer Schalldruck ist mit 10dB definiert und ein 100-mal größerer Schalldruck ist mit 20 dB definiert....
• Das Spektrum elektromagnetischer Wellen reicht von 10⁰ Hz bis 10²³ Hz. 
• Aktienkurse, die alle 10 Jahre ihren Wert verzehnfachen, haben einen linear verlaufenden Graph, wenn die Zeitachse linear und die Werteachse logarithmisch beschriftet ist.
• Potenzfunktionen werden als Gerade dargestellt, wenn sowohl die x- als auch die y-Achse logarithmisch beschriftet sind.

Der Rechenschieber – Rechnen mit logarithmischen Skalen

Bevor elektronische Taschenrechner selbstverständlich wurden, mussten viele Berechnungen mit anderen Hilfsmitteln durchgeführt werden.

Schon seit der Antike wurden trigonometrische Werte in Tabellen zusammengestellt. Seit dem frühen 17. Jahrhundert kamen Logarithmentafeln hinzu. In umfangreichen Tabellenwerken konnte man vorberechnete Werte nachschlagen und anschließend in die eigene Rechnung einsetzen.

Der Rechenschieber ging einen entscheidenden Schritt weiter: Er machte mathematische Zusammenhänge durch die Anordnung seiner Skalen unmittelbar für Berechnungen nutzbar. Multiplikationen und Divisionen, Potenzen und Wurzeln sowie logarithmische und trigonometrische Berechnungen ließen sich damit schnell und ohne schriftliche Zwischenrechnung ausführen.

Geräte wie der ARISTO TRILOG 0908, der nachfolgend beschrieben wird, kann man deshalb als Bindeglied zwischen der Welt der mathematischen Tabellen und dem elektronischen Taschenrechner verstehen.

Während man in einer Tabelle Ergebnisse nachschlägt und der Taschenrechner sie elektronisch berechnet, macht der Rechenschieber mathematische Funktionen als Abstände auf Skalen nutzbar.

1972 brachte Hewlett-Packard den HP-35 (weil er 35 Tasten hatte) auf den Markt, den weltweit ersten populären wissenschaftlichen Taschenrechner, der gezielt als Ersatz für den klassischen Rechenschieber entwickelt wurde. Die Anschaffungskosten von 395 US-Dollar entsprechen heute etwa einer Summe von 3.000 Euro womit er für Schüler und Studenten nicht finanzierbar war.  

1979 folgten die programmierbaren Taschenrechner der HP-41 Serie, für wissenschaftliches Rechnen mit alphanumerischer Anzeige, sodass aus gespeicherten Tastendruckabfolgen selbst programmierbare Programme mit Variablennamen, Eingabeaufforderungen und Textausgaben möglich wurden. Damit mussten Ingenieure häufig benötigte Formeln nicht jedes Mal neu eintippen.

Abbildung: Taschenrechner HP 41CX

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1985 brachte Casio mit dem fx-7000G den ersten wissenschaftlichen Grafikrechner heraus, der Funktionen nicht nur numerisch berechnete, sondern unmittelbar als Graphen darstellte.

Die Konkurrenz zwischen HP. TI und Casio sorgte für einen raschen technischen Fortschritt und einen erheblichen Preisverfall.

So verlor der Rechenschieber innerhalb weniger Jahre seine zentrale Bedeutung.

Der Rechenschieber in der Praxis der 1950-er, -60-er und der -70er-Jahre

In den 1950-er Jahren wurden weltweit über 1 Million Rechenschieber pro Jahr erzeugt und bis in die späten 1970er-Jahre gehörte der Rechenschieber zum alltäglichen Handwerkszeug vieler Schüler, Studenten, Techniker, Ingenieure und Naturwissenschaftler. Seine Vorteile gegenüber Tabellenbüchern waren Leistungsfähigkeit, Geschwindigkeit, Portabilität und Kosten.

Eingesetzt wurde er überall dort, wo rasch mit technisch ausreichender Genauigkeit gerechnet werden musste, wie bei Multiplikationen und Divisionen, Verhältnisrechnungen, Quadrat- und Kubikwurzeln, Potenzen, trigonometrischen Berechnungen sowie in Formeln aus Geometrie, Physik und Technik.

Typische Aufgaben waren beispielsweise das Berechnen von Flächen und Volumina, Kräften und Leistungen, elektrischen Größen oder Seiten und Winkeln von Dreiecken.

Seine begrenzte Genauigkeit war dabei häufig kein entscheidender Nachteil, weil auch Messwerte in der Praxis nur eine begrenzte Zahl signifikanter Stellen besaßen. Der Benutzer musste jedoch selbst die geeignete Skala auswählen, die Größenordnung abschätzen und den Dezimalpunkt bestimmen.

Das Prinzip hinter den Skalen vom ARISTO TRILOG 0908

Die Skalen sind geometrisch dargestellte mathematische Funktionen. Die Skalen C und D verwandeln Multiplikation und Division in Addition und Subtraktion logarithmischer Strecken; Die Skalen A, B und K stellen Potenzen dar, die Skalen CI und BI Kehrwerte, die Skalen S, T und ST trigonometrische Funktionen, P den Satz des Pythagoras, L Logarithmen und LL Exponential- und Potenzfunktionen.

Der Benutzer musste dafür allerdings selbst die passende Skala wählen, die Größenordnung des Ergebnisses abschätzen und den Dezimalpunkt bestimmen. Der Rechenschieber nahm ihm das Rechnen ab, nicht aber das mathematische Denken.

Abbildung: Rechenschieber ARISTO TRILOG 0908

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Ablesebeispiele:

\(\eqalign{ & {\text{Skala T1}}:{31,3^ \circ } \to \cr & {\text{Skala D Zahlenfolge: 608}} \to \tan ({31,3^ \circ }) \approx 0,608 \cr & \cr & {\text{Skala T1 - rot}}{\text{, rückläufig}}:{58,75^ \circ } \to \cr & {\text{Skala D Zahlenfolge: 608}} \to \cot ({58,75^ \circ }) \approx 0,608 \cr & \cr & {\text{Skala S}}:{37,5^ \circ } \to \cr & {\text{Skala D Zahlenfolge: 608}} \to \sin ({37,5^ \circ }) \approx 0,608 \cr & \cr & {\text{Skala S - rot}}{\text{, rückläufig}}:{52,5^ \circ } \to \cr & {\text{Skala D Zahlenfolge: 608}} \to \cos ({52,5^ \circ }) \approx 0,608 \cr & \cr & {\text{Skala T2}}:{80,68^ \circ } \to \cr & {\text{Skala D Zahlenfolge: 608}} \to \tan ({80,68^ \circ }) \approx 6,08 \cr & \cr & {\text{Skala D}}:6,08 \to \cr & {\text{Skala A Zahlenfolge: 37}} \to {6,08^2} = 37 \cr & \cr & {\text{Skala A}}:37 \to \cr & {\text{Skala D Zahlenfolge: 608}} \to \sqrt {37} \approx 6,08 \cr} \)

Die 22 Skalen des ARISTO TRILOG 0908

Vorderseite – obere Körperleiste

T1 – Tangens/Kotangens.

Die T1-Skala liefert Tangenswerte für Winkel von 5,5° bis 45°; die rote, rückläufige Bezifferung liefert gleichzeitig den Kotangens von 45° bis 84,5°. Mit dem Läufer wird der Winkel auf T1 eingestellt und der zugehörige Wert über der Grundskala abgelesen. Mathematisch nutzt die Skala \(\cot \alpha = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)\) 

und ordnet die Winkel so an, dass ihre Tangenswerte zu den logarithmischen Grundskalen passen. Damit lassen sich beispielsweise aus einem Winkel und einer bekannten Kathete die übrigen Größen eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen.

T2 – Tangens/Kotangens.

Die T2-Skala setzt den Tangensbereich von 45° bis 84,5° fort; die rote, rückläufige Bezifferung liefert den Kotangens für 5,5° bis 45°. Die Bedienung erfolgt analog zu T1: Winkel einstellen und den zugehörigen Wert über die Grundskala ablesen. Eine zweigeteilte Tangensskala ist nötig, weil \(\tan \alpha {\text{ ab }}45^\circ {\text{ bzw }}\tan 45^\circ = 1\) beim Annähern an 90° gegen unendlich wächst. Durch T1 und T2 lässt sich dieser große Wertebereich auf der begrenzten Länge des Rechenstabs sinnvoll darstellen.

A – Quadratskala x².

Die A-Skala dient zum schnellen Quadrieren und Quadratwurzelziehen. Dazu stellt man den Läufer beispielsweise auf einen Wert der D-Skala und liest sein Quadrat auf A ab – oder geht für die Quadratwurzel den umgekehrten Weg. Dahinter steckt \(\log \left( {{x^2}} \right) = 2 \cdot \log x\).  Die A-Skala enthält deshalb auf derselben Länge zwei logarithmische Dekaden, während D eine durchläuft. So entspricht etwa 3 auf D dem Wert 9 auf A. Quadrate und Wurzeln werden insbesondere bei geometrischen und physikalischen Berechnungen benötigt.

Vorderseite – Zunge

B – Quadratskala x².

Die B-Skala entspricht mathematisch der Quadratskala A, befindet sich jedoch auf der beweglichen Zunge. Dadurch können Quadratwerte unmittelbar in weitere Multiplikationen und Divisionen einbezogen werden. Wie bei A gilt \(\log \left( {{x^2}} \right) = 2 \cdot \log x\). 

Auch B durchläuft daher zwei logarithmische Dekaden. Die bewegliche B-Skala erweitert somit die Möglichkeiten von A, ohne eine neue mathematische Funktion einzuführen.

BI – Kehrwertskala \(\dfrac{1}{{{x^2}}}\)

Die BI-Skala kombiniert Quadrat und Kehrwert und ermöglicht dadurch, Terme der Form \(\dfrac{1}{{{x^2}}}\) unmittelbar in eine Rechnung einzubeziehen. Die Skala läuft dazu in umgekehrter Richtung. Mathematisch gilt \(\log \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) = \log \left( {{x^{ - 2}}} \right) = - 2 \cdot \log x\). Beispielsweise ergibt x=2 den Wert \(\dfrac{1}{{{2^2}}} = 0,25\). 

Solche invers-quadratischen Beziehungen treten unter anderem bei physikalischen Größen auf, die mit dem Quadrat einer Entfernung abnehmen.

CI – Kehrwertskala \(\dfrac{1}{x}\)

Die CI-Skala ist die rückläufige Partnerin der Grundskala C und erleichtert Divisionen sowie Rechnungen mit Größen im Nenner. Zu 2 gehört beispielsweise \(\dfrac{1}{2} = 0,5\),  zu 4 entsprechend \(\dfrac{1}{4} = 0,25\). Mathematisch genügt dafür die Spiegelung der logarithmischen Grundskala, denn \(\log \left( {\dfrac{1}{x}} \right) = - \log x\). Dadurch können Multiplikationen mit Kehrwerten elegant in Kettenrechnungen eingebunden werden.

C – Grundskala x.

Die C-Skala ist die zentrale logarithmische Skala auf der beweglichen Zunge und dient zusammen mit D vor allem zum Multiplizieren, Dividieren und Rechnen mit Proportionen. Ihre Positionen entsprechen im Bereich von 1 bis 10 den Werten von log x. Verschiebt man C gegenüber D, werden logarithmische Strecken addiert oder subtrahiert gemäß \(\log a + \log b = \log \left( {a \cdot b} \right)\) und \(\log a - \log b = \log \left( {\dfrac{a}{b}} \right)\) . Genau deshalb kann der Rechenschieber multiplizieren und dividieren.

Vorderseite – untere Körperleiste

D – Grundskala x.

Die D-Skala ist die feststehende Partnerin von C und dient als wichtigste Referenzskala für die grundlegenden Rechenoperationen. Während C verschoben wird, bleibt D fest; mit dem Läufer werden zusammengehörige Werte auf beiden Skalen übertragen. Mathematisch sind C und D gleich aufgebaut: Die Position einer Zahl x ist proportional zu log x. Multiplikation und Division werden dadurch zur Addition beziehungsweise Subtraktion von Strecken.

P – Pythagoreische Skala.

Die P-Skala stellt die Funktion \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) dar und erlaubt damit, bei einem rechtwinkeligen Dreieck mit der Hypotenuse c=1 die 2. Kathete y zu bestimmen. Ist beispielsweise x=0,6 auf der Grundskala D, liefert P den Wert \(\sqrt {1 - {{0,6}^2}} = 0,8\). Dieses Prinzip wird besonders anschaulich am bekannten rechtwinkeligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5

\(\eqalign{
& \frac{3}{5} = 0,6{\text{ }}...{\text{ Kathete x}} \cr
& \frac{4}{5} = 0,8{\text{ }}...{\text{ Kathete y}} \cr
& \frac{5}{5} = 1{\text{ }}...{\text{ normierte Hypotenuse}} \cr} \)

Gleichzeitig steckt darin die trigonometrische Identität 

\(\begin{array}{l} {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \end{array}\)

der zufolge der Rechenschieber ohne große Umwege direkt von Sinuswert auf den zugehörigen Kosinuswert, und umgekehrt, umrechnen kann.

S – Sinus/Kosinus.

Die S-Skala liefert \(\sin \alpha \) für Winkel von 5,5° bis 90°; die rote, rückläufige Bezifferung nutzt gleichzeitig \(\cos \alpha = \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)\) für den Kosinus. Der gewünschte Winkel wird mit dem Läufer eingestellt und der zugehörige Funktionswert über die Grundskala abgelesen. So liegen beispielsweise sin30°=0,5 und cos60°=0,5 am selben Skalenpunkt. Die Skala dient insbesondere zur Berechnung von Dreiecken sowie für trigonometrische Formeln in Technik und Physik.

ST – Sinus/Tangens kleiner Winkel.

Die ST-Skala ist für kleine Winkel von etwa 0,55° bis 6° vorgesehen und kann sowohl für Sinus als auch Tangens verwendet werden. Möglich wird dies durch die Kleinwinkelnäherung \(\sin \alpha \approx \tan \alpha \approx \alpha \) , wenn \(\alpha \) im Bogenmaß angegeben wird. So sind bei 1° sowohl sin1° als auch tan1° ungefähr 0,01745. Eine gemeinsame Skala genügt daher für beide Funktionen; die rückläufige Bezifferung erschließt zusätzlich die entsprechenden Kofunktionen nahe 90°.

Rückseite – obere Körperleiste

LL1 – Exponentialskala 1,01 bis 1,11.

Die LL1-Skala gehört zu den sogenannten Log-Log-Skalen und dient Potenz- und Exponentialrechnungen mit Werten sehr nahe bei 1. Zusammen mit der C-Skala können damit beispielsweise Wachstums- und Zinsrechnungen durchgeführt werden. Dahinter steckt die Umformung \({a^b} = {e^{b \cdot \ln a}}\) . Eine allgemeine Potenz wird über den natürlichen Logarithmus auf eine Multiplikation zurückgeführt. Die LL1-Skala deckt den engen Bereich von etwa 1,01 bis 1,11 ab, der auf gewöhnlichen logarithmischen Skalen nur schwer genau abzulesen wäre.

LL2 – Exponentialskala 1,1 bis 3.

Die LL2-Skala setzt dasselbe Prinzip für den mittleren Wertebereich von etwa 1,1 bis 3 fort. In Verbindung mit der C-Skala lassen sich damit allgemeine Potenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten berechnen. Auch hier beruht die Skala auf \({a^b} = {e^{b \cdot \ln a}}\) .  Die Aufteilung auf mehrere LL-Skalen sorgt dafür, dass ein sehr großer Wertebereich auf dem begrenzten Rechenstab noch ausreichend genau abgelesen werden kann.

LL3 – Exponentialskala 2,5 bis 100 000.

Die LL3-Skala führt die Log-Log-Skalen bis zu sehr großen Werten weiter und eignet sich damit für große Potenzen,Exponentialfunktionen und – in umgekehrter Leserichtung – logarithmische Zusammenhänge. Auch hier ist die mathematische Grundlage \({a^b} = {e^{b \cdot \ln a}}\) . Die enorme Spannweite von etwa 2,5 bis 100 000 macht unmittelbar sichtbar, wie rasch Exponentialfunktionen anwachsen.

DF – um \(\pi \) versetzte Grundskala.

Die DF-Skala entspricht im Prinzip der Grundskala D, ist jedoch um den Faktor \(\pi \) ersetzt. Dadurch können insbesondere Kreisberechnungen wie der Zusammenhang zwischen Durchmesser und Umfang bequem ausgeführt werden. Zugleich vermeidet die um \(\pi \) versetzte Skala bei manchen Rechnungen ein erneutes Umsetzen der Zunge. Mathematisch steckt keine neue Rechenoperation dahinter: Die Multiplikation mit der Konstanten \(\pi \) entspricht auf einer logarithmischen Skala lediglich einer festen Verschiebung um \(\log \pi \).

Rückseite – Zunge

CF – um \(\pi \) versetzte Grundskala.

Die CF-Skala ist die bewegliche Partnerin von DF und gegenüber C ebenfalls um den Faktor \(\pi \) versetzt. CF und DF werden grundsätzlich wie C und D benutzt, ermöglichen aber besonders bequeme Kreisberechnungen und vermeiden bei bestimmten Multiplikationen und Divisionen ungünstige Skalenlagen. Mathematisch handelt es sich wiederum um eine logarithmische Grundskala, deren Nullpunkt um die Strecke \(\log \pi \) verschoben wurde.

CIF – Kehrwertskala zu CF.

Die CIF-Skala ist die rückläufige Partnerin von CF und verbindet damit die um \(\pi \)  versetzte Skala mit dem Kehrwertprinzip. Sie erleichtert Divisionen, Verhältnisrechnungen und zusammengesetzte Rechnungen, bei denen sowohl Kehrwerte als auch die versetzten CF/DF-Skalen benötigt werden. Mathematisch wird dabei – analog zu CI – die logarithmische Skala in umgekehrter Richtung genutzt.

CI – Kehrwertskala zu C.

Die CI-Skala stellt unmittelbar den Kehrwert \(\dfrac{1}{x}\) dar und erleichtert dadurch Divisionen und Kettenrechnungen. Die CI-Skala läuft spiegelbildlich zur C-Skala, weil \(\log \left( {\dfrac{1}{x}} \right) = - \log \left( x \right)\) 

gilt. Statt einen Wert erst zu dividieren und anschließend weiterzurechnen, kann sein Kehrwert unmittelbar in die nächste Rechenoperation einbezogen werden.

C – Grundskala x.

Die C-Skala ist auch auf dieser Seite die bewegliche logarithmische Standardskala von 1 bis 10. Sie dient als Ausgangs- und Bezugsskala für Multiplikation, Division sowie für die Verbindung mit den speziellen Skalen der Rückseite. Ihre mathematische Grundlage bleibt \(\log x\). Durch Verschieben gegenüber einer festen Skala werden logarithmische Strecken und damit Faktoren miteinander verknüpft.

Rückseite – untere Körperleiste

D – Grundskala x.

Die D-Skala bildet auch auf der Rückseite die feststehende logarithmische Referenz und dient insbesondere als Bezug für die L- und K-Skala. Wie auf der Vorderseite entspricht die Position einer Zahl x einer Strecke proportional zu \(\log x\) .  Die Wiederholung von C und D auf beiden Seiten ermöglicht es, die jeweiligen Spezialskalen unmittelbar mit den logarithmischen Grundskalen zu verbinden.

L – Mantissenskala lg x.

Die L-Skala liefert unmittelbar den dekadischen Logarithmus einer Zahl. Dazu wird ein Wert auf D mit dem Läufer markiert und auf L die Mantisse abgelesen. Beispielsweise entspricht 2 auf D ungefähr 0,301 auf L, denn \(\lg 2 \approx 0,301\). Die L-Skala macht damit besonders anschaulich sichtbar, was in den Grundskalen C und D bereits verborgen ist: Die geometrische Position einer Zahl entspricht ihrem Logarithmus.

K – Kubenskala x³.

Die K-Skala dient zum schnellen Berechnen von Kuben und Kubikwurzeln. Stellt man beispielsweise 2 auf D ein, findet man auf der K-Skala den Wert 8. Umgekehrt lässt sich aus 8 auf der K-Skala die Kubikwurzel dazu als 2 bestimmen. Grundlage ist \(\log \left( {{x^3}} \right) = 3 \cdot \log \left( x \right)\) . Deshalb enthält die K-Skala auf derselben Länge drei logarithmische Dekaden. Die Skala eignet sich besonders für Volumenberechnungen und andere Formeln mit dritten Potenzen.

Logarithmen - Rechenregeln

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Grundlegende Rechenregeln für Logarithmen

\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\)

Logarithmus eines Quotienten

Der Logarithmus eines Quotienten, ist gleich der Differenz der Logarithmen seines Dividenden und seines Divisors. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Division auf eine wesentlich einfachere Subtraktion zurück.

\({\log _a}\left( {\dfrac{u}{v}} \right) = - {\log _a}\left( {\dfrac{v}{u}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\)

Logarithmus einer Potenz

Der Logarithmus einer Potenz, ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Potenzieren von u^r auf eine wesentlich einfachere Multiplikation zurück.

\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)

Logarithmus einer Wurzel

Der Logarithmus einer Wurzel, ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmen seines Radikanden und aus dem Wert des Wurzelexponenten. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Wurzelziehen auf eine wesentlich einfachere Division zurück

\({\log _a}\left( {\root n \of u } \right) = \dfrac{{{{\log }_a}\left( u \right)}}{n}\)

Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist

Der Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist, ist gleich dem mit -1 multiplizierten Logarithmus, dessen Basis der Kehrwert des Quotienten ist.

\({\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( u \right) = - {\log _a}\left( u \right)\)

Zusammenhang zwischen e-Funktion und natürlichem Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die inverse Funktion zur e-Funktion. Das bedeutet, wenn man die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus aufeinander anwendet, heben sie sich gegenseitig auf:

\({e^{\ln \left( x \right)}} = x = \ln \left( {{e^x}} \right)\)

Auf folgende Weise helfen Logarithmen bei der Lösung von Exponentialgleichungen

1. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen

Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:

\({3^x} = 5\)

Berechne x

Lösungsweg

\({3^x} = 5\,\,\,\,\,\left| {{\text{beide Seiten logarithmieren}}} \right.\)

Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten

\(\ln \left( {{3^x}} \right) = \ln \left( 5 \right)\)

mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)

ergibt sich:

\(\eqalign{ & x \cdot \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 5 \right)\,\,\,\,\,\left| {:\ln \left( 3 \right)} \right. \cr & x = \frac{{\ln \left( 5 \right)}}{{\ln \left( 3 \right)}} \approx 1,465 \cr} \)

2. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen

Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:

\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)

Berechne x

Lösungsweg:

\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {{\text{beide}}} \right.{\text{ Seiten logarithmieren}}\)

Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten

\({\text{ln}}\left( {{3^{\left( {2x - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {{{10}^x}} \right)\)

mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)

ergibt sich:

\(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right) \cdot \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr & 2x \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr} \)

Nun bringen wir alle Ausdrücke, welche die Variable x enthalten, auf die linke Seite der Gleichung, auf der rechten Seite der Gleichung verbleiben Zahlenwerte:

\(2x \cdot \ln \left( 3 \right) - x \cdot \ln \left( {10} \right) = \ln \left( 3 \right)\)

wir heben x heraus:

\(x \cdot \left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right] = \ln \left( 3 \right)\)

und machen x explizit:

\(x = \dfrac{{\ln \left( 3 \right)}}{{\left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right]}} \approx - 10,4271\)

Probe:

Linke Seite der Gleichung: \({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {3^{\left( { - 2 \cdot 10,4271 - 1} \right)}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)

Rechte Seite der Gleichung: \({10^x} = {10^{ - 10,4271}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)

wzbw.

Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion \({}^a\operatorname{logx} \) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=a^x . Alle Logarithmusfunktionen verlaufen rechts von der y-Achse und durch den gemeinsamen Punkt (1|0). Logarithmusfunktionen sind nur für den Bereich x>0 definiert. Der Definitionsbereich aller Logarithmusfunktionen ist \(\mathbb{R}^+\), der Wertebereich ist \(\mathbb{R}\) und sie haben alle x₀=1 als Nullstelle.
Die y-Achse bildet eine Asymptote und die Nullstelle liegt an der Stelle x=1. Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist die Exponentialfunktion. Die häufigste Logarithmusfunktion ist jene mit der Basis e (Euler'sche Zahl e=2,7182), die natürliche Logarithmusfunktion ln.

\(f\left( x \right) = {}^a\log x = {\log _a}x \)

\(\eqalign{ & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\} \cr & x \in {{\Bbb R}^ + } \cr}\)

speziell:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^2\log x = \operatorname{lb} x \cr & f\left( x \right) = {}^e\log x = \ln x \cr & f\left( x \right) = {}^{10}\log x = \lg x \cr} \)

• \(a < 0\): Der Logarithmus ist für einen negativen Numerus nicht definiert
• \(0 < a < 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton fallend
• \(a = 1\): Der Logarithmus ist für die Basis = 1 nicht definiert
• \(a > 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton steigend